위상수학자의 사인 곡선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Topologist's sine curve.svg|섬네일|위상수학자의 사인 곡선]]
[[일반위상수학]]에서 '''위상수학자의 사인 곡선'''({{llang|en|topologist’s sine curve}})은 [[일반위상수학]]의 많은 문제의 반례가 되는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
평면의 부분집합 <math>S</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>S=\left \{\left ( x, \sin \left (\frac{1}{x} \right ) \right ) \colon 0 < x \leq 1 \right \}\subseteq\mathbb R^2</math>
'''위상수학자의 사인 곡선'''은 집합 <math>S</math>의 <math>\mathbb R^2</math>에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
:<math>\operatorname{cl}S=S\cup\{(0,y)\colon y\in[-1,1]\}</math>
이다.

== 성질 ==
위상수학자의 사인 곡선 <math>\operatorname{cl}S</math>는 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[연결 공간]]이다.
* [[국소 연결 공간]]이 아니다.
* 2개의 [[경로 연결 성분]] <math>S</math>와 <math>\{(0,y)\colon y\in[-1,1]\}</math>을 갖는다.

위상 공간 <math>S\cup\{(0,0)\}</math>은 다음 성질들을 만족시킨다.<ref name="Steen">{{서적 인용
|이름1=Lynn Arthur
|성1=Steen
|이름2=J. Arthur Jr.
|성2=Seebach
|제목=Counterexamples in Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Springer-Verlag
|위치=New York, NY
|날짜=1978
|원본연도=1970
|isbn=978-0-387-90312-5
|doi=10.1007/978-1-4612-6290-9
|mr=507446
|zbl=0386.54001
}}</ref>{{rp|137}}
* [[국소 콤팩트 공간]]이 아니다.
** <math>(0,0)\in S</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[근방]]이 없다.
* [[국소 콤팩트 공간]]의 [[연속 함수]]에 대한 [[상 (수학)|상]]이다.
** 구체적으로, <math>\{-1\}\cup(0,1]\to S\cup\{(0,0)\}</math>, <math>-1\mapsto(0,0)</math>, <math>x\mapsto(x,\sin(1/x))</math> (<math>\forall x\in(0,1]</math>)은 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]]이며, <math>\{-1\}\cup(0,1]</math>은 [[국소 콤팩트 공간]]이다.
* [[연결 공간]]이다.
* [[국소 연결 공간]]이 아니다.
* 2개의 [[경로 연결 성분]] <math>S</math>와 <math>\{(0,0)\}</math>을 갖는다.

위상 공간
:<math>\operatorname{cl}S\cup\{(x,1)\colon 0\le x\le 1\}</math>
은 다음 성질들을 만족시킨다.<ref name="Steen" />{{rp|137}}
* [[호 연결 공간]]이다.
* [[국소 연결 공간]]이 아니다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=TopologistsSineCurve|제목=Topologist's sine curve}}

[[분류:일반위상수학]]