위너 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]에서 '''위너 공간'''(Wiener空間, {{llang|en|Wiener space}}) 또는 '''추상 위너 공간'''(抽象Wiener空間, {{llang|en|abstract Wiener space}})은 일종의 “[[정규 분포]]”에 해당하는 [[확률 측도]]를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 [[바나흐 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|성=Bell|이름=Denis R.|날짜=1987|제목=The Malliavin calculus|총서=Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics | 권=34 | 출판사=John Wiley | isbn= 0-582-99486-1|mr=2250060|언어=en}}</ref>{{rp|§1.1}}<ref>{{저널 인용|제목=Analysis and probability on infinite-dimensional spaces|이름=Nathan|성=Eldredge|날짜=2016|arxiv=1607.03591}}</ref> 일반적으로, [[르베그 측도]]의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 [[힐베르트 공간]] 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 [[노름]]으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 [[바나흐 공간]] 위에 가우스 분포의 [[확률 측도]]를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 [[바나흐 공간]]을 일컫는다.

== 정의 ==
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
* 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.
이 두 정의는 서로 [[동치]]이다.

=== 푸리에 변환을 통한 정의 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[실수 바나흐 공간]] <math>E</math>
* <math>E</math>의 [[보렐 시그마 대수]] 위의 [[확률 측도]] <math>\mu</math>
* [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[실수 힐베르트 공간]] <math>(H,\langle|\rangle)</math>
* [[단사 함수|단사]] [[연속 함수|연속]] [[실수 선형 변환]] <math>\iota\colon H\hookrightarrow E</math>. (이는 [[등거리 변환]]일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 [[조밀 집합]]이라고 하자.
그렇다면, <math>H\subseteq E</math>이므로
:<math>E^* \subseteq H^* = H</math>
이며, <math>E^*</math>는 <math>H</math>의 [[조밀 집합]]을 이룬다. (여기서 <math>(-)^*</math>는 [[연속 쌍대 공간]]을 뜻한다.)

만약
:<math>\int_E \exp(\mathrm i\langle \lambda|x\rangle)\,\mathrm d\mu(x) = \exp\left(- \frac{\langle \lambda|\lambda\rangle_H}2 \right) \qquad\forall \lambda\in E^*\subseteq H</math>
라면, <math>(E,\mu,H)</math>가 '''위너 공간'''이라고 한다.

=== 구체적 정의 ===
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 [[실수 힐베르트 공간]] <math>H</math> 위의 [[기둥 집합]]의 족 <math>\operatorname{Cyl}(H)</math> 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.
:<math>\nu\colon\operatorname{Cyl}(H) \to [0,1]</math>
:<math>\nu\colon P^{-1}(S) \mapsto (2\pi)^{n/2}\int_S \exp(-x^2/2)\,\mathrm d^nx\qquad (P\colon H\to\mathbb R^n,\;S\in\operatorname{Borel}(\mathbb R^n))</math>
특히,
:<math>\nu(H) = 1</math>
:<math>\nu(\varnothing) = 0</math>
이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, [[측도]]를 이루지 못한다. 즉, 이는 <math>\sigma(\operatorname{Cyl}(H)) = \operatorname{Borel}(H)</math> 위의 (가산 가법) [[측도]]의 제한이 아니다. 이를 <math>H</math> 위의 '''기둥 집합 측도'''({{llang|en|cylinder-set measure}})라고 한다.

<math>H</math> 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) [[노름]] <Math>\|-\|</math>이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열
:<math>V_1 \le V_2 \le \dotsb \le H</math>
이 존재한다면, 이를 '''가측 노름'''({{llang|en|measurable norm}})이라고 한다.
:임의의 유한 차원 부분 공간 <math>W \subseteq H</math>에 대하여, 만약 <math>W\perp V_n</math>이라면, <math>\nu(\{x\in H\colon \|\operatorname{proj}_Wx\|> 2^{-n}\})<2^{-n}</math>이다.

<math>H</math>의, 어떤 가측 노름 <math>\|-\|</math>에 대한 완비화인 [[바나흐 공간]]
:<math> H\subseteq E</math>
가 주어졌다고 하자. <math>B^* \subseteq H^* \cong H</math>이므로,
:<math>\{H\cap C\colon C\in\operatorname{Cyl}(E) \} \subseteq \operatorname{Cyl}(H)</math>
이다.

그렇다면, <math>E</math>의 [[기둥 집합]]의 족 <math>\operatorname{Cyl}(E)</math> 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.
:<math>\nu \colon \operatorname{Cyl}(E) \to [0,1]</math>
:<math>\nu \colon \phi^{-1}(S) \mapsto \nu(H\cap \phi^{-1}(S))\qquad\forall \phi\colon B\to\mathbb R^n</math>
이는 <math>\operatorname{Cyl}(E)</math>로 생성되는 [[시그마 대수]]
:<math>\sigma(\operatorname{Cyl}(E)) = \operatorname{Borel}(E)</math>
위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 [[가측 공간]] <math>(E,\operatorname{Borel}(E))</math> 위의 [[확률 측도]]를 이룬다. 그렇다면, <Math>(E,H,\mu)</math>를 '''위너 공간'''이라고 한다.

== 성질 ==
위너 공간 <math>(E,\mu,H)</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 <math>\phi\in E^*</math>에 대하여, <math>\mathbb R</math> 위의 [[측도]] <math>\phi_*\mu </math>의 분포 함수는 평균이 0인 <math>\mathbb R</math> 위의 [[정규 분포]]에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\mu(\phi^{-1}(S)) = \int_SC\exp(-x^2/2\sigma^2),\mathrm dx\,\qquad(C\ge0,\;\sigma^2 > 0)</math>
또한, 만약 <math>\phi \ne 0</math>라면, <math>C>0</math>이다.

=== 존재 ===
임의의 분해 가능 [[바나흐 공간]] <math>E</math>에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 <Math>(\mu,H)</math>가 적어도 하나 이상 존재한다.{{rp|Theorem 4.47}}

=== 페일리-위너 적분 ===
위너 공간 <math>(E,\mu,H)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>E^* \subseteq H\subseteq E</math>
가 성립한다. 또한,
:<math>E^* \subseteq \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)</math>
임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.
:<math>\|\phi\|_{\operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)} = \sqrt{\langle \phi|\phi\rangle_H}</math>
다시 말해, [[등거리 변환]]인 [[선형 변환]]
:<math>E^* \to \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)</math>
이 존재한다. <math>E^*</math>는 <math>H</math>의 [[조밀 집합]]이므로, 이를 <math>H</math> 전체로 확장할 수 있다. 즉, [[등거리 변환]]인 [[단사 함수|단사]] [[선형 변환]]
:<math>I\colon H \to \operatorname L^2(E,\mu;\mathbb R)</math>
이 존재한다. 이를 '''페일리-위너 사상'''({{llang|en|Paley–Wiener map}})이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 <math>h\in H</math> 및 <math>x\in E</math>에 대하여
:<math>I_h(x) \in \mathbb R</math>
를 정의할 수 있다. 이를 '''페일리-위너 적분'''({{llang|en|Paley–Wiener integral}})이라고 한다.

=== 캐머런-마틴 정리 ===
위너 공간 <math>(E,\mu,H)</math> 및 <math>h\in H</math>에 대하여, 다음을 정의하자.
:<math>(+h) \colon E \to E</math>
:<math>(+h) \colon x \mapsto x+h</math>
그렇다면, <math>E</math> 위의 보렐 [[확률 측도]]
:<math>\mu_h = (+h)_*\mu\colon\operatorname{Borel}(E) \to [0,1]</math>
를 정의할 수 있다. 이 경우, [[라돈-니코딤 도함수]]
:<math>\frac{\mathrm d\mu_h}{\mathrm d\mu}</math>
는 다음과 같다.
:<math>\frac{\mathrm d\mu_h}{\mathrm d\mu} = \exp\left(I_h(x)) - \frac12 \langle h|h\rangle\right)</math>
여기서 <math>I_h(x)</math>는 페일리-위너 적분이다. 이를 '''캐머런-마틴 정리'''({{llang|en|Cameron–Martin theorem}})라고 한다.

== 연산 ==
두 위너 공간 <math>(E,\mu,H)</math>, <math>(E',\mu',H')</math>가 주어졌을 때,
<math>(E\oplus E',H\oplus H')</math> 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.
:<math>\mu(S\times S') = \mu_E(S) \mu_{E'}(S')\qquad\forall S\in\operatorname{Borel}(E),\;S'\in\operatorname{Borel}(E')</math>

== 예 ==
만약 <math>H</math>가 [[유클리드 공간]](즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, <math>H= E</math>라고 하자. 이 경우, <math>H</math> 위의 위너 공간 구조의 개념은 <math>H</math> 위의, 평균이 0인 [[정규 분포]]와 같다.

=== 고전 위너 공간 ===
다음과 같은 [[바나흐 공간]]을 생각하자.
:<math>\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \{f\in\mathcal C^0([0,T],\mathbb R^n)\colon f(0) = 0\}</math>
:<math>\|f\|_{\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n)} = \max_{[0,T]} \|f\|_{\mathbb R^n}</math>
그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname W_0^{1,2}\left([0,T],\mathbb R^n\right) = \operatorname W^{1,2}([0,T],\mathbb R^n) \cap \mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) = \{
f\in\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n) ,\; \mathrm df/\mathrm dt \in \operatorname L^2([0,T],\mathbb R^n) \}</math>
여기서 <math>\operatorname W^{1,2}(-)</math>는 [[소볼레프 공간]]이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 [[거의 어디서나]] 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 [[르베그 공간]] <math>\operatorname W^{1,2}_0([0,T],\mathbb R^2)</math>의 원소이다. (도함수의 L<sup>2</sup> 노름의 제곱은 '''에너지'''라고 하며, 따라서 <math>\operatorname L_0^{2,1}</math>의 원소는 '''유한 에너지 경로'''({{llang|en|finite-energy path}})라고 한다.)
이는 [[조밀 집합]]이며, 그 위에 다음과 같은 [[힐베르트 공간]] 구조를 줄 수 있다.
:<math>\langle f,g\rangle_{\operatorname L_0^{2,1}\left([0,1],\mathbb R^n\right)} = \int_0^T \langle \dot f(t),\dot g(t)\rangle_{\mathbb R^n}\,\mathrm dt</math>
이제, 임의의 [[확률 공간]] <math>\Omega</math> 및 [[위너 과정]]
:<math>(W_t \colon \Omega \to \mathbb R^n)_{t\in[0,T]}</math>
을 생각하자. <math>W</math>의 궤적은 [[거의 확실하게]] [[연속 함수]]이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 <math>\mathcal C_0([0,T],\mathbb R^n)</math> 위의 [[측도]]를 정의한다. 즉, 임의의 [[보렐 집합]] <Math>S\subseteq\mathcal C_0^0([0,T],\mathbb R^n)</math>에 대하여,
:<math>\mu(S) = \Pr(W \in S)</math>
로 놓는다.

그렇다면, <math>(\mathcal C^0_0([0,T],\mathbb R^n),\mu,\operatorname L_0^{2,1}\left([0,1],\mathbb R^n\right))</math>는 위너 공간을 이룬다. 이를 '''고전 위너 공간'''(古典Wiener空間, {{llang|en|classical Wiener space}})이라고 한다.

=== 브라운 다리 ===
원을
:<math>\mathbb S^1 = [0,1]/(0\sim1)</math>
로 정의하자.

L<sup>∞</sup> 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 [[바나흐 공간]]
:<math>E = \mathcal C^0_0(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \{f \in \mathcal C^0(\mathbb S^1,\mathbb R^n)\colon f(0) = f(1) = 0 \}</math>
을 생각하자. 이 위에, 부분 공간
:<math>H = \operatorname W_0^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) = \operatorname W^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^n) \cap E</math>
을 생각하자. 이는 내적
:<math>\langle f,g\rangle = \oint \dot f\dot g</math>
에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

<math>E</math> 위에, [[확률 과정]]
:<math>X_t = W_t - tW_1</math>
의 법칙으로 주어지는 [[확률 측도]]를 부여하자. 여기서 <math>W_t</math>는 [[위너 과정]]이다. 그렇다면, <Math>(E,H)</math>는 위너 공간을 이룬다.{{rp|§4.4}}

=== 힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조 ===
분해 가능 힐베르트 공간 <math>H</math> 및 에르미트 [[양의 정부호]] [[힐베르트-슈미트 작용소]] <math>A \colon H\to H</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름
:<math>\|x\|_A = \langle Ax|Ax\rangle_H</math>
을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 <math>(E,\mu,H)</math>에서 <math>E</math> 역시 [[힐베르트 공간]]을 이룬다.{{rp|Corollary 4.62}} 반대로, 임의의 위너 공간 <math>(E,\mu,H)</math>에서 <math>E</math>가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.{{rp|Corollary 4.62}}

== 역사 ==
고전 위너 공간은 [[노버트 위너]]가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스({{llang|en|Leonard Gross}})가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | 장=Abstract Wiener spaces | 이름=Leonard | 성=Gross | 제목=Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Volume Ⅱ. Part Ⅰ. Contributions to probability theory | 날짜=1967 | 장url=http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/1026394.pdf | 출판사=University of California Press | editor1-first=Lucien M. | editor1-last=Le Cam | editor2-first=Jerzy | editor2-last=Neyman | 쪽=31–42 | mr=212152 | 언어=en }}{{깨진 링크|url=http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/1026394.pdf }}</ref>

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리({{llang|en|Raymond Edward Alan Christopher Paley}}, 1907〜1933)와 [[노버트 위너]]의 이름을 땄다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런({{llang|en|Robert Horton Cameron}}, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴({{llang|en|William Ted Martin}}, 1911〜2004)이 증명하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://www.math.lsu.edu/~sengupta/notes/AWS.pdf |제목=Abstract Wiener spaces in a few slides | 이름=Ambar N.|성=Sengupta | 날짜=2012-03-17 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url = https://www.maths.ed.ac.uk/~toh/Files/hypercontractivity.pdf | 제목=Ornstein–Uhlenbeck process on abstract Wiener spaces, hpercontractibility, and logarithmic Sobolev inequality | 이름=Tadahiro |성=Oh | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]
[[분류:확률론]]
[[분류:확률 과정]]