위그너-에카르트 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자역학}}
[[양자역학]]에서 '''위그너-에카르트 정리'''({{lang|en|Wigner–Eckart theorem}})는 [[텐서]] 연산자의 [[행렬]] 원소에 대한 정리다. 구면 텐서 연산자의 각운동량 고유상태에 대한 기댓값은 각운동량의 전체 크기에만 의존하고, 특정 방향에 의존하지 않는다는 것이다.

[[유진 위그너]]와<ref>{{서적 인용|성=Wigner|이름=Eugene P.|저자링크=유진 위그너|제목={{lang|de|Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten-mechanik der Atomspektren}}|위치=[[브라운슈바이크|Braunschweig]]|출판사=F. Vieweg und Sohn|연도=1931}}</ref> 칼 에카트({{llang|en|Carl Eckart}})<ref>{{저널 인용|성=Eckart|이름=Carl|저널={{lang|en|Reviews of Modern Physics}}|권=2|호=3|쪽=305–380|제목={{lang|en|The Application of Group theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems}}|연도=1930|doi=10.1103/RevModPhys.2.305}}</ref>가 증명하였다. 

== 전개 ==
3차원 회전군 [[SO(3)]]는 (국소적으로) [[특수 유니터리 군]] [[SU(2)]]와 같다. SU(2)의 기약 [[군 표현론|표현]]({{lang|en|irreducible representation}})은 '''0''', <math>\textstyle \mathbf \frac12</math>, '''1''', <math>\textstyle \mathbf \frac32</math>,등이 있다. (전체 각운동량을 굵은 글씨로 나타낸다.)

기약 표현 <math>\mathbf k</math>는 <math>2k+1</math>개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 <math>\mathbf{1}\otimes\dotsb\otimes\mathbf{1}</math>은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 <math>k</math>가 정수인 표현 <math>\mathbf k</math>만을 포함하고, <math>k</math>가 [[반정수]]인 [[스피너 표현]] (<math>\textstyle \mathbf \frac12</math>, <math>\textstyle \mathbf \frac32</math> 등)을 포함하지 않는다.

SU(2) 표현 <math>\mathbf j</math>를 따라 변환하는 값을 <math>j</math>차 '''구면 텐서'''({{lang|en|spherical tensor}})라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 <math>j</math>차 '''구면 텐서 연산자'''({{lang|en|spherical tensor operator}})라고 한다.

<math>k</math>차 구면 연산자 <math>T^{(k)}_q</math> (<math>q=-k,-k+1,\dotsc,k</math>)를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, [[각운동량]] 고유 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>|j,m\rangle</math> (즉, <math>\mathbf L^2|j,m\rangle=j(j+1)|j,m\rangle</math>, <math>L_3|j,m\rangle=m|j,m\rangle</math>을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다.
:<math>\langle j,m|T^{(k)}_q|j',m'\rangle=T(k,j,j')(\langle j',m'|\otimes\langle k,q|)|j,m\rangle</math>.
여기서 <math>T(k,j,j')</math>는 <math>k</math>와 <math>j</math>, <math>j'</math>에만 의존하는 값이고, <math>(\langle j',m'|\otimes\langle k,q|)|j,m\rangle</math>은 [[클렙슈-고르단 계수]]다. 이 식을 '''위그너-에카르트 정리'''라고 한다.

== 낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리 ==
흔히 다루는 텐서 연산자는 <math>k=0</math>인 [[스칼라]] 연산자나 <math>k=1</math>인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히
:<math>\langle j,m|T|j',m'\rangle=T(j,j')\delta_{jj'}\delta_{mm'}</math>
이다. (여기서 <math>\delta</math>는 물론 [[크로네커 델타]]다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.
:<math>\langle j,m|T_q|j',m'\rangle=T(j,j')(\langle j',m'\otimes\langle1,q|)|j,m\rangle</math>
이다. 이 [[클렙슈-고르단 계수]]는 다음과 같다.
:<math>
  \begin{align}
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1+1, m \rangle & = \sqrt{\frac{(j_1-m+1)(j_1+m+1)}{(2j_1+1)(j_1+1)}},\\
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1,   m \rangle & = \frac{m}{\sqrt{j_1(j_1+1)}},\\
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1-1, m \rangle & = -\sqrt{\frac{(j_1-m)(j_1+m)}{j_1(2j_1+1)}}.
  \end{align}
</math>
(나머지 계수는 모두 0이다.)

구면 1-텐서로서의 성분 <math>T_q</math>는 벡터로서의 성분 <math>T_i</math> (<math>i=x,y,z</math>)으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.
:<math>T_\pm=\frac1{\sqrt2}(\mp T_x+iT_y)</math>
:<math>T_0=T_z</math>.

== 같이 보기 ==
* [[랑데 지 인자]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|성=Meunier|이름=J.-L.|제목={{lang|en|A simple demonstration of the Wigner-Eckart theorem}}|저널={{lang|en|European Journal of Physics}}|권=8|호=2|쪽=114|doi=10.1088/0143-0807/8/2/007|연도=1987}}
* {{저널 인용|성=Rose|이름=M. E.|제목={{lang|en|Spherical Tensors in Physics}}|저널={{lang|en|Proceedings of the Physical Society Section A}}|권=67|호=3|쪽=239|doi=10.1088/0370-1298/67/3/307|연도=1954}}
* {{서적 인용|저자=Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano|연도=2011|제목=Modern Quantum Mechanics|출판사=Addison-Wesley|ISBN=0805382917|언어=영어|url=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Modern-Quantum-Mechanics/9780805382914.page}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/classes/phys531f11/sphericaltensors.pdf|제목=Notes: Tensor Operators|성=Baragiola|이름=Ben Quinn|확인날짜=2012-09-13|보존url=https://web.archive.org/web/20130420180534/http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/Classes/Phys531F11/SphericalTensors.pdf|보존날짜=2013-04-20|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:표현론 정리]]