유니터리 행렬 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''유니터리 행렬'''({{llang|en|unitary matrix}})는 [[켤레 전치]]가 [[역행렬]]과 같은 [[복소수]] [[정사각 행렬]]이다.

== 정의 ==
[[복소수]] <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>U</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>U</math>를 '''유니터리 행렬'''이라고 한다.
* <math>U^*=U^{-1}</math>
* <math>UU^*=1_{n\times n}</math>
* <math>U^*U=1_{n\times n}</math>
* <math>U</math>의 열들은 <math>\mathbb C^n</math>의 [[내적 공간|정규 직교 기저]]를 이룬다.
* <math>U</math>의 행들은 <math>\mathbb C^n</math>의 정규 직교 기저를 이룬다.
* <math>\mathbb C^n</math>에서, 모든 정규 직교 기저 <math>B</math>에 대하여, <math>U(B)</math>는 정규 직교 기저이다.
* <math>\mathbb C^n</math>에서, 어떤 정규 직교 기저 <math>B</math>에 대하여, <math>U(B)</math>는 정규 직교 기저이다.
* <math>U</math>는 [[정규 행렬]]이며, 모든 [[고윳값]]의 [[절댓값]]은 1이다.
* 임의의 <math>x,y\in\mathbb C^n</math>에 대하여, <math>\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle</math>.
* 임의의 <math>x\in\mathbb C^n</math>에 대하여, <math>\Vert Ux\Vert=\Vert x\Vert</math>.
여기서 <math>(-)^*</math>는 [[켤레 전치]], <math>\langle-,-\rangle</math>는 <math>\mathbb C^n</math>의 표준 내적, <math>\Vert{-}\Vert</math>는 <math>\mathbb C^n</math>의 표준 노름이다.

== 성질 ==
[[실수]] 행렬의 경우 유니터리 행렬은 [[직교 행렬]]과 동치이다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>{{rp|304}}

유니터리 행렬 <math>U</math>는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* [[정규 행렬]]이다.
* 대각화 가능하다. 이는 [[스펙트럼 정리]]의 결과에 따라 <math>U</math>가 대각행렬과 유니터리하게 닮음이란 것이다. <math>U</math>는 <math>U=VDV^*</math>와 같이 분해할 수 있다. 여기서 <math>V</math>는 유니터리 행렬, <math>D</math>는 [[대각 행렬|대각]] 유니터리 행렬이다.
*<math>|{\det U}|=1</math>
*<math>U</math>의 [[고유 공간]]은 정규 직교다.
*<math>U=e^{iH}</math>인 [[에르미트 행렬]] <math>H</math>가 존재한다. (<math>e^{(-)}</math>는 [[행렬 지수 함수]])

모든 <math>n\times n</math> 유니터리 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 따라 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이를 [[유니터리 군|유니터리 군]] <math>\operatorname U(n)</math>이라고 한다.

== 예 ==
복소수 <math>1\times1</math> 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

:<math>\begin{pmatrix}e^{i\theta}\end{pmatrix}\qquad\theta\in\mathbb R</math>

복소수 <math>2\times2</math> 행렬의 경우, 유니터리 행렬은 다음과 같다.

:<math>\begin{pmatrix}a&b\\-\bar be^{i\theta}&\bar ae^{i\theta}\end{pmatrix}\qquad|a|^2+|b|^2=1,\;\theta\in\mathbb R</math>

== 같이 보기 ==
* [[에르미트 행렬]]
* [[행렬 분해]]
* [[직교군]]
* [[직교행렬]]
* [[특수 유니터리 군]]
* [[심플렉틱 행렬]]
* [[유니터리 군]]
* [[유니터리 작용소]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{토막글|수학}}

[[분류:행렬]]