유니모듈러 격자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''유니모듈러 격자'''({{llang|en|unimodular lattice}})는 [[행렬식]]이 ±1인 [[격자]]이다.

== 정의 ==
'''격자'''({{llang|en|lattice}}) <math>(L,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>L</math>은 [[자유 아벨 군|자유]] [[유한 생성 아벨 군]]이다.
* <math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon L\times L\to\mathbb Z</math>는 [[정수]] 값을 갖는 대칭 [[쌍선형 형식]]이다.
'''유니모듈러 격자'''는 다음 조건을 만족시키는 격자 <math>(L,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>이다.
* <math>L</math>이 <math>n</math>차원이라고 하자. <math>L</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{v_1,\dots,v_n\}</math>을 잡았을 때, <math>n\times n</math> 대칭 정수행렬 <math>M\in\operatorname{Mat}_n(\mathbb Z)</math>을 <math>(M)_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle</math>로 정의하자. 그렇다면 <math>\det M=\pm1</math>이다. (행렬 <math>M</math>은 기저의 선택에 따라 달라지지만, 그 행렬식은 바뀌지 않는다.)
'''짝 유니모듈러 격자'''({{llang|en|even unimodular lattice}})는 모든 <math>v\in L</math>에 대하여 <math>\langle v,v\rangle</math>이 [[짝수]]인 격자다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자를 '''홀 유니모듈러 격자'''({{llang|en|odd unimodular lattice}})라고 한다.

== 분류 ==
유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류가 있다. 부호수가 <math>(m,n)</math>인 부정부호 격자 <math>\Lambda\subset\mathbb R^{m,n}</math>의 경우, ([[동형]]을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자
:<math>I_{m,n}</math>
가 존재한다. 구체적으로 이는 <math>\mathbb Z^{m+n}\subset\mathbb R^{m+n}</math>에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 [[필요충분조건]]은
:<math>m\equiv n\pmod8</math>
이며, 이 경우 ([[동형]]을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자
:<math>II_{m,n}</math>
가 존재한다. 이는 구체적으로
:<math>\{(a_1,a_2,\dots,a_{m+n}\colon 2a_i\in\mathbb Z,\;\sum_ka_k/2\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R^{m+n}</math>
이다. 또한, <math>II_{8,0}</math>은 [[E₈ 격자]]와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.
* 7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 <math>I_{n,0}</math>가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
* 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 [[E₈ 격자]]가 존재하며, 이는 [[E₈|E<sub>8</sub>]] [[리 군]]의 [[근계]]로 생성된다.
* 8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 <math>E_8\oplus E_8</math>과
* 24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 [[니마이어 격자]]({{llang|en|Niemeier lattice}})라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 [[리치 격자]]({{llang|en|Leech lattice}}) 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었고, 다음과 같다. 홀 유니모듈러 격자의 수는 {{OEIS|A054911}}, 짝 유니모듈러 격자의 수는 {{OEIS|A054909}}이다.
{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align:center;"
|-
! 차원
! 홀격자
! 근이 없는 홀격자
! 짝격자
! 근이 없는 짝격자
|-
| 0 || 0 || 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 0 || ||
|-
| 2 || 1 || 0 || ||
|-
| 3 || 1 || 0 || ||
|-
| 4 || 1 || 0 || ||
|-
| 5 || 1 || 0 || ||
|-
| 6 || 1 || 0 || ||
|-
| 7 || 1 || 0 || ||
|-
| 8 || 1 || 0 || 1 (E<sub>8</sub> 격자) || 0
|-
| 9 || 2 || 0 || ||
|-
| 10 || 2 || 0 || ||
|-
| 11 || 2 || 0 || ||
|-
| 12 || 3 || 0 || ||
|-
| 13 || 3 || 0 || ||
|-
| 14 || 4 || 0 || ||
|-
| 15 || 5 || 0 || ||
|-
| 16 || 6 || 0 || 2 (E<sub>8</sub><sup>2</sup>, D<sub>16</sub><sup>+</sup>) || 0
|-
| 17 || 9 || 0 || ||
|-
| 18 || 13 || 0 || ||
|-
| 19 || 16 || 0 || ||
|-
| 20 || 28 || 0 || ||
|-
| 21 || 40 || 0 || ||
|-
| 22 || 68 || 0 || ||
|-
| 23 || 117 || 1 (짧은 리치 격자) || ||
|-
| 24 || 273 || 1 (홀 리치 격자) || 24 (니마이어 격자) || 1 (리치 격자)
|-
| 25 || 665 || 0 || ||
|-
| 26 || ≥2307 || 1 || ||
|-
| 27 || ≥14179 || 3 || ||
|-
| 28 || ≥327972 || 38 || ||
|-
| 29 || ≥37938009 || ≥8900 || ||
|-
| 30 || ≥20169641025 || ≥82000000 || ||
|-
| 31 || ≥5000000000000</sup> || ≥800000000000</sup> || ||
|-
| 32 || ≥80000000000000000</sup> || ≥10000000000000000</sup> || ≥1160000000 || ≥10900000
|}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | zbl=0915.52003 | last=Conway | first=J.H. | authorlink=존 호턴 콘웨이 | 공저자=N. J. A. Sloane | 제목=Sphere packings, lattices and groups | 판=3판 | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=290 | location=New York, NY | publisher=Springer | isbn=0-387-98585-9 |언어=en |doi=10.1007/978-1-4757-6568-7|issn= 0072-7830}}
* {{서적 인용 | first=J. | last=Milnor | authorlink=존 밀너| 공저자=D. Husemoller | title=Symmetric Bilinear Forms | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume=73 | publisher=Springer | 날짜=1973 | isbn=3-540-06009-X | zbl=0292.10016 |언어=en}}
* {{서적 인용 | first=Jean-Pierre | last=Serre | authorlink=장피에르 세르 | title=A Course in Arithmetic | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=7 | publisher=Springer | 날짜=1973 | isbn=0-387-90040-3 | zbl=0256.12001|언어=en }}

[[분류:이차 형식]]
[[분류:격자점]]