원순서 집합 문서 원본 보기

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[[순서론]]에서 '''원순서 집합'''(原順序集合, {{llang|en|preordered set, proset}})은 그 속의 두 원소를 [[추이적 관계|추이적]]으로 비교할 수 있는 [[집합]]이다. [[부분 순서 집합]]과, [[동치 관계]]를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 [[몫집합]] 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.

== 정의 ==
'''원순서 집합'''의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 [[동치]]이다.
* [[순서론]]적으로, 특별한 [[이항 관계]]를 갖춘 [[집합]]으로 여길 수 있다.
* [[범주론]]적으로, 특별한 [[작은 범주]]로 여길 수 있다.
* [[위상수학]]적으로, 특별한 종류의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 여길 수 있다.

=== 순서론적 정의 ===
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''원순서'''는 다음 조건들을 만족시키는 [[이항 관계]] <math>{\lesssim}\subseteq X^2</math>이다.
* (반사성) 임의의 <math>a\in X</math>에 대하여, <math>a\lesssim a</math>
* ([[추이적 관계|추이성]]) 임의의 <math>a,b,c\in X</math>에 대하여, <math>a\lesssim b\lesssim c</math>라면 <math>a\lesssim c</math>
원순서를 갖춘 집합을 '''원순서 집합'''({{llang|en|preordered set}}, {{lang|en|proset}})이라고 한다. 이 정의에 반대칭성(<math>a\lesssim b\land b\lesssim a\implies a=b</math>)을 추가하면 [[부분 순서]]를 얻는다.

=== 범주론적 정의 ===
'''얇은 범주'''(-範疇, {{llang|en|thin category}}) <math>\mathcal C</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* 임의의 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math> 및 그 사이의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>f=g</math>이다.  즉, 사상 모임 <math>\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>는 [[한원소 집합]]이거나 [[공집합]]이다.

[[범주론]]적으로, '''원순서 집합'''은 얇은 [[작은 범주]]이다. 구체적으로, 원순서 집합 <math>(X,\lesssim)</math>은 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]]로 여길 수 있다.
* <math>(X,\lesssim)</math>의 대상은 <math>X</math>의 원소이다.
* <math>(X,\lesssim)</math>의 [[사상 (수학)|사상]]은 <math>a\lesssim b</math>인 두 원소의 순서쌍 <math>(a,b)</math>이며, 이는 <math>a</math>에서 <math>b</math>로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다.
*:<math>\hom(a,b)=\begin{cases}\{(a,b)\}&a\lesssim b\\\varnothing&a\not\lesssim b\end{cases}</math>

=== 위상수학적 정의 ===
'''알렉산드로프 공간'''(Александров空間, {{llang|en|Alexandrov space}})은 임의의 [[열린집합]]들의 (유한 또는 무한) 족의 [[교집합]]이 [[열린집합]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 [[동치]]이다. 구체적으로, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.
:<math>x\lesssim y\iff x\in\operatorname{cl}\{y\}</math>
여기서 <math>\operatorname{cl}\{y\}</math>는 [[한원소 집합]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 <math>(X,\lesssim)</math>이 주어졌을 때, [[상집합]]을 [[열린집합]]으로, [[하집합]]을 [[닫힌집합]]으로 하는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다. 사실, 이러한 대응 관계는 원순서 집합과 [[순서 보존 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Proset}</math> 및 위상 공간과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> 사이의 한 쌍의 [[수반 함자]]
:<math>\operatorname{Proset}\leftrightarrows\operatorname{Top}</math>
를 이루며, <math>\operatorname{Top}</math>를 알렉산드로프 공간의 범주로 제한하면 범주의 동형이 된다.

== 성질 ==
원순서 집합 <math>(X,\lesssim)</math>가 주어졌을 경우, <math>X</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자.
:<math>a\sim b\stackrel{\text{def}}\iff a\lesssim b\land b\lesssim a</math>
이에 따른 [[몫집합]] <math>X/{\sim}</math> 위에서 <math>\lesssim</math>은 [[부분 순서]]를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 <math>X</math>의 [[몫집합]] 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는 <math>X</math> 위의 원순서를 정의한다.

크기가 <math>n</math>인 [[유한 집합]] 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 (<math>n=0,1,2,\dots</math>).
:1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, {{OEIS|A798}}

[[유한 집합]] 위의 [[위상 공간 (수학)|위상]]들과 원순서들 사이에는 표준적인 [[일대일 대응]]이 존재한다. 구체적으로, 위상 <math>\mathcal T</math> ([[열린집합]]들의 집합)가 주어졌다면,
:<math>a\lesssim b\stackrel{\text{def}}\iff\left(\forall U\in\mathcal T\colon b\in U\implies a\in U\right)</math>
와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 <math>\lesssim</math>가 주어졌다면,
:<math>\{\{a\colon a\lesssim b\}\colon b\}</math>
를 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 위상을 정의할 수 있다.

== 예 ==
범주 <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 <math>\operatorname{Mono}(\mathcal C)/X</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>\operatorname{Mono}(\mathcal C)/X</math>의 대상은 [[공역]]이 <math>X</math>인 <math>\mathcal C</math>-[[단사 사상]] <math>m\colon Y\hookrightarrow X</math>이다.
* <math>\operatorname{Mono}(\mathcal C)/X</math>의 두 대상 <math>\iota\in\hom_{\mathcal C}(Y,X)</math>, <math>\iota'\in\hom_{\mathcal C}(Y',X)</math> 사이의 사상 <math>f\colon\iota\to\iota'</math>는 <math>\iota=\iota'\circ f</math>가 되는 <math>\mathcal C</math>-사상 <math>f\colon Y\to Y'</math>이다.
그렇다면, <math>\operatorname{Mono}(\mathcal C)/X</math>는 ([[단사 사상]]의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 <math>X</math>의 [[부분 대상]]들의 모임 <math>\operatorname{Sub}(X)</math>이다.

마찬가지로, 범주 <math>X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)</math>의 대상은 [[정의역]]이 <math>X</math>인 <math>\mathcal C</math>-[[전사 사상]] <math>\pi\colon X\twoheadrightarrow Y</math>이다.
* <math>X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)</math>의 두 대상 <math>\pi\in\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>, <math>\pi'\in\hom_{\mathcal C}(X,Y')</math> 사이의 사상 <math>f\colon\pi\to\pi'</math>는 <math>f\circ\pi=\pi'</math>가 되는 <math>\mathcal C</math>-사상 <math>f\colon Y\to Y'</math>이다.
그렇다면, <math>X\backslash\operatorname{Epi}(\mathcal C)</math>는 ([[전사 사상]]의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 <math>X</math>의 [[몫 대상]]들의 모임 <math>\operatorname{Quot}(X)</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[부분 순서 집합]]
* [[동치 관계]]
* [[전순서 집합]]
* [[상향 원순서 집합]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pre-order}}
* {{매스월드|id=Preorder|title=Preorder}}
* {{nlab|id=preorder|title=Preorder}}
* {{nlab|id=thin category|title=Thin category}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Preordering|제목=Definition: preordering|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:순서론]]