위상의 비교 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]과 [[범주론]]에서, [[위상 함자]]를 통해 주어진 [[집합]] 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 [[완비 격자]]를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 '''섬세한 구조'''(纖細-構造, {{llang|en|finer structure}}) 또는 더 '''엉성한 구조'''(-構造, {{llang|en|coarser structure}})라고 한다.

== 정의 ==
두 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal E</math>, <math>\mathcal B</math> 사이의 [[함자 (수학)|함자]] <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 <math>\hat X\in\mathcal B</math>에 대하여, 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]] <math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math>를 생각할 수 있다.
* <math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math>의 대상은 <math>\Pi(X)=\hat X</math>인 대상 <math>X\in\mathcal E</math>이다.
* <math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math>의 사상은 <math>\Pi(f)=\operatorname{id}_{\hat X}</math>인 사상 <math>f\in\operatorname{Mor}(\mathcal E)</math>이다.
만약 <math>\Pi</math>가 [[충실한 함자]]라면, <math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math>는 [[얇은 범주]]이며, 이는 <math>\hat X</math> 위에 존재할 수 있는 <math>\mathcal E</math>-구조들의 범주로 생각할 수 있다.

<math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math>는 [[얇은 범주]]이므로, 그 위에 다음과 같은 [[원순서]]가 존재한다.
:<math>X\lesssim X'\iff \exists f\in\hom_{\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})}(X,X')</math>
이 관계를 '''엉성함'''이라고 한다.<ref>{{서적 인용|제목=Foundations of topology: an approach to convenient topology|이름=Gerhard|성=Preuss |doi=10.1007/978-94-010-0489-3|출판사=Kluwer Academic Publishers|날짜=2002|isbn=978-94-010-3940-6|언어=en}}</ref>{{rp|30, Definition 1.1.4}} 즉, 만약 <math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math> 속에서 사상 <math>f\colon X\to X'</math>가 존재한다면, <math>X'</math>이 <math>X</math>보다 더 '''엉성한'''({{llang|en|coarser}}) <math>\mathcal E</math>-구조이며, 반대로 <math>X</math>는 <math>X'</math>보다 더 '''섬세한'''({{llang|en|finer}}) <math>\mathcal E</math>-구조이다.

이 정의는 특히 [[위상 함자]] <math>\Pi\colon\mathcal E\to\operatorname{Set}</math>에 대하여 적용된다.

<math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math>에서 만약 [[최대 원소]](즉, 가장 엉성한 <math>\mathcal E</math>-구조)가 존재한다면, 이를 <math>\hat X</math> 위의 '''비이산 <math>\mathcal E</math>-구조'''({{llang|en|indiscrete <math>\mathcal E</math>-structure}})라고 한다. 반대로, <math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_{\hat X})</math>에서 만약 [[최소 원소]](즉, 가장 섬세한 <math>\mathcal E</math>-구조)가 존재한다면, 이를 <math>\hat X</math> 위의 '''이산 <math>\mathcal E</math>-구조'''({{llang|en|discrete <math>\mathcal E</math>-structure}})라고 한다.

== 성질 ==
<math>\Pi</math>가 [[위상 함자]]라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. [[위상 함자]]에서는 또한 [[시작 위상|시작 구조]]와 [[끝 위상|끝 구조]]가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여, <math>\Pi^{-1}(\operatorname{id}_X)</math>는 [[완비 격자|완비 원격자]]를 이룬다.

== 예 ==
=== 위상 공간 ===
위상 공간과 [[연속 함수]]의 범주에서 [[집합]]과 [[함수]]의 범주로 가는 망각 함자
:<math>U\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>
는 [[위상 함자]]이며 따라서 [[충실한 함자]]이다. 따라서 이 경우 더 '''엉성한 위상'''과 더 '''섬세한 위상'''의 개념을 정의할 수 있다.

집합 <math>X</math> 위의 두 위상 ([[열린집합]]의 족) <math>\mathcal U,\mathcal U'\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}
</ref>{{rp|77–78}}
* <math>\mathcal U'</math>이 <math>\mathcal U</math>보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수 <math>(X,\mathcal U)\to(X,\mathcal U')</math>이 [[연속 함수]]이다.
* <math>\mathcal U\supseteq\mathcal U'</math>이다. 즉, 항등 함수 <math>(X,\mathcal U')\to(X,\mathcal U)</math>가 [[열린 함수]]이다.
주어진 집합 위의 위상들은 [[완비 격자]]를 이룬다.

흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"({{llang|en|weaker/stronger topology}})이라는 용어를 사용하며, 반대로 [[해석학 (수학)|해석학]]에서는 "강한/약한 위상"({{llang|en|stronger/weaker topology}})이라는 용어를 사용한다.

==== 기저 ====
보다 일반적으로, 다음과 같은 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{TopBase}</math>를 생각하자.
* <math>\operatorname{TopBase}</math>의 원소 <math>(X,\mathcal B)</math>는 [[집합]] <math>X</math>와 그 위의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>의 순서쌍이다.
* <math>\operatorname{TopBase}</math>의 사상 <math>f\colon(X,\mathcal B_X)\to(Y,\mathcal B_Y)</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
*:<math>\forall\epsilon\in\mathcal B_Y\forall x\in f^{-1}(\epsilon)\exists\delta\in\mathcal B_Y\colon\left(x\in\delta\subseteq f^{-1}(\epsilon)\right)</math>
그렇다면 <math>\operatorname{Top}</math>은 <math>\operatorname{TopBase}</math>의 [[충만한 부분 범주]]를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 [[기저 (위상수학)|기저]]를 정의할 수 있다. 집합 <math>X</math> 위의 두 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B,\mathcal B'\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal B'</math>이 <math>\mathcal B</math>보다 더 엉성하다.
* 임의의 <math>\epsilon\in\mathcal B'</math> 및 <math>x\in\epsilon</math>에 대하여, <math>x\in\delta\subseteq\epsilon</math>인 <math>\delta\in\mathcal B</math>가 존재한다.
* <math>\mathcal B'</math>에 의해 생성되는 위상 <math>\textstyle\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B'\}</math>은 <math>\mathcal B</math>에 의해 생성되는 위상 <math>\textstyle\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B\}</math>보다 더 엉성하다.
주어진 [[집합]] 위의 [[기저 (위상수학)|기저]]들은 [[완비 격자|완비 원격자]]를 이룬다.

==== 부분 기저 ====
보다 일반적으로, 다음과 같은 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{TopSubbase}</math>를 생각하자.
* <math>\operatorname{TopSubbase}</math>의 원소 <math>(X,\mathcal B)</math>는 [[집합]] <math>X</math>와 그 위의 임의의 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>의 순서쌍이다. (이는 <math>X</math>의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.)
* <math>\operatorname{TopSubbase}</math>의 사상 <math>f\colon(X,\mathcal B_X)\to(Y,\mathcal B_Y)</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
*:<math>\forall\epsilon\in\mathcal B_Y\forall x\in f^{-1}(\epsilon)\exists n\in\mathbb N,\;\delta_1,\dots,\delta_n\in\mathcal B_Y\colon\left(x\in\delta_1\cap\delta_2\cap\cdots\cap\delta_n\subseteq f^{-1}(\epsilon)\right)</math>
그렇다면 <math>\operatorname{TopBase}</math>는 <math>\operatorname{TopSubbase}</math>의 [[충만한 부분 범주]]를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합 <math>X</math> 위의 두 부분 기저 <math>\mathcal B,\mathcal B'\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal B'</math>이 <math>\mathcal B</math>보다 더 엉성하다.
* 임의의 <math>\epsilon\in\mathcal B'</math> 및 <math>x\in\epsilon</math>에 대하여, <math>x\in\delta_1\cap\delta_2\cap\cdots\cap\delta_n\subseteq\epsilon</math>인 자연수 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>\delta_1,\dots,\delta_n\in\mathcal B</math>가 존재한다.
* <math>\mathcal B'</math>에 의해 생성되는 위상 <math>\textstyle\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\{\bigcap T\colon T\subseteq\mathcal B',\;|T|<\aleph_0\}\}</math>은 <math>\mathcal B</math>에 의해 생성되는 위상<math>\textstyle\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\{\bigcap T\colon T\subseteq\mathcal B,\;|T|<\aleph_0\}\}</math>보다 더 엉성하다.
주어진 [[집합]] 위의 부분 기저들은 [[완비 격자|완비 원격자]]를 이룬다.

=== 덮개와 유계형 집합 ===
다음과 같은 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{Cover}</math>를 생각하자.
* <math>\operatorname{Cover}</math>의 대상 <math>(X,\mathcal C)</math>은 집합 <math>X</math>와 그 위의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)</math>의 [[순서쌍]]이다.
* <math>\operatorname{Cover}</math>의 사상 <math>f\colon(X,\mathcal C_X)\to(Y,\mathcal C_Y)</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
*:<math>\forall C_X\in\mathcal C_X\exists C_Y\in\mathcal C_Y\colon f(C_X)\subseteq\mathcal C_Y</math>
이렇게 정의하였을 때, 같은 집합 <math>X</math> 위의 두 덮개 <math>\mathcal C,\mathcal C'\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal C'</math>이 <math>\mathcal C</math>보다 더 엉성하다.
* <math>\mathcal C'</math>은 <math>\mathcal C</math>의 [[세분 (위상수학)|세분]]이다.

[[유계형 집합]]의 범주 <math>\operatorname{BornSet}</math>은 <math>\operatorname{Cover}</math>의 [[충만한 부분 범주]]를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.

=== 필터 ===
다음과 같은 범주 <math>\operatorname{FilterBase}</math>를 생각하자.
* <math>\operatorname{FilterBase}</math>의 대상 <math>(X,\mathcal F)</math>는 [[집합]] <math>X</math>와 <math>\mathcal P(X)</math> 위의 [[필터 기저]] <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>이다.
* <math>\operatorname{FilterBase}</math>의 사상 <math>f\colon (X,\mathcal F_X)\to(Y,\mathcal F_Y)</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
*:<math>\forall F_Y\in\mathcal F_Y\colon\exists F_X\in\mathcal F_X\colon f^{-1}(F_Y)\supseteq F_X</math>

그렇다면, 집합 <math>X</math> 위의 두 [[필터 기저]] <math>\mathcal F,\mathcal F'\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal F'</math>이 <math>\mathcal F</math>보다 더 엉성하다.
* <math>\uparrow\mathcal F'\subseteq\uparrow\mathcal F</math>이다. 여기서 <math>\uparrow</math>는 [[필터 기저]]로 생성되는 [[필터 (수학)|필터]](즉, [[상폐포]])를 뜻한다.

=== 가측 공간 ===
[[가측 공간]]과 [[가측 함수]]의 범주에서 [[집합]]과 [[함수]]의 범주로 가는 망각 함자
:<math>U\colon\operatorname{Measble}\to\operatorname{Set}</math>
는 [[위상 함자]]이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 [[가측 공간]] 구조를 정의할 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Finer_topology|제목=Finer topology|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Coarser_topology|제목=Coarser topology|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Coarser_uniform_structure|제목=Coarser uniform structure|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Finer_Topology|제목=Definition: finer topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Coarser_Topology|제목=Definition: coarser topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Comparable_Topologies|제목=Definition: comparable topologies|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Refinement_of_Cover|제목=Definition: refinement of cover|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Superfilter|제목=Definition: superfilter|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]