위상 T-이중성 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]과 [[끈 이론]]에서 '''위상 T-이중성'''({{llang|en|topological T-duality}})은 [[끈 이론]]의 [[T-이중성]]의 일부를 포함하는 수학적 공식화이다.<ref name="BEM">{{저널 인용|이름=Peter |성=Bouwknegt|이름2=Jarah |성2=Evslin|이름3= Varghese |성3=Mathai|제목=T-duality: topology change from ''H''-flux|저널=Communications in Mathematical Physics|권=249|호=2|쪽=383–415|날짜=2004|arxiv=hep-th/0306062|doi=10.1007/s00220-004-1115-6|언어=en}}</ref> 이는 일반화 기하학과 뒤틀린 드람 코호몰로지와 뒤틀린 K이론의 동형을 정의하며, 이는 각각 NS-NS 배경장 · [[라몽-라몽 장]] · [[D-막]]의 대응 관계를 나타낸다.

== 정의 ==
끈 이론의 T-이중성의 일부는 수학적으로 다음과 같이 공식화될 수 있다.<ref name="BEM"/>

다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[자연수]] <math>k</math>
* <math>k</math>차원 콤팩트 아벨 [[리 군]] <math>T</math>, <math>T^\vee</math>
* <math>T</math>-[[주다발]] <math>\pi\colon E \twoheadrightarrow M</math>
* <math>T^\vee</math>-[[주다발]] <math>\pi^\vee\colon E^\vee \twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math> 위의 3차 [[특이 코호몰로지류]] <math>H \in \operatorname H^3(E;\mathbb Z)</math>
* <math>E^\vee</math> 위의 3차 [[특이 코호몰로지류]] <math>H^\vee \in \operatorname H^3(E^\vee;\mathbb Z)</math>
그렇다면, 올곱 <math>E \times_M E^\vee</math>를 정의할 수 있으며, 이에 대한 사영 사상
:<math>\varpi\colon E \times_M E^\vee \twoheadrightarrow E</math>
:<math>\varpi^\vee\colon E \times_M E^\vee \twoheadrightarrow E^\vee</math>
을 정의할 수 있다. 만약
:<math>\varpi^*H = \varpi^{\vee *}H^\vee \in \operatorname H^3(E\times_ME^\vee)</math>
라면, <math>(E,E^\vee,H,H^\vee)</math>를 서로 '''T-이중'''라고 한다.

== 성질 ==
=== 뒤틀린 드람 코호몰로지 ===
T-이중 공간 <math>(E,H,E^\vee,H^\vee,M)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 [[뒤틀린 드람 코호몰로지]]롤 정의할 수 있으며, 양쪽의 뒤틀린 드람 코호몰로지는 다음과 같이 서로 표준적으로 동형이다.<ref name="BEM"/>{{rp|Theorem 3.1}}
:<math>\operatorname H^i_H(E) \cong \operatorname H^{i+1}_{H^\vee}(E^\vee)\qquad(i\in\{2\mathbb Z,1+2\mathbb Z\})</math>
이는 ⅡA [[초끈 이론]]과 ⅡB [[초끈 이론]]의 [[라몽-라몽 장]] 사이의 관계를 나타낸다.

=== 뒤틀린 K이론 ===
T-이중 공간 <math>(E,H,E^\vee,H^\vee,M)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 [[뒤틀린 K이론]]
:<math>\operatorname K^i_H(E)\qquad(i\in \{2\mathbb Z,1+2\mathbb Z\})</math>
:<math>\operatorname K^i_{H^\vee}(E^\vee)\qquad(i\in \{2\mathbb Z,1+2\mathbb Z\})</math>
을 정의할 수 있다. 이 경우, 마찬가지로 양쪽의 뒤틀린 K이론 사이의 표준적인 동형이 존재한다.
:<math>\operatorname K^i_H(E) \cong \operatorname K^{i+1}_{H^\vee}(E^\vee)\qquad(i\in\{2\mathbb Z,1+2\mathbb Z\})</math>
뒤틀린 K이론은 [[캘브-라몽 장]]이 존재하는 시공간의 [[D-막]]을 분류하므로, 이는 ⅡA [[초끈 이론]]과 ⅡB [[초끈 이론]]의 [[D-막]] 사이의 관계를 나타낸다.

=== 기하학적 구조 ===
T-이중 공간 <math>(E,H,E^\vee,H^\vee,M)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 [[쿠런트 준대수]]를 정의할 수 있으며, 이는 서로 [[동형]]이다.<ref name="CG">{{저널 인용|arxiv=1106.1747|제목=Generalized complex geometry and T-duality|이름=Gil R.|성=Cavalcanti|이름2=Marco|성2=Gualtieri|언어=en}}</ref> 이에 따라, 쿠런트 준대수의 구조만으로 정의되는 모든 기하학적 구조의 모듈러스 공간은 양쪽에서 서로 동형이다. 특히, 표준적인 동형 사상
:<math>(\mathrm TE \oplus \mathrm T^*E) / T \cong (\mathrm TE^\vee \oplus \mathrm T^*E^\vee) / T^\vee</math>
에 따라서, <math>E</math> 위의 [[일반화 복소구조]]는 <math>E^\vee</math> 위의 [[일반화 복소구조]]와 일대일 대응한다.

마찬가지로, [[일반화 리만 계량]](=NS-NS 배경장) 및 [[일반화 켈러 다양체]] 구조의 모듈러스 공간 역시 양쪽에서 일대일 대응한다.

== 예 ==
[[3차원 초구]]는 2차원 구 위의 [[U(1)]] [[주다발]]을 이룬다 ([[호프 올다발]]).
:<math>\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^2</math>
만약 <math>\mathbb S^3</math> 위에 아무런 [[캘브-라몽 장]]세기가 없다면 <math>H=0</math>, 이에 대응되는 T-이중 원다발은 자명한 위상을 가지지만 한 단위의 [[캘브-라몽 장]]세기를 갖는다. 즉, 이는 <math>\mathbb S^2 \times \mathbb S^1</math>이며, <math>H \in\operatorname H^3(\mathbb S^2\times\mathbb S^1;\mathbb Z)</math>은 [[무한 순환군]]의 생성원이다.

만약 <math>\mathbb S^3</math> 위에 한 단위의 [[캘브-라몽 장]]세기가 주어졌다면 <math>H=0</math>, 이는 스스로와 T-이중이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=topological T-duality|title=Topological T-duality}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/string/archives/000827.html | 이름=Urs|성=Schreiber | 웹사이트=
Mathai on T-Duality, Ⅰ: Overview | 제목= The String Coffee Table | 날짜=2006-06-02|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/string/archives/000828.html | 이름=Urs|성=Schreiber | 제목=
Mathai on T-Duality, Ⅱ: Dual K-classes by Fourier–Mukai | 웹사이트= The String Coffee Table | 날짜=2006-06-02|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/string/archives/000829.html| 이름=Urs|성=Schreiber  | 제목=Mathai on T-Duality, Ⅲ: Algebraic formulation | 웹사이트= The String Coffee Table | 날짜=2006-06-02|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/~distler/blog/archives/000837.html|이름=Jacques | 성=Distler | 제목=Topological T-duality | 웹사이트=Musings | 날짜=2006-06-10|언어=en}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:끈 이론]]