유리수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''유리수'''(有理數, {{llang|en|rational number}})는 두 [[정수]]의 [[비율]] 또는 [[분수 (수학)|분수]]의 형식으로 나타낼 수 있는 수이다. 단, [[분모]]가 0이 아니어야 한다. 특히, 분모가 1일 수 있으므로 모든 [[정수]]는 유리수이다. 유리수체의 기호는 <math>\mathbb Q</math>이며, [[몫]]을 뜻하는 영어 quotient에서 따왔다.

== 정의 ==
[[파일:Fracciones.gif|thumb]]
'''유리수체''' <math>\mathbb Q</math>는 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 [[분수체]]이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다.
:<math>\mathbb Q=\left\{\frac mn\colon m,n\in\mathbb Z,\;n\ne0\right\}</math>

=== 추상적 정의 ===
엄밀히 말해, 유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 다음과 같은 공리를 만족시키는 ([[동형]] 아래 유일한) [[체 (수학)|체]]이다.
* <math>\mathbb Q</math>의 [[환의 표수|표수]]는 0이다.
* 만약 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 표수가 0이라면, 유일한 [[환 준동형]] <math>\mathbb Q\to R</math>이 존재한다.

=== 구체적 정의 ===
유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 집합 <math>\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\})</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]] <math>\sim</math>를 줄 수 있다.
:<math>(m,n)\sim(m',n')\iff mn'=nm'\qquad(m,n,m',n'\in\mathbb Z,\;n,n'\ne0)</math>
유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 집합으로서 [[몫집합]] <math>(\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\}))/{\sim}</math>이며, 그 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.
:<math>[(m,n)]_\sim+[(m',n')]_\sim=[(mn'+nm',nn')]_\sim</math>
:<math>[(m,n)]_\sim\cdot[(m',n')]_\sim=[(mm',nn')]_\sim</math>
체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 [[덧셈]] 항등원 <math>[(0,1)]_\sim</math> 및 각 유리수 <math>[(m,n)]_\sim</math>의 덧셈 역원 <math>[(-m,n)]_\sim</math> 및 [[곱셈]] 항등원 <math>[(1,1)]_\sim</math> 및 0이 아닌 각 유리수 <math>[(m,n)]_\sim\ne[(0,0)]_\sim</math>의 곱셈 역원 <math>[(n,m)]_\sim</math>의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다.
정수환과 유리수체 사이의 표준적인 [[단사 함수|단사]] [[환 준동형]]은 다음과 같다.
:<math>\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q</math>
:<math>n\mapsto[(n,1)]_\sim</math>
각 유리수 <math>[(m,n)]_\sim</math>를 분수 꼴 <math>\frac mn</math>으로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다.

== 표현 ==
=== 분수 표현 ===
유리수는 두 정수의 비율이므로, [[나눗셈]] 기호와 의미가 같은 [[분수 (수학)|분수]] 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 {{sfrac|3}}이다. 분자와 분모를 동시에 그 [[공약수]]로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 [[약분]]이라고 한다.{{sfrac|12|18}}을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면  분자와 분모가 [[서로소 정수|서로소]]이어서 더 이상 약분할 수 없는 기약 분수 {{sfrac|2|3}}을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 [[진분수]], 작지 않은 분수를 [[가분수]]라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 [[대분수]]라고 한다. 예를 들어, {{sfrac|11|9}}의 대분수 표현은 1{{sfrac|2|9}}이다.

[[무리수]]는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다.

=== 십진법 표현 ===
유리수의 진법 전개는 [[유한 소수]]이거나 [[순환 소수]]이다. [[십진법]] 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다.
:<math>\frac75=1.4</math>
:<math>\frac13=0.\dot3=0.333\cdots</math>
:<math>\frac16=0.1\dot6=0.1666\cdots</math>
:<math>\frac17=0.\dot14285\dot7=0.142857142857\cdots</math>
:<math>\frac19=0.\dot1=0.111\cdots</math>
:<math>\frac1{11}=0.\dot0\dot9=0.090909\cdots</math>
:<math>\frac1{12}=0.08\dot3=0.083333\cdots</math>
분수를 소수로 전환하려면 [[나머지 있는 나눗셈]]을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 {{sfrac|10}} = 0.1, {{sfrac|100}} = 0.01, {{sfrac|1000}} = 0.001 및 {{sfrac|9}} = 0.111..., {{sfrac|99}} = 0.010101..., {{sfrac|999}} = 0.001001001... 따위를 이용하면 된다.

반면 무리수의 진법 전개는 [[비순환 소수]]이다.

=== 연분수 표현 ===
유리수는 유한 [[연분수]] 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다.
:<math>\frac{11}9=[1;4,2]=1+\frac1{4+\dfrac12}</math>
:<math>\frac{15}{11}=[1;2,1,3]=1+\frac1{2+\dfrac1{1+\dfrac13}}</math>
:<math>\frac{734}{367}=[2;5,3,7,3]=2+\frac1{5+\dfrac1{3+\dfrac1{7+\dfrac13}}}</math>
분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 [[유클리드 호제법]]을 응용하면 된다.

무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다.

== 연산 ==
=== 등식과 부등식 ===
두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\qquad(a,b,c,d\in\mathbb Z,\;b,d\ne0)</math>
어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\frac ab<\frac cd\iff ad<bc\qquad(a,b,c,d\in\mathbb Z,\;b,d>0)</math>

=== 덧셈과 뺄셈 ===
두 유리수의 덧셈에는 [[통분]] 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다.
:<math>\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}</math>
유리수의 [[반수 (수학)|반수]]를 구하는 공식은 다음과 같다.
:<math>-\frac ab=\frac{-a}b</math>
두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다.
:<math>\frac ab-\frac cd=\frac ab+\left(-\frac cd\right)=\frac{ad-bc}{bd}</math>
분모의 [[최소 공배수]]를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.

=== 곱셈과 나눗셈 ===
두 유리수의 곱셈은 다음과 같다.
:<math>\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}</math>
0이 아닌 유리수의 [[역수]]는 다음과 같다.
:<math>\left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba</math>
두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다.
:<math>\frac ab\div\frac cd=\frac ab\cdot\left(\frac cd\right)^{-1}=\frac{ad}{bc}</math>

== 성질 ==
집합 <math>\mathbb Q</math>는 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>으로 만든 [[분수체]]이며, 따라서 <math>\mathbb Q</math>는 사칙연산이 자유로운 [[체 (수학)|체]]이다.

집합 <math>\mathbb Q</math>는 [[환의 표수|표수]]가 0인 가장 작은 [[체 (수학)|체]]이다. 즉, [[환의 표수|표수]]가 0인 체는 <math>\mathbb Q</math>와 [[동형]]인 체를 반드시 포함한다.

서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 <math>\mathbb Q</math>는 [[조밀 집합]]이다. 그러나 <math>\mathbb Q</math>와 <math>\mathbb Z</math> 사이에는 [[일대일 대응]]이 가능하므로, <math>\mathbb Q</math>는 [[가산 무한 집합]]이다.

유리수체에는 표준적인 [[절댓값]]과 [[p진 절댓값]]을 줄 수 있으며, 이들에 의한 [[완비화]]는 각각 [[실수체]]와 [[p진수체]]이다.
== 같이 보기 ==
* [[무리수]]

== 외부 링크 ==
{{포털|수학}}
* {{네이버캐스트|contents-id=1956|제목=자연수 vs. 유리수|저자=정경훈|날짜=2010-10-02}}
* {{eom|title=Rational number}}
* {{매스월드|id=RationalNumber|title=Rational number}}
* {{nlab|id=rational number|title=Rational number}}
* {{플래닛매스|urlname=RationalNumber|title=Rational number}}

{{수 체계}}

{{전거 통제}}

[[분류:유리수]]
[[분류:분수]]
[[분류:초등 수학]]
[[분류:체론]]
[[분류:수 체계]]