원환 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''원환 다양체'''(圓環多樣體, {{llang|en|toric variety}})는 대수적 [[원환면]] <math>(K^\times)^n</math>을 [[조밀 집합|조밀]]하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 [[대수다양체]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Oda | first=Tadao | title= Convex bodies and algebraic geometry: an introduction to the theory of toric varieties | publisher=Springer-Verlag | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume= 15  | isbn=978-3-642-72549-4 | mr=922894  | date=1988 |url=https://www.springer.com/book/978-3-642-72549-4 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | first=David A. | last=Cox | 이름2=John B. |성2=Little | 이름3=Henry K. |성3=Schenck | title=Toric varieties | url=http://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/gsm-124 | isbn=978-0-8218-4819-7 | 날짜=2011 | 출판사=American Mathematical Society | series=Graduate Studies in Mathematics | volume=124 | mr=2810322 | zbl=1223.14001|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last=Fulton | first=William | title=Introduction to toric varieties | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-00049-7 | date=1993|url=http://press.princeton.edu/titles/5384.html | series= Annals of Mathematics Studies | volume = 131|mr=1234037 | 언어=en}}</ref><ref name="Cox">{{서적 인용 | last=Cox | first=David A. | title=Topics in algebraic geometry and geometric modeling: Proceedings of the workshop on algebraic geometry and geometric modeling, July 29 – August 2, 2002, Vilnius, Lithuania | 장url=http://www.cs.amherst.edu/~dac/lectures/tutorial.pdf | publisher=American Mathematical Society | series=Contemporary Mathematics | volume=334 | mr=2039974 | zbl=1038.14021 | date=2003 | chapter=What is a toric variety? | pages=203–223 | isbn=0-8218-3420-7 | 언어=en | access-date=2013-07-10 | archive-date=2012-07-03 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120703130124/http://www.cs.amherst.edu/~dac/lectures/tutorial.pdf }}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Danilov | first=V. I. | title=The geometry of toric varieties | mr=495499 | zbl=0425.14013 | date=1978 | journal=Russian Mathematical Surveys | issn=0036-0279 | volume=33 | issue=2 | pages=97–134 | doi=10.1070/RM1978v033n02ABEH002305 | url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/danilov.pdf | 언어=en | 확인날짜=2013-07-10 | 보존url=https://web.archive.org/web/20141005090859/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/danilov.pdf | 보존날짜=2014-10-05 | url-status=dead }}</ref><ref name="Miller">{{저널 인용 | last=Miller | first=Ezra | title=What is … a toric variety? | url=http://www.ams.org/notices/200805/tx080500586p.pdf | mr=2404030  | 날짜=2008-05 | journal=Notices of the American Mathematical Society | issn=0002-9920 | volume=55 | issue=5 | pages=586–587 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Toric varieties|제목=Combinatorial commutative algebra|doi=10.1007/0-387-27103-1_10|isbn=978-0-387-22356-8|출판사=Springer-Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=227|issn=0072-5285|날짜=2005|이름=Ezra|성=Miller|이름2=Bernd|성2= Sturmfels|pages=191–208 | 언어=en }}</ref><ref>{{서적 인용 | last=Kempf | first=G. | 이름2=Finn Faye|성2=Knudsen|이름3=David |성3=Mumford|저자링크3=데이비드 멈퍼드|이름4= B.|성4=Saint-Donat | title=Toroidal embeddings Ⅰ | publisher=Springer-Verlag | series=Lecture Notes in Mathematics | doi=10.1007/BFb0070318 | mr=0335518  | date=1973 | volume=339 | 언어=en}}</ref>

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자.
<math>K</math> 위의 '''원환 다양체''' <math>(M,\phi)</math>는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
* <math>K</math>-[[대수다양체]] <math>M</math>
* [[군의 작용]] <math>\phi\colon(K^\times)^n\to\operatorname{Aut}(M)</math> (<math>K^\times</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]])
이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.
* [[자리스키 위상|자리스키]] [[조밀집합|조밀]] [[열린집합]] <math>T\subseteq M</math>이 존재하여, <math>T</math>가 <math>(K^\times)^n</math>과 (<math>K</math>-[[대수다양체]]로서) 동형이며, <math>T</math>에 대한 군 작용이 이 [[위상 동형]] 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

=== 부채 ===
많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 '''부채'''({{llang|en|fan|팬}})라는 데이터로 표현될 수 있다.

'''강볼록 유리 다면뿔'''(強볼록有理多面뿔, {{llang|en|strongly convex rational polyhedral cone}}) <math>\sigma\subseteq\mathbb Q^n</math>은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.
* (강볼록 조건) <math>\sigma\cap-\sigma=\{0\}</math>
* (스칼라곱에 대한 닫힘) <math>r\in[0,\infty)</math>이고 <math>v\in\sigma</math>라면 <math>rv\in\sigma</math>
* (덧셈에 대한 닫힘) <math>\sigma</math>는 덧셈 [[모노이드]]이다. 즉, <math>u,v\in\sigma</math>라면 <math>u+v\in\sigma</math>이다.
* (유리 벡터에 의한 생성) <math>\sigma=\operatorname{Span}_{[0,\infty)} B</math>가 되는 [[유한 집합]] <math>B\subseteq\mathbb Z^n</math>이 존재한다.
다면뿔 <math>\sigma</math>의 '''면'''({{llang|en|face}})들은 다음과 같은 꼴의 [[부분 집합]]들이다.
* <math>\phi\colon\mathbb Q^n\to\mathbb Q</math>가 [[실수 선형 변환]]이고, <math>\phi \restriction \sigma\ge0</math>이라면, <math>\sigma\cap(\ker \phi)</math>.

'''부채''' <math>\Sigma</math>는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.
* (면에 대한 닫힘) <math>\sigma\in\Sigma</math>이고 <math>\sigma'</math>가 <math>\sigma</math>의 면 가운데 하나라면, <math>\sigma'\in\Sigma</math>.
* (교집합에 대한 닫힘) <math>\sigma,\sigma'\in\Sigma</math>라면, <math>\sigma\cap\sigma'</math>는 <math>\sigma</math>의 면 가운데 하나이고, 또한 <math>\sigma'</math>의 면 가운데 하나이다. (<math>\{0\}</math>은 모든 다면뿔들의 면이다.)

강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 <math>\sigma</math>의 격자점 <math>\sigma\cap\mathbb Z^k</math>들은 덧셈에 대하여 유한 생성 [[모노이드]]를 이룬다. (여기서 <math>k</math>는 다면뿔 <math>\sigma</math>의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 <math>\sigma</math>의 [[쌍대뿔]] <math>\sigma^\vee=\{v\colon\langle u,v\rangle\ge0\forall u\in\sigma\}\subset K^n</math> 또한 유한 생성 [[모노이드]]를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 <math>\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_\alpha,\dots,\mathbf v_k\}\subset K^n</math>를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.
:<math>\phi\colon(K^*)^n\to K^k</math>
:<math>\phi\colon(\exp(iz_1),\dots,\exp(iz_i),\dots,\exp(iz_n))\mapsto\left(\exp(i\sum_jz_nv^{(j)}_1),\dots,
\exp(i\sum_jz_jv^{(j)}_\alpha),\dots,\exp(i\sum_jz_jv^{(j)}_k)\right)</math>
다면뿔 <math>\sigma</math>에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 <math>\phi</math>의 [[상 (수학)|상]]을 포함하는 최소 [[대수다양체]] ([[자리스키 위상]]에 대한 [[닫힘 (위상수학)|닫힘]])이다.

부채 <math>\Sigma</math>에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 [[자리스키 위상|자리스키]] [[열린집합]]을 서로 이어붙인다.

=== 다면체에 대응하는 원환 다양체 ===
꼭짓점이 격자점 <math>\mathbb Z^n</math>인 볼록 [[폴리토프|고차 다면체]]가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 <math>(n-1)</math>차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 <math>(n-1)</math>차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 <math>(n-1)</math>차원 면이 공유하는 <math>(n-2)</math>차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.

즉, 다면체 <math>P</math>에 대응되는 원환 다양체 <math>X</math>에 대하여, 표준적인 [[전사 함수]]
:<math>X \twoheadrightarrow P</math>
가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 <Math>x\in P</math>에 대응되는 올은 (만약 <math>x</math>가 <math>k</math>차원 면에 속한다면) <math>(K^\times)^k</math>의 꼴이다. <math>P</math>의 (유일한) 내부는 <math>X</math>의 자리스키 조밀 [[열린집합]] <math>(K^\times)^{\dim X}</math>에 해당하며, 따라서 <math>P \subseteq \mathbb Q^{\dim X}</math>이다. 이는 [[운동량 사상]]의 특수한 경우이다.

== 연산 ==
두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다.

원환 다양체의 특이점 해소({{llang|en|resolution of singularities}}) 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.

== 성질 ==
<math>\mathbb Q^n</math> 속의 부채 <math>\Sigma</math>로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Cox"/>{{rp|Theorem 9.1(1)}}<ref name="Closset"/>{{rp|§4.2}}
* <math>\Sigma</math>에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>\textstyle\mathbb Q^n = \bigcup\Sigma</math>이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은 <math>\mathbb Q^n</math> 전체이다.

<math>\mathbb Q^n</math> 속의 부채 <math>\Sigma</math>로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Cox"/>{{rp|Theorem 9.1(2)}}
* <math>\Sigma</math>에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, [[매끄러운 다양체]]이다.
* 모든 뿔 <math>\sigma</math>에 대하여, <math>\sigma \cap\mathbb Z^n</math>은 유한 생성 자유 [[가환 모노이드]]이다.

<math>\mathbb Q^n</math> 속의 부채 <math>\Sigma</math>로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Cox"/>{{rp|Theorem 9.1(2)}}
* <math>\Sigma</math>에 대응되는 원환 다양체는 [[사영 대수다양체]]이다.
* <math>\Sigma</math>는 <math>\mathbb Z^n</math>의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]의 [[볼록 껍질]]에 대응되는 부채이다.

<math>\mathbb Q^n</math> 속의 부채 <math>\Sigma</math>로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Closset"/>{{rp|§4.3}}
* <math>\Sigma</math>에 대응되는 원환 다양체는 [[칼라비-야우 다양체]]이다 (즉, [[표준 인자]]가 0이다).
* <math>\Sigma</math>에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 <math>(v_i)_{i\in I}</math>이 모두 하나의 <math>n-1</math>차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉,  <math>\phi(v_i) = 1\,\forall i\in I</math>인 [[실수 선형 변환]] <math>\phi\colon\mathbb Q^n\to\mathbb Q</math>가 존재한다.
특히, 만약 <math>n\ge1</math>이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 [[콤팩트 공간]]일 수 없다.<ref name="Closset"/>{{rp|§4.3}}

== 예 ==
편의상 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb Q^n</math>의 표준 기저를 <math>(\mathrm e_i)_{i=1,\dotsc,n}</math>으로 표기하자. 여기서 <math>K</math>는 임의의 [[체 (수학)|체]]이다.

=== 원환면 ===
<Math>(K^\times)^n</math>은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 0차원 뿔에 대응된다.
:<math>\Sigma = \{\sigma_0\}</math>
:<math>\sigma_0 = \{0\} \subseteq\mathbb Q^n</math>
<math>\sigma_0</math>의 [[쌍대뿔]]은 <math>\sigma_0^\vee = \mathbb Q^n</math>이며, 이는
:<math>\{\pm\mathrm e_1,\dotsc,\pm\mathrm e_n\}</math>
에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는
:<math>\operatorname{Spec}K[\sigma_0^\vee \cap\mathbb Z^n] = \operatorname{Spec}K[t_1,t_1^{-1},t_2,t_2^{-1},\dotsc,t_n,t_n^{-1}]</math>
이다.

=== 아핀 공간 ===
{{본문|아핀 공간}}
다음과 같은, 하나의 뿔만으로 구성되는 부채를 생각하자.<ref name="Cox"/>{{rp|Example 5.1}}
:<math>\sigma = [0,\infty) \times \dotsb \times [0,\infty) \subseteq \mathbb Q^n</math>
즉, 이는 <math>\mathbb Q^n</math>의 “2<sup>''n''</sup>분면”이다.

이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>(\mathrm e_1,\mathrm e_2,\dotsc,\mathrm e_n)</math>
에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 <math>n</math>차원 [[아핀 공간]]
:<math>\operatorname{Spec}K[\sigma^\vee\cap \mathbb Z^n] = \operatorname{Spec}K[t_1,\dotsc,t_n]</math>
이다.

예를 들어, [[아핀 평면]] <math>\mathbb A^2_K</math>는 다음과 같은 부채에 대응된다.
:<math>\begin{matrix}
\uparrow \\
\bullet & \rightarrow
\end{matrix}</math>

=== 사영 공간 ===
{{본문|사영 공간}}
모든 [[사영 공간]]은 원환 다양체이며, <math>n</math>차원 [[사영 공간]]에 대응되는 다면체는 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]이다.<ref name="Miller"/>
구체적으로, <math>\mathbb Q^n</math>의 표준 기저 <math>(e_1,\dotsc,e_n)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\mathrm e_0 = -(\mathrm e_1+\dotsb+\mathrm e_n)</math>
을 정의하고, 다음과 같은 <math>n+1</math>개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.<ref name="Cox"/>{{rp|Example 8.4}}
:<math>\sigma_i =\operatorname{Span}_K \left(\{\mathrm e_0,\mathrm e_1,\dotsc,\mathrm e_n\} \setminus \{\mathrm e_i \}\right)</math>
즉, 이 부채는 <math>\{\mathrm e_0,\mathrm e_1,\dotsc,\mathrm e_n\}</math>의 <math>2^{n+1}-1</math>개의 [[진부분 집합]]에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 <math>n</math>차원의 뿔들은 <math>n+1</math>개가 있으며, 이는 [[사영 공간]]의 크기 <math>n+1</math>의 아핀 [[열린 덮개]]에 해당한다. 구체적으로, <math>n</math>차원 뿔의 쌍대뿔들은 다음과 같다.
* <math>\sigma_0^\vee</math>는 <math>\{\mathrm e_1,\dotsc,\mathrm e_n\}</math>으로 생성된다.
** 이에 대응되는 [[모노이드 대수]]는 <math>K[x_1,x_2,\dotsc,x_n]</math>이다.
* <math>i \in \{1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, <math>\sigma_i^\vee</math>는 <math>\{\mathrm e_1-\mathrm e_i,\dotsc,\widehat{\mathrm e_i-\mathrm e_i},\dotsc,\mathrm e_n-\mathrm e_i,-\mathrm e_i\}</math>로 생성된다. (<math>\hat{\color{White}e}</math>은 이 항만을 생략하라는 뜻이다.)
** 이에 대응되는 [[모노이드 대수]]는 <math>K[x_1x_i^{-1},x_2x_i^{-1},\dotsc,\widehat{x_ix_i^{-1}},\dotsc,x_nx_i^{-1},x_i^{-1}]</math>이다.
즉, [[사영 공간]]의 [[동차 좌표]]를
:<math>[y_0:y_1:\dotsb:y_n]</math>
이라고 한다면, 이는
:<math>(x_1,\dotsc,x_n) \mapsto [1:x_1:\dotsb:x_n]</math>
:<math>x_i = y_i/y_0</math>
에 해당한다. 각 <math>\sigma_i</math>는 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n_K</math>에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n_K</math>을 얻는다.

==== 사영 직선 ====
다음과 같은 <math>\mathbb Q^1</math> 속의 부채를 생각하자.<ref name="Cox"/>{{rp|Example 8.3}}
:<math>\leftarrow \bullet \rightarrow</math>
즉, 그 뿔들은 다음과 같다.
:<math>\sigma_1 = [0,\infty) \subsetneq\mathbb Q</math>
:<math>\sigma_2 = (-\infty,0] \subsetneq\mathbb Q</math>
:<math>\sigma_0 = C_1 \cap C_2 = \{0\} \subsetneq \mathbb Q</math>
이 경우, <math>\sigma_1</math>의 쌍대뿔은 <math>\sigma_1^\vee = \sigma_1=[0,\infty)</math> 자신이며, 그 [[모노이드 대수]]는
:<math>K[\sigma_1^\vee\cap\mathbb Z]=K[t]</math>
이다. 마찬가지로
<math>\sigma_2=\sigma_2^\vee</math>의 경우
:<math>K[\sigma_2^\vee\cap\mathbb Z]=K[t^{-1}]</math>
이다. 또한, <math>\sigma_0^\vee=\mathbb Q</math>의 [[모노이드 대수]]는 [[로랑 다항식환]]
:<math>K[\sigma_0^\vee\cap\mathbb Z]=K[t,t^{-1}]</math>
이다. [[환 준동형]]
:<math>K[t] \to K[t,t^{-1}]</math>
에 대응하는 자리스키 [[열린집합]]은 [[아핀 공간]] <Math>\mathbb A^1_K</math>의 부분 집합 <math>\{z\in K\colon z\ne0\}</math>
이다. 따라서, 이는 <math>K[t]</math>와 <math>K[t^{-1}]</math>를 이어붙인 대수다양체, 즉 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1_K</math>을 정의한다.

==== 사영 평면 ====
예를 들어, [[사영 평면]] <math>\mathbb P^2_K</math>는 다음과 같은 부채에 대응된다.
:<math>\begin{matrix}
& \uparrow \\
& \bullet & \rightarrow \\
\swarrow
\end{matrix}</math>
이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.
:[[파일:U+25F9.svg]]
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''부채로 정의되는 사영 평면의 구체적 아핀 덮개'''
<div class="mw-collapsible-content">
구체적으로, 이는 세 개의 2차원 뿔로 구성되므로, 다음과 같은 세 개의 아핀 [[열린집합]]으로 덮여진다. 이 뿔은 (''x''축부터 시계 반대 방향으로) 다음과 같다.
* 뿔 1: 이는 (1,0)과 (0,1)로 생성되며, 스스로의 쌍대뿔이다. 따라서, 이는 아핀 스킴 <math>\operatorname{Spec}K[x,y]</math>에 해당한다.
** 뿔 1과 뿔 2 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (−1,0), (0,1)로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 <math>\operatorname{Spec}K[x,x^{-1},y] = \operatorname{Spec}K[x,y]_x = \operatorname{Spec}K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1}}</math>에 해당한다.
* 뿔 2: 이 뿔의 쌍대뿔은 (1,−1)과 (−1,0)으로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 <math>\operatorname{Spec}K[x^{-1},x^{-1}y]</math>에 해당한다.
** 뿔 2와 뿔 3 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (−1,0), (1,−1), (−1,1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 <math>\operatorname{Spec}K[x^{-1},xy^{-1},x^{-1}y] = \operatorname{Spec}K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1}y} = \operatorname{Spec}K[y^{-1},xy^{-1}]_{xy^{-1}}</math>에 해당한다.
* 뿔 3: 이 뿔의 쌍대뿔은 (0,−1)과 (1,−1)로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 <math>\operatorname{Spec}K[y^{-1},xy^{-1}]</math>에 해당한다.
** 뿔 3과 뿔 1 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (0,1), (0,−1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 <math>\operatorname{Spec}K[x,y,y^{-1}] = \operatorname{Spec}K[y^{-1},xy^{-1}]_{y^{-1}} = \operatorname{Spec}K[x,y]_y</math>에 해당한다.
*** 뿔 1〜3 사이의 0차원 뿔의 쌍대뿔은 (0,1), (0,−1), (1,0), (−1,0)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 <math>\operatorname{Spec}K[x,x^{-1},y,y^{-1}]</math>에 해당한다.
여기서 아랫첨자는 해당 원소로 생성되는 곱셈 [[모노이드]]에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]]이다. 이는 [[아핀 스킴]] 사이의 [[열린 몰입]]을 정의하며, 이는 아핀 열린 덮개의 짜깁기 사상이다.
</div></div>

=== 코니폴드 ===
{{본문|코니폴드}}
[[코니폴드]]는 다음과 같은 <math>\mathbb Q^3</math> 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.<ref name="Closset"/>{{rp|§4.1, (54)}}
:<math>\sigma = \operatorname{Span}_{[0,\infty)} \left\{ \mathrm e_1, \mathrm e_1+\mathrm e_2, \mathrm e_1+\mathrm e_3, \mathrm e_1+\mathrm e_2+\mathrm e_3 \right\}</math>
이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 <math>\{v\in\mathbb Q^3\colon \langle \mathrm e_1,v\rangle = 1\}</math> 위에 속하므로, 이는 [[칼라비-야우 다양체]]이다.

이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은
:<math>\sigma^\vee = \{(a,b,c)\in\mathbb Q^3 \colon
\min\{a, a+b,
a+c,a+b+c
\}
\ge 0
\}</math>
이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은
:(1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0)
이다. 이들 사이의 유일한 관계는
:(1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1)
이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴([[코니폴드]])은
:<math>K[x,y,z,w]/(xy-zw)</math>
이다.<ref name="Closset"/>{{rp|§2.1, (15)}} <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 2가 아니라면,
:<math>X = (x/2+y/2)</math>
:<math>Y = (x/2-y/2)</math>
:<math>Z = (z/2+w/2)</math>
:<math>W = (z/2-w/2)</math>
를 정의하여, 이를
:<math>K[X,Y,Z,W]/(X^2-Y^2-Z^2+W^2)</math>
로 적을 수 있다.

=== 오비폴드 ===
다음과 같은 2차원 부채는 [[오비폴드]] <math>K^2/\operatorname{Cyc}(2)</math>를 나타낸다.<ref name="Closset"/>{{rp|Figure 2(a)}} (2차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>은 <math>(u,v)\mapsto (-u,-v)</math>와 같이 작용한다.)
:<math>\begin{matrix}
&\nearrow \\
\bullet\\
&\searrow
\end{matrix}</math>
이 2차원 뿔 <math>\sigma=\sigma^\vee</math>는 스스로의 [[쌍대뿔]]이며, <math>(1,1)</math>과 <math>(1,-1)</math>과 <math>(1,0)</math>에 의하여 생성된다.
:<math>(1,1)+(1,-1) = 2\cdot(1,0)</math>
이므로, 이는 [[아핀 대수다양체]]
:<math>K[x,y,z]/(xy-z^2)</math>
를 정의한다. 기하학적으로, 이는 [[2차 초곡면]]인 뿔이다.

사실, [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^2_K = \operatorname{Spec}K[u,v]</math> 위에 2차 [[순환군]]의 작용
:<math>(u,v) \mapsto (-u,-v)</math>
의 작용에 대한 몫은 [[기하 불변량 이론 몫]]으로서 다음과 같은 [[가환환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]이다.
:<math>\mathbb A^2_K / \operatorname{Cyc}(2) = \operatorname{Spec} (K[u,v]^{\operatorname{Cyc}(2)})</math>
여기서 <math>K[u,v]^{\operatorname{Cyc}(2)}</math>는 <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는
:<math>u^2,v^2,uv</math>
로 생성되며, 이 사이의 관계는
:<math>u^2\cdot v^2 = (uv)^2</math>
밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상
:<math>\operatorname{Spec} (K[u,v]^{\operatorname{Cyc}(2)}) \cong \operatorname{Spec}\frac{K[x,y,z]}{(xy-z^2)}</math>
:<math>(u,v) \mapsto (u^2,v^2,uv)</math>
을 갖는다.

=== 델 페초 곡면 ===
{{본문|델 페초 곡면}}
다음과 같은 2차원 부채는 [[델 페초 곡면]] <math>\operatorname{dP}_1</math>을 나타낸다.<ref name="Closset"/>{{rp|Figure 2(b)}}
:<math>\begin{matrix}
&\uparrow \\
&\bullet & \rightarrow\\
\swarrow&\downarrow
\end{matrix}</math>
구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 [[부풀리기]]에 해당한다.

다음과 같은 2차원 부채는 [[델 페초 곡면]] <math>\operatorname{dP}_2</math>을 나타낸다.<ref name="Closset"/>{{rp|Figure 2(b)}}
:<math>\begin{matrix}
&\uparrow \\
\leftarrow &\bullet & \rightarrow\\
\swarrow&\downarrow
\end{matrix}</math>

다음과 같은 2차원 부채는 [[델 페초 곡면]] <math>\mathbb P^1\times\mathbb P^1</math>을 나타낸다.
:<math>\begin{matrix}
&\uparrow \\
\leftarrow&\bullet & \rightarrow\\
&\downarrow
\end{matrix}</math>
이것이 두 [[사영 직선]]의 [[곱 (범주론)|곱]]임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.

== 응용 ==
원환 다양체의 구성은 [[끈 이론]]에서 콤팩트화에 사용되는 [[칼라비-야우 다양체]]를 구성할 때 자주 사용된다.<ref>{{저널 인용|title=The geometer’s toolkit to string compactifications | arxiv = 0706.1310 | last=Reffert | first=Susanne | date = 2007 | bibcode = 2007arXiv0706.1310R |언어=en}}</ref><ref name="Closset">{{저널 인용|제목=Toric geometry and local Calabi–Yau varieties: An introduction to toric geometry (for physicists)|이름=Cyril|성=Closset | arxiv=0901.3695 | bibcode=2009arXiv0901.3695C | 날짜=2009 |언어=en}}</ref> 특히, [[거울 대칭]]은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ToricVariety|title=Toric variety}}
* {{nlab|id=toric variety|title=Toric variety}}
* {{nlab|id=noncommutative toric variety|title=Noncommutative toric variety}}

[[분류:대수기하학]]