유니터리 군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''유니터리 군'''({{llang|en|unitary group}})은 [[유니터리 행렬]]의 [[리 군]]이다. 기호는 <math>U(n)</math>.

== 정의 ==
복소수 [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>가 주어졌을 때, '''유니터리 군''' <math>\operatorname U(\mathcal H)</math>는 <math>\mathcal H</math> 위의 [[유니터리 작용소]]들의 [[군 (수학)|군]]이다.

만약 <math>\mathcal H</math>가 <math>n</math> 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 <math>\operatorname U(n)</math>으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 <math>n\times n</math> [[유니터리 행렬]]로 구성되는 [[리 군]]이다. 즉,
:<math>\operatorname U(n)=\{M\in\operatorname{GL}(n,\mathbb C)|M^\dagger M=1\}</math>
이다.

=== 유니터리 리 대수 ===
유니터리 군 <math>U(n)</math>은 <math>2n^2</math>차원 실수 [[리 군]]이다. 그 [[리 대수]]는
:<math>\mathfrak u(n)=\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1)</math>
이다. 유니터리 행렬의 로그는 [[반에르미트 행렬]]({{lang|en|anti-Hermitian matrix}})이므로, <math>\mathfrak u(n)</math>는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

== 성질 ==
=== 군론적 성질 ===
유니터리 군 <math>\operatorname U(n)</math>의 [[군의 중심|중심]]은 다음과 같은 꼴의 [[대각 행렬]]이다.
:<math>\lambda 1_{n\times n}\qquad(\lambda\in\mathbb C,\;|\lambda|=1)</math>

유니터리 행렬의 [[행렬식]]은 그 [[절댓값]]이 1인 [[복소수]]이다. 즉
:<math>\det\colon U(n)\to U(1)</math>
인 [[군 준동형]]이 존재한다. 이에 대한 [[몫군]]은 [[특수 유니터리 군]] <math>SU(n)</math>이다. 즉, 다음과 같은 [[완전열|짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to SU(n)\hookrightarrow U(n)\xrightarrow{\det}U(1)\to1</math>

=== 리 이론적 성질 ===
유니터리 군의 [[극대 원환면]]은 다음과 같다.
:<math>\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\colon\lambda_i\in\operatorname U(1)\}\subset\operatorname U(n)</math>
이에 대하여 유니터리 군의 [[바일 군]]은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>이며, 이는 원환면을 정의하는 [[기저 (선형대수학)|기저]] 집합에 [[순열]]로 작용한다.

=== 위상수학적 성질 ===
모든 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 유니터리 군 <math>\operatorname U(n)</math>은 [[연결 공간|연결]] 실수 [[콤팩트 리 군]]이며, 그 [[기본군]]은 무한 순환군이다.
:<math>\pi_0(\operatorname U(n))=1</math>
:<math>\pi_1(\operatorname U(n))=\mathbb Z</math>
유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 [[일반선형군]]과 [[호모토피 동치]]이다.
:<math>\operatorname U(n)\simeq\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>
[[호프 올뭉치]]
:<math>\operatorname U(n)\hookrightarrow\operatorname U(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^{2n+1}</math>
로 인하여, 만약 <math>i<2n</math>이라면
:<math>\pi_i(\operatorname U(n))\cong\pi_i(\operatorname U(n+1))</math>
이다.<ref name="Karoubi">{{서적 인용|제목=Handbook of K-theory. Volume 1|장=Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory|이름=Max|성=Karoubi|장url=http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-111-138.pdf|url=http://k-theory.org/handbook/|doi=10.1007/978-3-540-27855-9_4|쪽=111–137|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://k-theory.org/handbook/ }}</ref>{{rp|112}} 즉, 유니터리 군의 [[호모토피 군]]들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|113}}
:<math>\pi_i(\operatorname U(n))=\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb Z&2\nmid i\end{cases}\qquad(i<2n)</math>
이 주기성을 '''보트 주기성'''({{llang|en|Bott periodicity}})이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

{| class="wikitable"
|-
! 군
!style="width:3em"| π<sub>1</sub>
!style="width:3em"| π<sub>2</sub>
!style="width:3em"| π<sub>3</sub>
!style="width:3em"| π<sub>4</sub>
!style="width:3em"| π<sub>5</sub>
!style="width:3em"| π<sub>6</sub>
!style="width:3em"| π<sub>7</sub>
!style="width:3em"| π<sub>8</sub>
!style="width:3em"| π<sub>9</sub>
!style="width:3em"| π<sub>10</sub>
!style="width:3em"| π<sub>11</sub>
!style="width:3em"| π<sub>12</sub>
|-
| U(1) || ℤ || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| U(2)
| style="border-top: solid black 2px" | ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|| ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>12</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>3</sub> || ℤ<sub>15</sub> || ℤ<sub>2</sub> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup>
|-
| U(3) || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|| ℤ<sub>6</sub>
|-
| U(4) || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|-
| U(5) || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|-
| U(6) || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px" | 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ
|}

이에 따라, 다음과 같은 '''무한 유니터리 군''' <math>\operatorname U(\infty)</math>을 범주론적 [[쌍대극한]]으로 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname U(\infty)=\varinjlim_n\operatorname U(n)</math>
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
:<math>\pi_i(\operatorname U(\infty))=\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb Z&2\nmid i\end{cases}</math>
이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 [[고리 공간]]과 [[호모토피 동치]]이다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|112, Theorem 1}}
:<math>\operatorname U(\infty)\simeq\Omega^2\operatorname U(\infty)</math>

무한 차원 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 유니터리 군 <math>\operatorname U(\mathcal H)</math>는 <math>\operatorname U(\infty)</math>와 다르다. [[작용소 노름]]에 의한 위상을 주었을 때, <math>\operatorname U(\mathcal H)</math>는 [[축약 가능 공간]]이며, 따라서 모든 [[호모토피 군]]이 자명하다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0040-9383(65)90067-4|제목=The homotopy type of the unitary group of Hilbert space|이름=Nicolaas H.|성=Kuiper|저널=Topology|권=3|호=1|쪽=19–30|날짜=1965|언어=en}}</ref>
:<math>\pi_i(\operatorname U(\mathcal H))=0\quad\forall i</math>

=== 포함 관계 ===
유니터리 군 U(1)은 [[원군]]이다. 이는 1차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[아벨 군]]이며, [[직교군|SO(2)]]와 같다. 이는 위상수학적으로 원 <math>\mathbb S^1</math>이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Unitary group}}
* {{매스월드|id=UnitaryGroup|title=Unitary group}}
* {{nlab|id=unitary group|title=Unitary group}}
* {{nlab|id=Kuiper's theorem}}

== 같이 보기 ==
* [[특수 유니터리 군]]
* [[직교군]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]