위상환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[수학]]에서 '''위상환'''(位相環, {{llang|en|topological ring}})은 [[환 (수학)|환]]의 구조가 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
'''위상환''' <math>R</math>은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[환 (수학)|환]]의 구조가 둘 다 주어져, 환의 대수적 연산들이 [[연속 함수]]인 경우다. 즉, 다음 연산들이 [[연속 함수]]여야 한다.
* 덧셈 <math>+\colon R\times R\to R</math>
* 덧셈의 역 <math>-\colon R\to R</math>
* 곱셈 <math>\cdot \colon R\times R\to R</math>
따라서, 위상환은 아벨 [[위상군]]을 이룬다.

'''위상체'''(位相體, {{llang|en|topological field}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[체 (수학)|체]]의 구조가 둘 다 주어져, 체의 대수적 연산들이 [[연속 함수]]인 경우다. 즉, 다음 연산들이 [[연속 함수]]여야 한다.
* 덧셈 <math>+\colon R\times R\to R</math>
* 덧셈의 역 <math>-\colon R\to R</math>
* 곱셈 <math>\cdot \colon R\times R\to R</math>
* 곱셈의 역 <math>^{-1}\colon R\setminus\{0\}\to R</math>
위상체는 위상환의 특별한 경우다.

== 분류 ==
=== 국소 콤팩트 위상체 ===
모든 비[[이산 공간|이산]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소  콤팩트]] 위상체 <math>L</math>은 다음 [[체 (수학)|체]]들 가운데 하나의 [[유한 확대]]이다.<ref name="Clark">{{웹 인용
|성=Clark
|이름=Pete L.
|제목=Chapter 5: locally compact fields
|언어=en
|웹사이트=University of Georgia
|url=http://alpha.math.uga.edu/~pete/8410Chapter5.pdf
|확인날짜=2024-07-10
|보존url=https://web.archive.org/web/20240708044414/http://alpha.math.uga.edu/~pete/8410Chapter5.pdf
|보존날짜=2024-07-08
|url-status=live
}}</ref>
* <math>K=\mathbb R</math>. 즉, <math>L=\mathbb R</math>이거나 <math>L=\mathbb C</math>이다.
* <math>K=\mathbb Q_p</math> ([[p진수체]])
* <math>K=\mathbb F_p((t))</math> (<math>\mathbb F_p</math>의 [[형식적 로랑 급수체]])

== 같이 보기 ==
* [[위상 벡터 공간]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Topological ring}}
* {{eom|제목=Topological field}}
* {{nlab|id=topological ring|제목=Topological ring}}
* {{nlab|id=topological field|제목=Topological field}}

[[분류:위상적 대수학]]
[[분류:환론]]