위상 K이론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''위상 K이론'''(位相K理論, {{llang|en|topological K-theory}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위의 [[벡터 다발]]을 연구하는 분야이다.<ref name="Zois">{{저널 인용|제목=18 lectures on K-Theory|이름=Ioannis P.|성=Zois|arxiv=1008.1346|bibcode=2010arXiv1008.1346Z|날짜=2010-08|언어=en}}
</ref> 보다 일반적인 [[K이론]]의 특수한 경우다.

== 정의 ==
=== 벡터 다발을 통한 정의 ===
==== 0차 K군 ====
다음이 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>
* 기호 <math>G \in \{\operatorname O,\operatorname U,\operatorname{Sp}\}</math>. 이에 대하여,
** <math>\operatorname O</math>-벡터 다발은 <math>X</math> 위의 (유한 차원, 연속) 실수 [[벡터 다발]]이다. (O는 [[직교군]]을 뜻한다.)
** <math>\operatorname U</math>-벡터 다발은 <math>X</math> 위의 (유한 차원, 연속) [[복소수 벡터 다발]]이다. (U는 [[유니터리 군]]을 뜻한다.)
** <math>\operatorname{Sp}</math>-벡터 다발은 <math>X</math> 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 [[벡터 다발]] 가운데, (만약 <math>2n</math>차원이라면) <math>\operatorname{Sp}(2n;\mathbb R)</math>--[[주다발]]의 [[연관 벡터 다발]]로 표현되는 것이다. (Sp는 [[심플렉틱 군]]을 뜻한다.)
그렇다면, <math>X</math> 위의 <math>G</math>-[[벡터 다발]]
:<math>E \twoheadrightarrow X</math>
들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 [[가환 모노이드]]를 이루며, <math>G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}</math>인 경우 텐서곱을 통하여 [[가환 반환]]을 이룬다. ([[직합]]에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

<math>X</math>의 <math>G</math>에 대한 '''K군'''({{lang|en|K-group}}) <math>\mathrm KG^0(X)</math>는 <math>X</math> 위의 <math>G</math>-[[벡터 다발]]들의 [[그로텐디크 군]]이다. 만약 <math>G \in \{\operatorname O,\operatorname U\}</math>라면, 이는 [[가환환]]을 이룬다.

흔히, 만약 <math>G</math>를 생략하였다면, <math>G = \operatorname U</math>를 뜻한다.

==== 축소 K군 ====
<math>(X,x_0)</math>가 [[점을 가진 공간]]이라고 하자. 그렇다면 '''축소 K군'''(縮小K群, {{llang|en|reduced K-group}}) <math>\operatorname{\tilde K}^0(X,x_0)</math>는 다음과 같다. 다음과 같은 [[준동형]]이 존재한다.
:<math>\phi\colon\operatorname K^0(X)\to\operatorname  K^0(\{x_0\})</math>
그렇다면
:<math>\operatorname {\tilde K}^0(X,x_0)=\ker\phi=\operatorname K^0(X)/\operatorname K^0(\{x_0\})</math>
이다.

[[벡터 다발]]의 차원에 해당하는, 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>\dim\colon\operatorname  K^0(X)\to\operatorname{\check H}^0(X,\mathbb Z)</math>
여기서 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)</math>는 정수 계수를 가지는 [[체흐 코호몰로지]]다. 만약 <math>X</math>가 [[연결 공간]]이라면 <math>\check H^0(X,\mathbb Z)=\mathbb Z</math>이다. 이 경우 <math>\dim\colon K^0(X)\to\mathbb Z</math>이며, [[벡터 공간]] <math>K_n^0(X)=\dim^{-1}(n)</math>은 <math>n</math>차원 벡터 다발들이 이루는 [[그로텐디크 군]]이다.

'''상대 K군'''({{llang|en|relative K-group}})은 [[상대 호몰로지]]와 유사한 개념으로, 다음과 같다. <math>A\subseteq X</math>가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math>의 <math>A</math>에 대한 '''상대 K군''' <math>\operatorname K^0(X,A)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname K^0(X,A)=\operatorname{\tilde K}^0(X/A)</math>
여기서 <math>X/A</math>의 점은 물론 <math>A/A\in X/A</math>이다.

<math>X</math>가 (콤팩트하지 않을 수 있는) [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하자. 그렇다면, '''[[콤팩트 지지]] K군'''({{llang|en|K-group with compact support}}) <math>\operatorname K_{\text{c}}^0(X)</math>는 그 [[알렉산드로프 콤팩트화]] <math>X^+</math>의 축소 K군이다.
:<math>\operatorname K_{\text{c}}^0(X)=\operatorname {\tilde K}^0(X^+)</math>
물론, 만약 <math>X</math>가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,
:<math>\operatorname K_{\text{c}}^0(X)=\operatorname {\tilde K}^0(X^+)=\operatorname {\tilde K}^0(X\sqcup\{\bullet\})=\operatorname K^0(X)</math>
이다.

==== 고차 K군 ====
'''&minus;n차 축소 K군''' <math>\operatorname K^{-n}(X)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{\tilde K}^{-n}(X)=\operatorname{\tilde K}(\mathbb S^n\wedge X)</math>
여기서 <math>\wedge</math>는 위상 공간의 [[분쇄곱]]이고, <math>\mathbb S^n</math>은 <math>n</math>차원 [[초구]]다. 여기서 <math>S^0\wedge X\cong X</math>이므로, <math>\operatorname {\tilde K}^0(X)</math>의 정의는 일관적이다. 또한 <math>\mathbb S^m\wedge\mathbb S^n\cong\mathbb S^{m+n}</math>이므로, <math>\tilde K^{-m-n}(X)=\tilde K^{-m}(S^n\wedge X)</math>이다.

'''&minus;n차 (비축소) K군''' <math>\operatorname K^{-n}(X)</math>는 그 [[알렉산드로프 콤팩트화]] <math>X^+=X\sqcup\{\infty\}</math>의 축소 K군이다.
:<math>\operatorname K^{-n}(X)=\operatorname{\tilde K}^{-n}(X^+)</math>

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.
* <math>\operatorname {\tilde KU}^{-n-2}(X)=\operatorname{\tilde KU}^{-n}(X)</math>
* <math>\operatorname {\tilde KO}^{-n-8}(X)=\operatorname{\tilde KO}^{-n}(X)</math>.
이를 [[보트 주기성]]({{lang|en|Bott periodicity}})이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 <math>K^1</math>, <math>K^2</math> 등을 정의할 수 있다.

=== 안정 벡터 다발을 통한 정의 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. <math>X</math> 위의 두 (유한 차원, 연속) [[복소수 벡터 다발]] <math>E</math>, <math>F</math> 사이에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자.
:<math>E \sim F \iff \exists n \in\mathbb N\colon E\oplus\mathbb C^n \cong F\oplus\mathbb C^n</math>
여기서 <math>\mathbb C^n</math>은 <math>n</math>차원 자명한 [[복소수 벡터 다발]]이며, 우변의 <math>\cong</math>은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 [[동치 관계]]에 대한 [[동치류]]를 '''안정 벡터 다발'''(安定vector다발, {{llang|en|stable vector bundle}})이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 [[가환 모노이드]]를 이루며, 이는 사실 [[아벨 군]]이다. 이를 <math>X</math>의 0차 '''축소 K군''' <math>\operatorname{\widetilde{KU}}^0(X)</math>이라고 한다.

=== 분류 공간을 통한 정의 ===
기호 <math>G \in \{\operatorname O,\operatorname U,\operatorname{Sp}\}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[리 군]]의 포함 관계
:<math>G(0) \hookrightarrow G(1) \hookrightarrow \dotsb</math>
에 대한 [[분류 공간]]의 포함 관계
:<math>\mathrm BG(0) \to \mathrm BG(1) \to \mathrm BG(2) \to \dotsb</math>
가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 <math>X</math> 위의 <math>G(n)</math>-[[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow X</math>가 주어졌을 때, <math>\operatorname G(n+1)</math>-벡터 다발 <math>E\oplus\mathbb K</math>를 취하는 것이다 (<math>\mathbb K</math>는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, [[귀납적 극한]]
:<math>\varinjlim \mathrm BG(\infty)</math>
를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. [[직교군]] <math>\operatorname O(n)</math>의 [[분류 공간]] <math>\operatorname{BO}(n)</math>은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 <math>n</math>차원 부분 공간들의 공간([[그라스만 다양체]])이며, [[유니터리 군]] <math>\operatorname U(n)</math>의 [[분류 공간]] <math>\operatorname{BU}(n)</math>은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 <math>n</math>차원 부분 공간들의 공간이다.

<math>X</math>가 [[CW 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의 '''K군'''은 다음과 같다.
:<math>\mathrm KG(X) = [X,\mathbb Z\times\mathrm BG(\infty)]</math>
여기서 <math>[X,Y]</math>는 <math>X\to Y</math> [[호모토피류]]들의 집합이다.

만약, <math>X</math>가 <math>n</math>차원 [[연결 공간]]이고 <math>k>n/2</math>일 때,
:<math>\operatorname{\widetilde{KO}}(X)\cong[X,\operatorname{BO}(k)]</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}(X)\cong[X,\operatorname{BU}(k)]</math>
이 성립한다.

== 성질 ==
=== 함자성 ===
<math>\mathcal C</math>가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] [[약한 하우스도르프 공간]]의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]를 정의한다.
:<math>\operatorname{KO}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\operatorname{KU}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\operatorname{KSp}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C) \to \operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}</math>
여기서
* <math>\operatorname{ho}(\mathcal C)</math>는 위상 공간의 [[호모토피 범주]]이다.
* <math>\operatorname{CRing}</math>은 [[가환환]]의 범주이다.
* <math>\operatorname{Ab}</math>은 [[가환군]]의 범주이다.
* <math>(-)^{\operatorname{op}}</math>은 [[반대 범주]]이다.

즉, [[연속 함수]] <math>X\to Y</math>가 주어지면, 이에 따라 [[환 준동형]] <math>K(Y)\to K(X)</math>가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 [[점을 가진 공간]]의 범주 위의 함자를 정의한다.
:<math>\operatorname{\widetilde{KO}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KSp}}\colon\operatorname{ho}(\mathcal C/\bullet) \to \operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}</math>

특히, 위상 K이론은 [[호모토피]] 불변량이다. 즉, 서로 [[호모토피 동치]]인 공간들의 K군들은 동형이다.

=== 보트 주기성 ===
다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}^{\bullet+2}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KU}}^\bullet(X)</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KO}}^{\bullet+8}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KO}}^\bullet(X)</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KSp}}^{\bullet+8}(X) \cong \operatorname{\widetilde{KSp}}^\bullet(X)</math>

[[분류 공간]]으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.
:<math>\Omega^8\mathrm{BO}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BO}(\infty)</math>
:<math>\Omega^2\mathrm{BU}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BU}(\infty)</math>
:<math>\Omega^8\mathrm{Sp}(\infty) \simeq \mathbb Z \times \mathrm{BSp}(\infty)</math>

=== 코호몰로지 ===
위상 K이론은 [[코호몰로지]]에 대한 [[에일렌베르크-스틴로드 공리]]들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 <math>H^n(\{\bullet\})=0\forall n>0</math>이어야 하지만, K이론에서는 <math>\operatorname{KU}^{2n}(\{\bullet\})=\mathbb Z</math>이다.)

=== 천 지표 ===
[[천 지표]] <math>\operatorname{ch}\colon\operatorname{Vect}(X)\to\operatorname H^\bullet(X)</math>는 <math>X</math> 위의 [[벡터 다발]]들의 [[가환 모노이드]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 <math>\operatorname H^0(X)\oplus\operatorname H^2(X)\oplus\dotsb\subset\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>로 가는 [[모노이드 준동형]]이다.<ref name="Zois"/>{{rp|40–45}}<ref name="Hatcher">{{서적 인용|제목=Vector Bundles and K-Theory|이름=Allen|성=Hatcher|날짜=2009-05|판=버전 2.1|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|100–102}} 이는 [[그로텐디크 군]] 연산을 통해, 다음과 같은 [[환 준동형]] <math>\operatorname{ch}\colon K^0(X)\to H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>로 확장된다. 즉, <math>[E],[F]\in K^0(X)</math>라고 하면,
:<math>\operatorname{ch}([E]\oplus[F])=\operatorname{ch}([E])+\operatorname{ch}([F])</math>
:<math>\operatorname{ch}([E]\otimes[F])=\operatorname{ch}([E])\smile\operatorname{ch}([F])</math>
:<math>\operatorname{ch}(-[E])=-\operatorname{ch}([E])</math>
:<math>\operatorname{ch}([\mathbb C^{\oplus k}])=k</math>
이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 <math>\operatorname{ch}\colon\tilde K^0(X)\to\tilde H^\bullet(X;\mathbb Q)</math> 또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|102}}
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}^1(X)=\operatorname{KU}^0(\mathbb S^1\wedge X)</math>
:<math>\operatorname{\tilde H}^{2k}(X;\mathbb Q)\cong\operatorname H^{2k+1}(\mathbb S^1\wedge X;\mathbb Q)</math>
이므로, 이를 사용하여 천 지표를
:<math>\operatorname K^\bullet(X)\to\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>
로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 [[CW 복합체]])의 경우, 천 지표는 <math>K^\bullet(X)\otimes\mathbb Q</math>와 <math>H^\bullet(X;\mathbb Q)</math> 사이의 [[동형 사상]]이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.<ref name="Karoubi">{{저널 인용|제목=K-theory. An elementary introduction|이름=Max|성=Karoubi|arxiv=math/0602082|bibcode=2006math......2082K|날짜=2006-02|언어=en}}</ref>{{rp|7}}
:<math>\operatorname{KU}^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{2k}(X;\mathbb Q)</math>
:<math>\operatorname{KU}^1(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{2k+1}(X;\mathbb Q)</math>
마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|7}}
:<math>\operatorname{KO}^0(X)\otimes\mathbb Q=\bigoplus_k\operatorname H^{4k}(X;\mathbb Q)</math>

== 예 ==
=== 축약 가능 공간 ===
하나의 점을 포함하는 공간 <math>\{\bullet\}</math>의 K군들은 다음과 같다.
:<math>K^0(\{\bullet\})=\mathbb Z</math>
:<math>\tilde K^0(\{\bullet\})=0</math>
:<math>K^1(\{\bullet\})=\tilde K^1(\{\bullet\})=0</math>
K이론은 [[호모토피]] 불변량이므로, 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[축약 가능 공간]]의 K군은 1점 공간 <math>\{\bullet\}</math>의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우
:<math>K^0(X)\cong\tilde K^0(X)\oplus\mathbb Z</math>
:<math>K^1(X)\cong\tilde K^1(X)</math>
임을 알 수 있다.

=== 초구 ===
[[초구]] <math>S^n</math>의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.<ref name="Zois"/>{{rp|39}}
:<math>\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n})=\mathbb Z^2</math>
:<math>\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n})=0</math>
:<math>\operatorname{KU}^0(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname{KU}^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z</math>
초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n+1})=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KU}}^1(\mathbb S^{2n})=\operatorname{\widetilde{KU}}^0(\mathbb S^{2n+1})=0</math>
초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|이름=Sergei|성=Gukov|제목=K-theory, reality, and orbifolds|날짜=1999|arxiv=hep-th/9901042|언어=en}}</ref>{{rp|§3.1}}
:<math>\operatorname{\widetilde{KO}}^m(\mathbb S^n) = 
\begin{cases}
\mathbb Z&n-m\equiv 0,4\pmod8\\
\mathbb Z/(2)&n-m\equiv 1,2\pmod8\\
0&n-m\equiv 3,5,6,7\pmod8
\end{cases}</math>

=== 기타 공간 ===
복소수 [[사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^n</math>의 K군들은 다음과 같다.
:<math>K^0(\mathbb{CP}^n)=\mathbb Z^{n+1}</math>
:<math>K^1(\mathbb{CP}^n)=0</math>
[[원환면]] <math>\mathbb T^n</math>의 K군들은 다음과 같다.
:<math>K^0(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}</math>
:<math>K^1(\mathbb T^n)=\mathbb Z^{2^{n-1}}</math>

== 역사 ==
[[마이클 아티야]]와 [[프리드리히 히르체브루흐]]가 1950년대 말에 창시하였다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/ah.pdf|제목=Correspondence Atiya ↔ Hirzebruch about ''K''-theory|이름=Shu|성=Otsuka}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[KR이론]]
* [[아티야-싱어 지표 정리]]
* [[대수적 K이론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Algebraic v. topological ''K''-theory: a friendly match|이름=Guillermo|성=Cortiñas
|제목=Topics in algebraic and topological ''K''-theory|기타=Springer Lecture Notes in Mathematics 2008|쪽=103–165|doi=10.1007/978-3-642-15708-0_3|arxiv=0903.3983|bibcode=2009arXiv0903.3983C|isbn=978-3-642-15707-3|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2011|언어=en|zbl=1216.19002|mr=2762555}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:K이론]]