월먼 콤팩트화 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''월먼 콤팩트화'''({{llang|en|Wallman compactification}})는 임의의 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]을 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]으로 확장하는 방법이다. 대략, [[유한 교집합 성질]]을 만족시키는 [[닫힌집합]]들의 [[집합족]]의 [[교집합]]이 [[공집합]]인 경우, 새로운 점을 이 교집합의 원소로 추가해 준다.

== 정의 ==
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>의 '''월먼 콤팩트화''' <math>\omega X</math>는 집합으로서 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\mathcal C(X)</math>의 [[극대 필터]]들의 집합이다. 이 위의 위상은 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]를 통해 주어진다.
:<math>\{\{\mathcal F\in\omega X\colon F\not\in\mathcal F\}\colon F\in\mathcal C(X)\}</math>
이 경우, <math>wX</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이며, 함수
:<math>\iota\colon X\to\omega X</math>
:<math>\iota\colon x\mapsto\{F\in\mathcal C(X)\colon x\in F\}</math>
는 위상수학적 [[매장 (수학)|매장]]이다. 이 함수의 [[상 (수학)|상]] <math>\iota(X)</math>은 <math>\omega X</math>의 [[조밀 집합]]이다. 또한, 임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>Y</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\tilde f\circ\iota=f</math>인 [[연속 함수]] <math>\tilde f\colon\omega X\to Y</math>가 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
X & \xrightarrow f & Y \\
{\scriptstyle\iota}\downarrow & \nearrow{\scriptstyle\tilde f} \\
\omega X
\end{matrix}
</math>

== 성질 ==
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\omega X</math>는 [[하우스도르프 공간]]이다.
* <math>X</math>는 [[정규 공간]]이다.

이에 따라, [[정규 공간|정규]] [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 월먼 콤팩트화는 [[스톤-체흐 콤팩트화]]와 일치한다.

== 같이 보기 ==
* [[격자 (순서론)]]
== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Wallman compactification}}
* {{nlab|id=Wallman compactification}}

[[분류:일반위상수학]]