원분 다항식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 수론]]에서, '''원분 다항식'''(圓分多項式, {{llang|en|cyclotomic polynomial}})은 [[1의 거듭제곱근]]을 근으로 하는 [[정수 계수 다항식|정수 계수]] [[일계수 다항식|일계수]] [[기약 다항식]]이다.

== 정의 ==
양의 정수 <math>n</math>에 대하여, '''<math>n</math>번째 원분 다항식'''
:<math>\Phi_n\in\mathbb Z[x]</math>
은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\Phi_n(x)
& = \prod_{1\le k\le n}^{\gcd\{k,n\}=1}(x-\exp(2\pi ik/n)) \\
& = \prod_{1\le d\le n}^{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)} \\
& = (x^n-1)\prod_{1\le d<n}^{d\mid n}\frac1{\Phi_d(x)}
\end{align}
</math>
첫째 정의에서, <math>\gcd\{k,n\}=1</math>은 <math>k</math>와 <math>n</math>이 [[서로소 아이디얼|서로소]]라는 조건이며, 이 경우 <math>\exp(2\pi ik/n)</math>는 모든 [[1의 원시 n제곱근|1의 원시 <math>n</math>제곱근]]에 해당한다. (<math>\exp(2\pi ik/n)</math>은 흔히 <math>e^{2\pi ik/n}</math>으로 쓴다.) 이 정의에 따라, <math>\Phi_n(x)</math>는 [[1의 원시 n제곱근|1의 원시 <math>n</math>제곱근]]들을 근으로 갖는 [[일계수 다항식]]이며, <math>\phi(n)</math>차 다항식이다 (<math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]). 둘째 정의에서, <math>\mu</math>는 [[뫼비우스 함수]]이다. 셋째 정의는 재귀적이며, 이를 통해 <math>\Phi_n(x)</math>가 [[정수 계수 다항식]]임을 쉽게 알 수 있다. <math>\Phi_n(x)</math>가 [[기약 다항식]]임은 세 정의로부터 자명하지 않다. <math>\Phi_n(x)</math>이 <math>\exp(2\pi i/n)</math>의 <math>\mathbb Q</math>에 대한 [[최소 다항식]]이라는 사실은 원분 다항식의 정의로 삼을 수 있다.

== 성질 ==
다음 성질들이 성립한다.
* <math>\Phi_n(x)</math>는 <math>\mathbb Q[x]</math>의 [[기약 다항식]]이다. 물론, <math>\Phi_n</math>은 [[일계수 다항식]]이므로 [[원시 다항식]]이며, 따라서 <math>\mathbb Z[x]</math>의 [[기약원]]이기도 하다.
* <math>\Phi_n(x)</math>의 차수는 <math>\phi(n)</math>이며, 특히 <math>n\ge3</math>일 때 짝수이다.
*:<math>\deg\Phi_n=\phi(n)</math>
* 모든 [[1의 거듭제곱근|1의 <math>n</math>제곱근]]은 어떤 유일한 <math>n</math>의 (양의) [[약수]]에 대한 원시 제곱근이므로, 다음 항등식이 성립한다.
*:<math>x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)</math>
* 이에 대한 [[뫼비우스 반전 공식]]은 다음과 같다.
*:<math>\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}</math>
* <math>\textstyle n'=\prod_{p\mid n}p</math>가 <math>n</math>의 [[제곱 인수가 없는 정수|제곱 인수가 없는]] [[약수]] 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 [[제곱 인수가 없는 정수|제곱 인수가 없는]] 지표의 경우로 귀결된다.
*:<math>\Phi_n(x)=\Phi_{n'}(x^{n/n'})</math>

=== 계수 ===
원분 다항식의 계수에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* 모든 정수는 어떤 원분 다항식의 계수이다. 특히, (낮은 차수에서와 달리) 원분 다항식의 계수는 <math>\{-1,0,1\}</math>로 이루어질 필요가 없다.
* <math>n\ge2</math>에 대하여, <math>\Phi_n(x)</math>의 계수들은 “[[회문]]”을 이룬다 (<math>a_0=a_{\phi(n)}=1,a_1=a_{\phi(n)-1},\dots</math>).
* <math>n\ge3</math>에 대하여, <math>\Phi_n(x)</math>의 가운데 항 계수(즉, <math>n/2</math>차항 계수)는 0이거나 (<math>n\in\{2^2,2^3,\dots\}</math>) [[홀수]]이다 (<math>n\not\in\{2^2,2^3,\dots\}</math>).

=== 값 ===
원분 다항식의 특정 수에서의 값들은 다음과 같다.
:<math>\Phi_n(0)=1</math>
:<math>\Phi_n(1)=\begin{cases}
0 & n=1 \\
p & \exists p\in\{2,3,5,7,11,\dots\}\colon n\in\{p,p^2,p^3,\dots\} \\
1 & n\ne1\land\not\exists p\in\{2,3,5,7,11,\dots\}\colon n\in\{p,p^2,p^3,\dots\}
\end{cases}
</math>
:<math>\Phi_n(-1)=\begin{cases}
-2 & n=1 \\
0 & n=2 \\
1 & n\in\{3,5,7,9,\dots\} \\
-n & n\in\{4,6,8,10,\dots\}
\end{cases}
</math>

== 예 ==
=== 작은 지표 ===
처음 몇 원분 다항식은 다음과 같다.
:<math>\Phi_1(x) = x - 1</math>
:<math>\Phi_2(x) = x + 1</math>
:<math>\Phi_3(x) = x^2 + x + 1</math>
:<math>\Phi_4(x) = x^2 + 1</math>
:<math>\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1</math>
:<math>\Phi_6(x) = x^2 - x + 1</math>
:<math>\Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1</math>
:<math>\Phi_8(x) = x^4 + 1</math>
:<math>\Phi_9(x) = x^6 + x^3 + 1</math>
:<math>\Phi_{10}(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1</math>
:<math>\Phi_{11}(x) = x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1</math>
:<math>\Phi_{12}(x) = x^4 - x^2 + 1</math>
:<math>\Phi_{13}(x) = x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1</math>
:<math>\Phi_{14}(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1</math>
:<math>\Phi_{15}(x) = x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1</math>

원분 다항식의 계수가 <math>\{-1,0,1\}</math>에 속할 필요는 없다. 예를 들어, 105번째 원분 다항식 <math>\Phi_{105}(x)</math>의 7차항은 <math>-2x^7</math>이다. 이는 처음 오는 반례이며, <math>105=3\times5\times7</math>은 서로 다른 세 소수의 곱이다.

=== Φ<sub>p</sub> ===
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여,
:<math>\Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+\cdots+x+1</math>
이다. <math>\Phi_p(x)</math>가 [[기약 다항식]]임을 보이는 것은 [[아이젠슈타인 판정법]]에 따라 더 쉽다.

=== Φ<sub>pq</sub> ===
임의의 두 소수 <math>p<q</math>에 대하여,
:<math>(p-1)(q-1)=r(p,q)p+s(p,q)q</math>
인 유일한 음이 아닌 정수 <math>r(p,q),s(p,q)</math>가 존재한다.

두 소수 <math>p<q</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}
\Phi_{pq}(x)
& = \frac{\Phi_p(x^p)}{\Phi_p(x)} \\
& = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^p-1)(x^q-1)} \\
& = \biggl(\sum_{i=0}^{r(p,q)}x^{ip}\biggr)\biggl(\sum_{j=0}^{s(p,q)}x^{jq}\biggr)-x^{-pq}\biggl(\sum_{i=r(p,q)+1}^{q-1}x^{ip}\biggr)\biggl(\sum_{j=s(p,q)+1}^{q-1}x^{jq}\biggr)
\end{align}
</math>
이다. 특히, <math>\Phi_{pq}(x)</math>는 <math>\phi(pq)=(p-1)(q-1)</math>차 다항식이며, 계수는 <math>\{-1,0,1\}</math>로 이루어지며, 계수 1의 항이 계수 −1의 항보다 하나 더 많다 (<math>\Phi_{pq}(1)=1</math>). 또한, <math>\Phi_{pq}(x)</math>의 가운데 항 계수(<math>(p-1)(q-1)/2</math>차항 계수)는 <math>(-1)^{r(p,q)}</math>이다.<ref name="LamPhipq">{{저널 인용|성1=Lam|이름1=T. Y.|저자링크1=람짓윈|성2=Leung|이름2=K. H.|제목=On the cyclotomic polynomial Φpq(X)|언어=en|저널=American Mathematical Monthly|권=103|호=7|쪽=562–564|날짜=1996|issn=0002-9890|doi=10.2307/2974668|mr=1404079|zbl=0868.11016|jstor=2974668}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=New York, NY|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|제목=원분다항식(cyclotomic polynomial)}}
* {{수학노트|제목=원분다항식의 해법}}
* {{eom|제목=Cyclotomic polynomials}}
* {{매스월드|id=CyclotomicPolynomial|제목=Cyclotomic polynomial}}
* {{매스월드|id=GausssCyclotomicFormula|제목=Gauss’s cyclotomic formula}}
* {{플래닛매스|urlname=cyclotomicpolynomial|제목=Cyclotomic polynomial}}
* {{플래닛매스|urlname=examplesofcyclotomicpolynomials|제목=Examples of cyclotomic polynomials}}
* {{proofwiki|id=Definition:Cyclotomic Polynomial|제목=Definition: cyclotomic polynomial}}

== 같이 보기 ==
* [[원분체]]

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:다항식]]