유계 변동 함수 문서 원본 보기

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[[실해석학]]에서 '''유계 변동 함수'''(有界變動函數, {{llang|en|function of bounded variation}})는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 [[함수]]이다.

== 정의 ==
=== 1차원 유계 변동 함수 ===
[[닫힌구간]] <math>[a,b]\subsetneq\mathbb R</math>의 '''분할'''은 다음과 같은 수열이다.
:<math>P=(p_0,p_1,p_2,\dots,p_{|P|})\qquad (a=p_0 \le p_1 \le p_2\le\dotsb\le p_{|P|}=b)</math>
닫힌구간 <Math>[a,b]</math>의 모든 분할들의 집합을 <Math>\operatorname{Part}([a,b])</math>라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.
:<Math>\operatorname{Part}([a,b]) = \bigsqcup_{N = 1}^\infty \operatorname{Part}_N([a,b]) \cong \bigsqcup_{N=1}^\infty \triangle^{N-1}</math>
여기서 <math>\operatorname{Part}_N([a,b])</math>은 크기 <Math>N</math>의 분할들의 공간이며, 이는 <Math>N-1</math>차원 [[단체 (수학)|단체]] <math>\triangle^{N-1}</math>와 동형이다.

임의의 함수
:<math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
및 분할 <math>P\in\operatorname{Part}([a,b])</math>
에 대하여, 변동
:<math>\sum_{i=1}^{|P|} \|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty)</math>
을 정의할 수 있다. <math>f</math>의 '''[[전변동]]'''(全變動, {{llang|en|total variation}}) <math>\|f\|_{\operatorname{BV}}</math>는 모든 변동들의 [[상한]]이다.<ref name="Jones">Frank Jones, ''Lebesgue Integration on Euclidean Space'', Jones and Bartlett Mathematics, 2001</ref>{{rp|530}}
:<math>\operatorname V(f)=\sup_{P\in\operatorname{Part}([a,b])}\sum^{|P|}_{i=1}\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty]</math>

임의의 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]임을 보일 수 있다.
* <math>\operatorname V(f) < \infty</math>
* <math>f = g-h</math>인 두 [[증가 함수]] <Math>g,h \colon [a,b]\to\mathbb R</math>, <math>a\le s\le t\le b \implies g(s) \le  g(t),\;h(s) \le h(t)</math>가 존재한다.
* [[연속 함수]]의 공간 <math>\mathcal C^0([a,b])</math> 위에 [[유계 작용소]] <math>\mathcal C^0([a,b]) \to \mathbb R</math>, <math>g \mapsto \textstyle\int g\,\mathrm df</math>를 정의한다. (이 적분은 [[르베그-스틸티어스 적분]]이다.)
이 조건을 만족시키는 함수를 '''유계 변동 함수'''라고 한다.<ref name="Jones"/>{{rp|530}}

유계 변동 함수들의 공간을 <math>\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)</math>로 표기하자. 그렇다면, <math>(\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R),\|-\|_{\operatorname L^1} + \operatorname V(-))</math>는 [[노름 공간]]을 이룬다.

=== 다차원 유계 변동 함수 ===
[[유계 집합|유계]] [[열린집합]] <Math>\Omega\subseteq\mathbb R^n</math>이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 <Math>f\in\operatorname L^1(\Omega,\mathbb R)</math>의 '''[[전변동]]'''을 다음과 같이 정의하자.
:<math>\operatorname V(f) = \sup_{\mathbf g\in X} \int_\Omega f(x)\nabla\cdot \mathbf g(x)\,\mathrm dx </math>
여기서
:<math>X = \operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{\operatorname L^\infty(\Omega,\mathbb R^n))}(0,1)) \cap \mathcal C^1_{\text{comp}}(\Omega,\mathbb R^n)</math>
는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 <math>\mathbf g\colon\Omega\to\mathbb R^n</math>로 구성된 공간이다.
* [[연속 미분 가능 함수]]이다 (<math>\mathcal C^1</math>).
* 어떤 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq \Omega</math>에 대하여, <math>\forall x\in \Omega\setminus K\colon \mathbf g(x) = \mathbf0</math>이다.
* 노름이 1 이하이다. 즉, <math>\forall x\in\Omega \colon \|\mathbf g(x)\| \le 1</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{vol}(-)</math>은 [[유클리드 공간]]의 [[르베그 측도]]이다. (즉, <math>\mathbf g</math>의 <math>\operatorname L^\infty</math>-노름이 1 이하이다.)
그렇다면, [[전변동]]이 유한한 함수들의 공간을 <math>\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)</math>라고 하자.
:<math>\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R) = \{f\in\operatorname L^1(\Omega,\mathbb R)\colon \|f\|_{\operatorname{BV}} < \infty \}</math>
그렇다면, 그 위에
:<math>\|f\|_{\operatorname{BV}} = \|f\|_{\operatorname{L}^1} + \operatorname V(f)</math>
를 정의하면, 이는 [[바나흐 공간]]을 이룬다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 열린집합 <Math>\Omega\subseteq\mathbb R^n</math>에 대하여, 만약 <math>f,g\in\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)</math>라면, 다음이 성립한다.
:<math>f + g \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)</math>
:<math>fg \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)</math>
:<math>(|f|+a)^{-1} \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)\qquad\forall a>0</math>

=== 포함 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>\mathcal C_{\text{comp}}^1(\Omega,\mathbb R) \subseteq \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)</math>
그러나
:<math>\mathcal C_{\text{comp}}^0(\Omega,\mathbb R) \not\subseteq\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)</math>
이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

=== 전변동 ===
만약 <math>f\in\mathcal C^2([a,b])</math>일 경우, 그 [[전변동]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname Vf = \int_a^b\,|f'(x)|\,\mathrm dx</math>
마찬가지로, 만약 어떤 [[열린집합]] <math>\Omega</math>에 대하여
* <math>\operatorname{cl}(\Omega)</math>가 [[콤팩트 집합]]이며,
* <math>\partial\Omega</math>가 어떤 [[매끄러운 다양체]]의 <math>\mathcal C^1</math> [[매장 (수학)|매장]]이라면, 
<math>f \colon \operatorname{cl}(\Omega) \to \mathbb R</math>의 경우 <math>f\restriction \Omega</math>는 유계 변동 함수이며,
:<math>\operatorname V(f\restriction\Omega) = \int_\Omega |\nabla f|</math>
이다.

=== 특이점 ===
유계 변동 함수 <Math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>는 두 증가 함수의 차이므로, <math>[a, b]</math>의 [[가산 집합|가산 개]] 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 [[거의 어디서나]] f의 도함수가 존재한다 ([[르베그 미분가능성 정리]] 참조). 또한 |f'|는 [[르베그 적분]] 가능하다.

=== 분해 불가능성 ===
<Math>\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)</math>는 [[분해 가능 공간]]이 아니다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <Math>\alpha\in(a,b)</math>에 대하여, [[지시 함수]]
:<math>1_{[\alpha,b]} \in \operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)</math>
를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.
:<math>\|1_{[\alpha,b]} - 1_{[\beta,b]}\|_{\operatorname{BV}} = 2 + |\alpha-\beta|\qquad\forall \alpha,\beta\in[a,b],\;\alpha\ne\beta</math>

이제, 임의의 <math>\alpha\in(a,b)</math>에 대하여 [[열린 공]]들의 족
:<math>\operatorname{ball}(1_{[\alpha,b]},1)</math>
을 생각하자. 이들은 [[비가산 집합|비가산 무한]] 개의 [[열린집합]]으로 구성된 [[서로소 집합|서로소 집합족]]을 이루며, 따라서 <math>\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)</math>는 [[분해 가능 공간]]이 아니다.
</div></div>

== 예 ==
다음과 같은 함수는 <math>[0,1]</math>에서 [[유계 함수]]이고 <math>(0,1]</math>에서 [[연속 함수]]지만, <math>[0,1]</math>에서 유계 변동 함수가 아니다.
:{|<
|style="width: 300px" |<math>f(x) = \begin{cases} 0&x =0 \\ \sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases} </math><br><math>\operatorname V(f) = \int_0^1 | x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm dx = \infty</math> || [[파일:Sin x^-1.svg|200px]]
|}
다음과 같은 함수는 <math>[0,1]</math>에서 [[유계 함수]]이고 <math>[0,1]</math>에서 연속 함수지만 <math>[0,1]</math>에서 유계 변동 함수가 아니다.
:{|
|style="width: 300px" |<math>f(x) = \begin{cases} 0&x = 0 \\ x\sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases} </math><br><math>\operatorname V(f) = \int_0^1 |\sin x^{-1} - x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm dx = \infty</math> ||[[파일:Xsin(x^-1).svg|200px]]
|}
다음과 같은 함수는 <math>[0,1]</math>에서 [[유계 함수]]이고, [[연속 함수]]이며, 유계 변동 함수이다.
:{|
|style="width: 300px" |<math>f(x) = \begin{cases} 0&x =0 \\ x^2\sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases} </math><br><math>\operatorname V(f) = \int_0^1 |2x\sin x^{-1} - \cos x^{-1}|\,\mathrm dx < \int_0^1 (2x + 1)\,\mathrm dx = 2</math> || [[파일:X^2sin(x^-1).svg|200px]]
|}

== 같이 보기 ==
* [[르베그 공간]]
* [[라돈 측도]]
* [[전변동]]
* [[이차변동성]]
* [[전변동 잡음제거]]
* [[전변동 점감]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Function of bounded variation}}
* {{매스월드|id=BoundedVariation|title=Bounded variation}}

{{전거 통제}}

[[분류:실해석학]]