위상 함자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]과 [[일반위상수학]]에서 '''위상 함자'''(位相函子, {{llang|en|topological functor}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주에서 [[집합]] 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 [[함자 (수학)|함자]]이다. 구체적으로, 주어진 [[집합]]을 [[정의역]]으로 하는 [[함수]]들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 [[집합]]을 [[공역]]으로 하는 [[함수]]들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. [[올범주]]의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.<ref name="Garner"/>{{rp|407, §1}}

== 정의 ==
=== 원천과 흡입 ===
범주 <math>\mathcal E</math>의 '''원천'''(源泉, {{llang|en|source|소스}}) <math>(X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I})</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Herrlich"/>{{rp|125, Definition 1.1(1)}}
* <math>X\in\mathcal E</math>는 대상이다.
* <math>(Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E</math>는 <math>\mathcal E</math>의 대상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. (이 모임은 [[고유 모임]]일 수 있다.)
* <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>는 <math>\mathcal E</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다.
마찬가지로, <math>\mathcal E</math>의 '''흡입'''(吸入, {{llang|en|sink|싱크}}) <math>(X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I})</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>X\in\mathcal E</math>는 대상이다.
* <math>(Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E</math>는 <math>\mathcal E</math>의 대상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. (이 모임은 [[고유 모임]]일 수 있다.)
* <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>는 <math>\mathcal E</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다.

만약 <math>I</math>가 [[공집합]]이라면, 원천 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>은 단순히 대상 <math>X</math>이며, 만약 <math>I</math>가 [[한원소 집합]]이라면 원천은 단순히 사상 <math>X\to Y</math>이다.

=== 시작 원천과 끝 흡입 ===
범주 <math>\mathcal E</math>의 원천 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math> 및 [[함자 (수학)|함자]] <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>가 다음 [[보편 성질]]을 만족시킨다면, <math>(f_i)_{i\in I}</math>를 '''<math>\Pi</math>-시작 원천'''(始作源泉, {{llang|en|initial source}})이라고 한다.<ref name="Herrlich"/>{{rp|Definition 2.1(1)}}
* 임의의 대상 <math>X'\in\mathcal E</math> 및 사상 <math>\hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X)</math> 및 사상족 <math>(f'_i\colon X'\to Y_i)_{i\in I}</math>에 대하여, <math>\forall i\in I\colon\Pi(f_i)\circ\hat g=\Pi(f'_i)</math>라면, <math>\hat g=\Pi(g)</math>이자 <math>\forall i\in I\colon f_i\circ g=f'_i</math>인 <math>g\colon X'\to X</math>가 유일하게 존재한다.
*:<math>
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
X'\\
{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
X&\underset{f_i}\to&Y_i
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\Pi X'\\
{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
\Pi X&\underset{\Pi f_i}\to&\Pi Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}
</math>
마찬가지로, 그 쌍대 개념인 '''<math>\Pi</math>-끝 흡입'''(-吸入, {{llang|en|<math>\Pi</math>-final sink}})을 정의할 수 있다.

만약 <math>I</math>가 [[한원소 집합]]이라면, 시작 원천은 '''[[데카르트 사상]]'''이라고 한다.

=== 올림 ===
두 범주 <math>\mathcal E</math>, <math>\mathcal B</math> 사이의 [[함자 (수학)|함자]] <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal B</math>의 원천 <math>(\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I}</math>에서, 만약 <math>\hat Y_i=\Pi(Y_i)</math>인 <math>Y_i\in\mathcal E</math>가 존재한다면, 원천 <math>(\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I}</math>를 '''<math>\Pi</math>-구조 원천'''(構造源泉, {{llang|en|<math>\Pi</math>-structured source}})이라고 한다.<ref name="Herrlich"/>{{rp|128, Definition 1.1(2)}} 마찬가지로 '''<math>\Pi</math>-구조 흡입'''(構造吸入, {{llang|en|<math>\Pi</math>-structured sink}})을 정의한다.

<math>\Pi</math>-구조 원천 <math>(\hat f_i\colon\hat X\to \Pi(Y_i))_{i\in I}</math>의 '''[[올림]]'''은 <math>\Pi(X)=\hat X</math>이자 <math>\forall i\in I\colon\Pi(f_i)=\hat f_i</math>인  <math>\mathcal E</math>-원천 <math>(f_i\colon\hat X\to Y_i)_{i\in I}</math>이다.
:<math>
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
\exists X\\
{\scriptstyle\exists f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists f_i}\\
Y_i
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\hat X\\
{\scriptstyle\hat f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat f_i}\\
\Pi Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}
</math>
<math>\Pi</math>-구조 흡입의 '''올림''' 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 [[보편 성질]]에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 [[동형 사상]] 아래 유일하다.

임의의 <math>\Pi</math>-구조 원천 <math>(\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}</math>이 만약 시작 원천 <math>(X\to Y_i)_{i\in I}</math>을 갖는다면, <math>X</math>를 원천 <math>(\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}</math>에 대한 <math>\hat X</math>의 '''시작 <math>\mathcal E</math>-구조'''(始作構造, {{llang|en|initial <math>\mathcal E</math>-structure}})라고 한다. 마찬가지로, <math>\Pi</math>-구조 흡입에 대한 '''끝 <math>\mathcal E</math>-구조'''(-構造, {{llang|en|final <math>\mathcal E</math>-structure}})를 정의할 수 있다.

=== 위상 함자 ===
[[함자 (수학)|함자]] <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함자를 '''위상 함자'''({{llang|en|topological functor}})라고 한다.<ref name="Herrlich"/>{{rp|128, Definition 2.1(3)}}<ref>{{저널 인용|제목=Topological categories|이름=G. C. L.|성=Brümmer|doi=10.1016/0166-8641(84)90029-4|저널=Topology and its Applications|권=18|호=1|날짜=1984-09|쪽=27–41|issn=0166-8641|언어=en}}</ref>{{rp|29–30, §2}}<ref name="LSV"/>{{rp|4, Definition 2.12}}
* 모든 <math>\Pi</math>-구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
* 모든 <math>\Pi</math>-구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, [[풍성한 범주]] 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.<ref name="Garner">{{저널 인용|arxiv=1310.0903|이름=Richard|성=Garner|bibcode=2013arXiv1310.0903G|저널=Theory and Applications of Categories|제목=Topological functors as total categories|권=29|호=15|날짜=2014-08-12|쪽=406–421|url=http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/29/15/29-15abs.html|issn=1201-561X|zbl=1305.18005|언어=en}}</ref>

[[구체적 범주]] <math>(\mathcal E,F)</math>에서, 만약 <math>F\colon\mathcal E\to\operatorname{Set}</math>가 위상 함자라면, 이를 '''위상 구체적 범주'''(位相具體的範疇, {{llang|en|topological concrete category}})라고 하며, 흔히 '''위상 범주'''(位相範疇, {{llang|en|topological category}})로 줄여 부른다.

== 성질 ==
모든 위상 함자는 [[충실한 함자]]이다.<ref name="Herrlich"/>{{rp|129, Theorem 3.1}}

위상 함자 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.
* 모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.
* 모든 [[위상의 비교|엉성함 원순서]]들은 [[부분 순서]]들이다. 즉, 만약 <math>f\colon X\to Y</math>와 <math>g\colon Y\to X</math>가 <math>\mathcal E</math>의 사상이며, <math>\Pi(X)=\Pi(Y)=\hat X</math>이며 <math>\Pi(f)=\Pi(g)=\operatorname{id}_{\hat X}</math>라면, <math>X=Y</math>이다.
(이 조건은 [[범주의 동치]]에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)

<math>\mathsf P</math>가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.
* [[완비 범주]]
* [[쌍대 완비 범주]]
* [[정멱 범주]]
* [[쌍대 정멱 범주]]
위상 함자 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal B</math>가 <math>\mathsf P</math>라면, <math>\mathcal E</math> 역시 <math>\mathsf P</math>이다.

임의의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal E</math>에 대하여, 위상 함자 <math>\mathcal E\to\operatorname{Set}</math>들은 [[자연 동형]] 아래 유일하다.<ref name="Hoffmann1975">{{저널 인용|성1=Hoffmann|이름1=Rudolf-E.|제목=Topological functors and factorizations|언어=en|저널=Archives of Mathematics|권=26|쪽=1–7|날짜=1975|issn=0003-889X|doi=10.1007/BF01229694|mr=0428255|zbl=0309.18002}}</ref>{{rp|6, Corollary 2.2}}

== 예 ==
다음과 같은 [[구체적 범주]]들의 망각 함자는 위상 함자이다.
* [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math><ref name="LSV">{{서적 인용|제목=Beyond topology|장=Categorical topology|이름=Robert|성=Lowen|이름2=Mark|성2=Sioen|이름3=Stĳn|성3=Verwulgen|editor1-first= Frédéric|editor1-last=Mynard|editor2-first=Elliott|editor2-last=Pearl|출판사=American Mathematical Society|총서=Contemporary Mathematics|권=486|날짜=2009|isbn=978-0-8218-4279-9|doi=10.1090/conm/486/9506|mr=2521941|언어=en}}</ref>{{rp|2, Example 2.1(25)}}
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(1)}}
* [[콜모고로프 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{KolmTop}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(17)}}
* [[T1 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{T_1Top}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(18)}}
* [[하우스도르프 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{HausTop}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(19)}}
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{CompHausTop}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(21)}}
* [[균등 공간]]과 [[균등 연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Unif}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(2)}}
* [[가측 공간]]과 [[가측 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Measble}</math>
* [[원순서 집합]]과 순서 보존 함수의 범주 <math>\operatorname{Proset}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(14)}}
* [[부분 순서 집합]]과 순서 보존 함수의 범주 <math>\operatorname{Poset}</math><ref name="LSV"/>{{rp|2, Example 2.1(15)}}
* [[확장 유사 거리 공간]]과 상수 1의 [[립시츠 연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{\infty pMet}</math><ref name="Lowen">{{서적 인용|제목=Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad|총서=Oxford Mathematical Monographs|출판사=Clarendon Press|isbn=0-19-850030-0|zbl=0891.54001|이름=Robert|성=Lowen|날짜=1997|mr=472024|언어=en}}</ref>{{rp|233, Proposition B.1.2}}
* [[로비어 공간]]과 상수 1의 [[립시츠 연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{\infty qpMet}</math><ref name="Lowen"/>{{rp|233, Proposition B.1.2}}

다음과 같은 [[구체적 범주]]들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.
* [[차분한 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{SoberTop}</math>
* [[정규 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{NormTop}</math>
* [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{NormHausTop}</math>
* [[장소 (수학)|장소]]와 장소 사상의 범주 <math>\operatorname{Loc}</math>
* [[매끄러운 다양체]]와 [[매끄러운 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Diff}</math>

=== 위상 공간 ===
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 '''시작 위상'''(始作位相, {{llang|en|initial topology}})과 '''끝 위상'''(-位相, {{llang|en|final topology}})이라고 불린다.

즉, [[집합]] <math>X</math>와 위상 공간들의 족 <math>(Y_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면, <math>X</math> 위의 '''시작 위상'''은 <math>f_i</math>들을 모두 [[연속 함수]]로 만드는 가장 [[위상의 비교|엉성한 위상]]이다. 구체적으로, <math>X</math>의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.
:<math>\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(U)\mid U\in\operatorname{Open}(Y_i)\}</math>
여기서 <math>\operatorname{Open}(Y_i)</math>는 <math>Y_i</math>의 위상([[열린집합]]들의 족)이다.

마찬가지로,  [[집합]] <math>X</math>와 위상 공간들의 족 <math>(Y_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면, <math>X</math> 위의 '''끝 위상'''은 <math>f_i</math>들을 모두 [[연속 함수]]로 만드는 가장 [[위상의 비교|섬세한 위상]]이다. 구체적으로, <math>X</math>의 끝 위상은 다음과 같다.
:<math>U\in\operatorname{Open}(X)\iff\forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in\operatorname{Open}(Y_i)</math>

=== 가측 공간 ===
집합 <math>X</math>와 [[가측 공간]]들의 족 <math>(Y_i,\Sigma_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''시작 [[시그마 대수]]'''({{llang|en|initial sigma-algebra}})는 <math>f_i</math>들을 모두 [[가측 함수]]로 만드는 가장 엉성한 [[시그마 대수]]이다. 구체적으로, <math>X</math>의 시작 시그마 대수는
:<math>\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(S)\mid S\in\Sigma_i\}</math>
로 생성된다.

마찬가지로, 집합 <math>X</math>와 [[가측 공간]]들의 족 <math>(Y_i,\Sigma_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''끝 [[시그마 대수]]'''({{llang|en|final sigma-algebra}})는 <math>f_i</math>들을 모두 [[가측 함수]]로 만드는 가장 섬세한 [[시그마 대수]]이다. 구체적으로, <math>X</math>의 끝 시그마 대수 <math>\Sigma</math>는 다음과 같다.
:<math>S\in\Sigma\iff\forall i\in I\colon f^{-1}(S)\in\Sigma_i</math>

=== 균등 공간 ===
집합 <math>X</math>와 [[균등 공간]]들의 족 <math>(Y_i,\mathcal E_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''시작 균등 구조'''({{llang|en|initial uniform structure}})는 <math>f_i</math>들을 모두 [[균등 연속 함수]]로 만드는 가장 엉성한 [[균등 공간]] 구조이다. 구체적으로, <math>X</math>의 시작 균등 구조는
:<math>\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(E)\mid E\in\mathcal E_i\}</math>
로 생성된다.

마찬가지로, 집합 <math>X</math>와 [[균등 공간]]들의 족 <math>(Y_i,\mathcal E_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''끝 균등 구조'''({{llang|en|final uniform structure}})는 <math>f_i</math>들을 모두 [[균등 연속 함수]]로 만드는 가장 섬세한 [[균등 공간]] 구조이다. 구체적으로, <math>X</math>의 끝 균등 구조 <math>\mathcal E</math>는 다음과 같다.
:<math>E\in\mathcal E\iff\forall i\in I\colon f_i^{-1}(E)\in\mathcal E_i</math>

=== 유계형 집합 ===
집합 <math>X</math>와 [[유계형 집합]]들의 족 <math>(Y_i,\mathcal B_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''시작 유계형'''({{llang|en|initial bornology}})은 <math>f_i</math>들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, <math>X</math>의 시작 유계형은 다음과 같다.
:<math>B\in\mathcal B\iff\forall i\in I\colon f_i(B)\in\mathcal B_i</math>

마찬가지로, 집합 <math>X</math>와 [[유계형 집합]]들의 족 <math>(Y_i,\mathcal B_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''끝 유계형'''({{llang|en|final bornology}})은 <math>f_i</math>들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, <math>X</math>의 끝 유계형은
:<math>\bigcup_{i\in I}\{f_i(B)\colon B\in\mathcal B_i\}</math>
로 생성된다.

=== 원순서 집합 ===
집합 <math>X</math>와 [[원순서 집합]]들의 족 <math>(Y_i,\lesssim_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''시작 원순서'''({{llang|en|initial preorder}})는 <math>f_i</math>들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 [[원순서]]이다. 구체적으로, <math>X</math>의 시작 원순서는 다음과 같다.
:<math>a\lesssim b\iff\forall i\in I\colon f_i(a)\lesssim_if_i(b)</math>

마찬가지로, 집합 <math>X</math>와 [[원순서 집합]]들의 족 <math>(Y_i,\lesssim_i)_{i\in I}</math> 및 [[함수]]족 <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (<math>I</math>는 [[고유 모임]]일 수 있다.) 그렇다면 <math>X</math> 위의 '''끝 원순서'''({{llang|en|final preorder}})는 <math>f_i</math>들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 [[원순서]]이다. 구체적으로, <math>X</math>의 끝 원순서 <math>\lesssim</math>는
:<math>\bigcup_{i\in I}\{(f_i(a),f_i(b))\colon a\lesssim_ib,\;a,b\in Y_i\}</math>
로 생성된다.

== 역사 ==
1974년에 호르스트 헤를리히({{llang|de|Horst Herrlich}}, 1937~2015)가 도입하였다.<ref name="Herrlich">{{저널 인용|성=Herrlich|이름=Horst|제목=Topological functors|저널=General Topology and its Applications|권=4|호=2|날짜=1974-06|쪽=125–142|doi=10.1016/0016-660X(74)90016-6|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Topological structures|이름=Horst|성=Herrlich|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974. Volume 2|쪽=63–66|isbn=0-919558-04-6|editor1-first=Ralph Duncan|editor1-last=James|출판사=Canadian Mathematical Congress|날짜=1975|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.2/Main/icm1974.2.0063.0066.ocr.pdf|언어=en|access-date=2016-06-28|archive-date=2016-10-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20161003125229/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.2/Main/icm1974.2.0063.0066.ocr.pdf}}
* {{서적 인용|제목=Foundations of topology: an approach to convenient topology|이름=Gerhard|성=Preuss |doi=10.1007/978-94-010-0489-3|출판사=Kluwer Academic Publishers|날짜=2002|isbn=978-94-010-3940-6|언어=en}}
* {{저널 인용|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17abs.html|제목=Abstract and concrete categories: the joy of cats |이름=Jiří |성= Adámek|이름2=Horst|성2=Herrlich|이름3=George|성3=Strecker|저널=Reprints in Theory and Applications of Categories|권=17|날짜=2006|쪽=1–507|zbl=1113.18001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Topological structures}}
* {{매스월드|id=WeakTopology|title=Weak topology}}
* {{nlab|id=topological concrete category|title=Topological concrete category}}
* {{nlab|id=sink|title=Sink}}
* {{nlab|id=final lift|title=Final lift}}
* {{nlab|id=weak topology|title=Weak topology}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Initial_Topology|제목=Definition: initial topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Initial_Topology|제목=Equivalence of definitions of initial topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Final_Topology|제목=Definition: final topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Final_Topology_is_Topology|제목=Final topology is topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Initial_Topology_with_respect_to_Mapping|제목=Initial topology with respect to mapping|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://proofwiki.org/wiki/Initial_Topology_with_respect_to_Mapping }}

[[분류:범주론]]
[[분류:일반위상수학]]