유니터리 작용소 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''유니터리 작용소'''(unitary作用素, {{llang|en|unitary operator}})는 [[힐베르트 공간]]의 [[자기동형사상]]이다. 즉, 내적을 보존시키는 [[전단사]] [[선형 변환]]이다.

== 정의 ==
[[힐베르트 공간]] <math>(\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle)</math> 위의 [[유계 작용소]] <math>U\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>에 대하여, 다음 조건들은 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[유계 작용소]]를 '''유니터리 작용소'''라고 한다.
* <math>U^\dagger U=UU^\dagger=I</math> (<math>U^\dagger</math>는 <math>U</math>의 [[에르미트 수반]])
* <math>U</math>는 [[전사 함수]]이며, 모든 <math>u,v\in\mathcal H</math>에 대하여 <math>\langle Uu|Uv\rangle=\langle u|v\rangle</math>이다.
* <math>U</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>\mathcal H</math>의 [[조밀 집합]]이며, 모든 <math>u,v\in\mathcal H</math>에 대하여 <math>\langle Uu|Uv\rangle=\langle u|v\rangle</math>이다.
만약 마지막 조건에서 상에 대한 조건을 생략할 경우, <math>U</math>는 '''[[등거리 변환]]'''이라고 한다. 이는 유니터리 작용소보다 더 약한 개념이다. 등거리사상은 <math>U^\dagger U=I</math>를 만족시키지만, <math>UU^\dagger=I</math>는 만족시키지 않을 수 있다.

== 예 ==
[[항등 함수]] <math>v\mapsto v</math>는 항상 유니터리 작용소이다.

유한 차원 실수 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 [[직교행렬]]이다. 유한 차원 복소 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 [[유니터리 행렬]]이다.

[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 기저 <math>\mathcal B\subset\mathcal H</math> 위의 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(\mathcal B)</math>의 원소 <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathcal B)</math>로부터 유도되는 [[선형변환]]
:<math>\sum_{b\in\mathcal B}v_bb\mapsto\sum_{b\in\mathcal B}v_b\sigma(b)</math>
은 유니터리 작용소이다. 대신, <math>\sigma\colon\mathcal B\to\mathcal B</math>가 [[단사 함수]]이지만 [[전사 함수]]가 아니라면, 이는 [[등거리 변환]]이지만 유니터리 작용소가 아니다.

[[유클리드 공간]] 위의 복소수 [[Lp 공간|L<sup>2</sup> 공간]] <math>L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)</math> 위의 [[푸리에 변환]] 연산자
:<math>\mathcal F\colon L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)\to L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)</math>
는 유니터리 작용소이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |이름=Gerald |성=Teschl |제목=Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators |출판사=American Mathematical Society |총서=Graduate Studies in Mathematics|권=99|날짜=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |zbl=1166.81004|mr=2499016|isbn=978-0-8218-4660-5|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Unitary operator|first=V.I.|last=Sobolev}}

[[분류:힐베르트 공간]]