월리스 공식 문서 원본 보기

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'''월리스 공식'''({{lang|en|Wallis product}})은 [[원주율]]을 구하는 간단한 공식으로, [[존 월리스]]에 의해 만들어졌다.

== 적분에 의한 증명 ==
정수 <math>n</math>에 대하여 다음과 같이 놓자.<ref>{{웹 인용|title=Integrating Powers and Product of Sines and Cosines: Challenging Problems|url=http://www.sosmath.com/calculus/integration/powerproduct/problem/problem.html}}</ref>

:<math>I(n) = \int_0^\pi \sin^n x\,dx</math>

그러면 [[부분 적분]]에 의하여 다음을 얻는다.

:<math>\begin{align}
 I(n) &=  \int_0^\pi \sin^n x\,dx \\[6pt]
               {} &= -\sin^{n-1}x\cos x \Biggl|_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x)(n-1) \sin^{n-2}x \cos x\,dx \\[6pt]
               {} &= 0 + (n-1) \int_0^\pi \cos^2x \sin^{n-2}x\,dx, \qquad n > 1 \\[6pt]
               {} &= (n - 1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x\,dx \\[6pt]
               {} &= (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n-2}x\,dx - (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n}x\,dx \\[6pt]
               {} &= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) \\[6pt]
               {} &= \frac{n-1}{n} I(n-2) \\[6pt]
 \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}
                  &= \frac{n-1}{n} \\[6pt]
\end{align}</math>

이제 <math>2n</math>과 <math>2n+1</math>에 대하여 다음 점화식이 성립한다.
:<math>I(2n) = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) ,</math>
:<math>I(2n+1) = \frac{2n}{2n+1}I(2n-1).</math>
이때 <math>I(0)</math>과 <math>I(1)</math>은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
 I(0)  &= \int_0^\pi dx = x\Biggl|_0^\pi = \pi , \\
 I(1)  &= \int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x \Biggl|_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 2 .
\end{align}</math>

<math>I(2n)</math>에 대하여 점화식을 활용하면 

:<math>I(2n)=\int_0^\pi \sin^{2n}x\,dx = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)</math>

을 얻고, 마찬가지로 하면 <math>I(2n+1)</math>에 대하여 
:<math>=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdot \cdots \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I(0)=\pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}</math>

:<math>I(2n+1)=\int_0^\pi \sin^{2n+1}x\,dx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)</math>

:<math>=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \cdots \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I(1)=2 \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}</math>


을 얻는다. 한편 <math>\sin{x} \leq 1</math>에서 

:<math>\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x, 0 \le x \le \pi</math>
:<math>\Rightarrow I(2n+1) \le I(2n) \le I(2n-1)</math>

이고, 이것을 <math>I(2n+1)</math>으로 나누면

:<math>\Rightarrow 1 \le \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}</math>

을 얻는다. [[샌드위치 정리]]를 활용하면

:<math>\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1</math>

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \prod_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k}\right)=1</math>

:<math>\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1}\right)=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots</math>

을 얻는다.

== 각주 ==
<references/>

== 같이 보기 ==
* [[비에트의 공식]]
* [[라이프니츠의 공식]]

{{토막글|수학}}

[[분류:원주율 알고리즘]]