유계형 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''유계형 집합'''(有界型集合, {{llang|en|bornological set}})은 [[유계 집합|유계]] 부분 집합들의 집합족이 명시된 [[집합]]이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''유계형'''(有界型, {{llang|en|bornology}})은 다음 두 조건을 만족시키는 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>이다.
* [[덮개 (위상수학)|덮개]]이다. 즉, <math>\textstyle\bigcup\mathcal B=X</math>이다.
* [[순서 아이디얼]]이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
** <math>\varnothing\in\mathcal B</math>
** ([[하집합]]성) 임의의 <math>B\in\mathcal B</math> 및 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, <math>S\cap B\in\mathcal B</math>
** ([[상향 원순서 집합|상향]]성) 임의의 <math>B,B'\in\mathcal B</math>에 대하여, <math>B\cup B'\in\mathcal B</math>
<math>\mathcal B</math>의 원소를 '''[[유계 집합]]'''이라고 한다.

유계형을 갖춘 집합 <math>(X,\mathcal B)</math>를 '''유계형 집합'''이라고 한다.

같은 집합 <math>X</math> 위의 두 유계형 <math>\mathcal B</math>, <math>\mathcal B'</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal B\subseteq\mathcal B'</math>이라면, <math>\mathcal B</math>가 더 '''엉성하다'''({{llang|en|coarser}})고 하며, 반대로 <math>\mathcal B'</math>이 더 '''섬세하다'''({{llang|en|finer}})고 한다.

두 유계형 집합 <math>(X,\mathcal B_X)</math>, <math>(Y,\mathcal B_Y)</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''유계형 함수'''({{llang|en|bounded map}})라고 한다.
* 유계 집합의 [[상 (수학)|상]]은 유계 집합이다. 즉, 임의의 <math>B_X\in\mathcal B_X</math>에 대하여, <math>f(B_X)\in\mathcal B_Y</math>이다.

== 성질 ==
임의의 유계형 집합 <math>(X,\mathcal B)</math>에서, <math>X</math>의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]은 항상 유계 집합이다.

유계형 집합과 유계형 함수들의 [[범주 (수학)|범주]]는 [[준토포스]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=Cartesian closed categories, quasitopoi and topological universes|url=http://dml.cz/dmlcz/106447|성=Adámek|이름=Jiří|성2=Herrlich|이름2=Horst |저널=Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae|권=27|날짜=1986|호=2|쪽=235–257|mr=857544 |zbl=0601.18003|언어=en}}</ref>{{rp|256, Example III.10(b)}}

== 예 ==
=== 집합 ===
[[집합]] <math>X</math> 및 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[집합의 크기|크기]]가 <math>\kappa</math> 미만인 [[부분 집합]]들의 족
:<math>\mathcal P_{<\kappa}(X)=\{S\subseteq X\colon |S|<\kappa\}</math>
은 유계형 집합을 이룬다.

특수한 경우로 다음이 있다.
* <math>\kappa=\aleph_0</math>인 경우, <math>\mathcal P_{<\aleph_0}(X)</math>-유계 집합은 [[유한 집합|유한]] 부분 집합이다. 이는 <math>X</math> 위의 가장 엉성한 유계형이다.
* <math>\kappa>|S|</math>인 경우, 모든 [[부분 집합]]이 <math>\mathcal P_{<\kappa}(X)</math>-유계 집합이다. 이는 <math>X</math> 위의 가장 섬세한 유계형이다.

특히, 만약 <math>X</math>가 유한 집합일 경우 <math>\mathcal B_{<\kappa}=\mathcal P(X)</math>들은 <math>\kappa</math>에 관계없이 모두 일치하며, 이는 <math>X</math> 위의 유일한 유계형이다.

=== 위상 공간 ===
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>에서, [[폐포 (위상수학)|폐포]]가 [[콤팩트 집합]]인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

=== 거리 공간 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math>에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.
:<math>\mathcal B=\{S\subseteq X\colon\operatorname{diam}_dS<\infty\}</math>
여기서
:<math>\operatorname{diam}S=\sup_{s,t\in S}d(s,t)</math>
는 <math>S</math>의 [[지름]]이다.

=== 위상 벡터 공간 ===
[[위상체]] <math>K</math> 위의 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''폰 노이만 유계형'''({{llang|en|von Neumann bornology}})은 다음과 같다.
:<math>B\in\mathcal B\iff\forall U\in\mathcal N_0\exists r\in K^\times\colon B\subseteq rU</math>
여기서
* <math>\mathcal N_0</math>는 [[영벡터]]의 [[근방 필터]]이다.
* <math>K^\times=K\setminus\{0\}</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]이다.

두 위상 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 [[연속 함수|연속]] [[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>은 폰 노이만 유계 함수이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>T</math>가 [[연속 함수]]라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합 <math>B\subseteq V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 [[열린 근방]] <math>U\ni 0_W</math>에 대하여, <math>T^{-1}(U)\ni0_V</math>는 <math>0_V</math>의 [[열린 근방]]이다. <math>B</math>가 폰 노이만 유계 집합이므로, <math>B\subseteq rT^{-1}(U)</math>인 <math>r\in K^\times</math>가 존재한다. 따라서 <math>T(B)\subseteq rU</math>이며, 따라서 <math>T(B)</math> 역시 폰 노이만 유계 집합이다.
</div></div>
그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약 <math>V</math>가 [[거리화 가능]] [[국소 볼록 공간|국소 볼록]] [[배럴 공간]]이며 <math>W</math>가 [[국소 볼록 공간]]인 경우, 선형 변환 <math>V\to W</math>에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 [[동치]]이다.

=== 순서 집합 ===
<math>(X,\lesssim)</math>가 [[상향 원순서 집합]]이라고 하자. 그렇다면, [[상계 (수학)|상계]]를 갖는 [[부분 집합]]들의 족
:<math>\mathcal B_{\text{ub}}(X)=\{S\subseteq X\colon\exists a\in X\forall s\in S\colon a\gtrsim s\}</math>
은 유계형을 이룬다. 마찬가지로, <math>(X,\lesssim)</math>가 [[하향 원순서 집합]]이라면, [[하계 (수학)|하계]]를 갖는 [[부분 집합]]들의 족
:<math>\mathcal B_{\text{lb}}(X)=\{S\subseteq X\colon\exists a\in X\forall s\in S\colon a\lesssim s\}</math>
은 유계형을 이룬다. 만약 <math>(X,\lesssim)</math>가 [[상향 원순서 집합]]이자 [[하향 원순서 집합]]이라면 (예를 들어, <math>X</math>가 [[공집합]]이 아닌 [[전순서 집합]]이라면), [[상계 (수학)|상계]]와 [[하계 (수학)|하계]]를 둘 다 갖는 [[부분 집합]]들의 족
:<math>\mathcal B_{\text{b}}=\mathcal B_{\text{ub}}\cap\mathcal B_{\text{lb}}</math>
역시 유계형을 이룬다.

=== 측도 공간 ===
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mu</math>는 [[완비 측도]]이며, 모든 [[한원소 집합]]은 [[가측 집합]]이자 그 [[측도]]가 0이다.
* [[측도]]가 0인 [[가측 집합]]들의 족 <math>\{S\in\Sigma\colon\mu(S)=0\}</math>은 유계형을 이룬다.

== 역사 ==
유계형 집합의 개념은 조지 매키({{llang|en|George Mackey}})가 최초로 연구하였다. 이후 [[니콜라 부르바키]]가 "유계형"({{llang|fr|bornologie|보르놀로지}})이라는 용어를 도입하였다. 이는 {{llang|fr|[[:wiktionary:ko:borné|borné]]|보르네}}([[유계 집합]]) + {{llang|fr|-ologie|올로지}}(위상 {{llang|fr|topologie|토폴로지}}의 어미)의 합성어이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Théorie des bornologies et applications|이름=Henri|성=Hogbe-Nlend|출판사=Springer-Verlag|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=213|issn=0075-8434|mr=625157|zbl=0225.46005|날짜=1971|doi=10.1007/BFb0069416|isbn=978-3-540-05546-4|언어=fr}}
* {{저널 인용|제목=Les racines historiques de la bornologie moderne|이름=Henri|성=Hogbe-Nlend|저널=Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse |url=http://www.numdam.org/item?id=SC_1970-1971__10_1_A5_0|권=10|호=9|날짜=1971-01-05||mr=625157|zbl=0225.46005|언어=fr}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=bornological set|title=Bornological set}}
* {{nlab|id=bornological space|title=Bornological space}}
* {{nlab|id=bornological topological vector space|title=Bornological topological vector space}}
* {{nlab|id=bornological group|title=Bornological group}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:위상 벡터 공간]]