유리근 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수학]]에서, '''유리근 정리'''(有理根定理, {{llang|en|rational root theorem}})는 [[정수]] 계수 [[다항식]]의 [[유리수]] [[근 (수학)|근]]을 [[기약 분수]]로 나타내었을 때, 분자는 상수항을 나누고, 분모는 최고 차수 항의 계수를 나눈다는 정리이다. 3차 다항식의 경우, 유리근 정리를 통하여 [[기약 다항식]] 여부를 쉽게 알 수 있다.

== 정의 ==
[[유일 인수 분해 정역]] <math>R</math>의 [[다항식환]]을 <math>R[x]</math>라고 하고, [[분수체]]를 <math>\operatorname{Frac}R</math>라고 하자. [[다항식]]
:<math>p(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots r_1x+r_0\in R[x]</math>
가 [[분수체]] 원소 <math>r/s\in\operatorname{Frac}R</math>를 [[근 (수학)|근]]으로 가지며, <math>\gcd\{r,s\}=1</math>이라고 하자. '''유리근 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>r\mid r_0</math>
:<math>s\mid r_n</math>
특히, 만약 <math>p(x)</math>가 [[일계수 다항식]]이라면 (<math>r_n=1</math>이라면), <math>r/s\in R</math>는 환의 원소이다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|185, §IV.3, Proposition 3.3}}
{{증명}}
<math>r/s</math>가 <math>p(x)</math>의 [[근 (수학)|근]]이므로,
:<math>\begin{align}0=s^n0=s^np\left(\frac rs\right)
& =s^n\left(r_n\frac{r^n}{s^n}+r_{n-1}\frac{r^{n-1}}{s^{n-1}}+\cdots r_1\frac rs+r_0\right) \\
& =r_nr^n+r_{n-1}r^{n-1}s+\cdots+r_1rs^{n-1}+r_0s^n
\end{align}</math>
이다. 따라서
:<math>r\mid-r_nr^n-r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots-r_1rs^{n-1}=r_0s^n</math>
:<math>s\mid-r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots-r_1rs^{n-1}-r_0s^n=r_nr^n</math>
이다. 또한, <math>\gcd\{r,s^n\}=\gcd\{s,r^n\}=1</math>이므로,
:<math>r\mid r_0</math>
:<math>s\mid r_n</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[대수학의 기본 정리]]
* [[데카르트 부호 법칙]]
* [[가우스-뤼카 정리]]
* [[아이젠슈타인 판정법]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=RationalZeroTheorem|제목=Rational zero theorem}}
* {{플래닛매스|id=RationalRootTheorem|제목=Rational root theorem}}

[[분류:다항식에 대한 정리]]
[[분류:다항식에 대한 정리]]
[[분류:근 찾기 알고리즘]]