원분체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 수론]]에서 '''원분체'''(圓分體, {{llang|en|cyclotomic field}})는 [[유리수체]]에 [[1의 거듭제곱근]]을 첨가하여 얻는 [[대수적 수체]]이다.

== 정의 ==
<math>n\ge3</math>이 3 이상의 [[정수]]이며, <math>n\not\equiv 2\pmod 4</math>라고 하자. ''n''차 '''원분체'''는 <math>\zeta_n^n=1</math>을 만족시키는 원소 <math>\zeta_n</math>을 첨가한, [[유리수체]]의 [[체의 확대|확대]] <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math>이다.

== 성질 ==
원분체 <math>\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q</math>는 [[갈루아 확대]]이며, 차수는 [[오일러 피 함수]]에 의하여 주어진다.
:<math>[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]=\phi(n)</math>
원분체의 [[갈루아 군]]은 <math>\mathbb Z/(n)</math>의 [[가역원]]군
:<math>\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(n))^\times</math>
이며, 이 동형은 구체적으로
:<math>[k]\colon\sum_{i=0}^{\phi(n)-1}a_i\zeta_n^i\mapsto\sum_{i=0}^{\phi(n)-1}a_i\zeta_n^{ki}</math>
이다.

=== 유수 ===
원분체 <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math> 가운데, 그 [[대수적 정수환]]이 [[유일 인수 분해 정역]]인 것([[유수 (수론)|유수]]가 1인 것)은 총 30개가 있으며, 다음과 같다.
:<math>n\in\{1,\dots,21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84\}</math> {{OEIS|A5848}}
유수가 1이 아닌 원분체의 유수들은 다음과 같다 (<math>n\le99</math>, <math>n\not\equiv2\pmod4</math>). {{OEIS|A61653}}
{| class=wikitable style="text-align:right"
! ''n'' || 유수
! ''n'' || 유수
! ''n'' || 유수
! ''n'' || 유수
|-
! 23
| style="width:12ch" | 3
! 29
| style="width:12ch" | 8
! 31
| style="width:12ch" | 9
! 37
| style="width:12ch" | 37
|-
! 39
| 2
! 41
| 121
! 43
| 211
! 47
| 695
|-
! 49
| 43
! 51
| 5
! 52
| 3
! 53
| 4889
|-
! 55
| 10
! 56
| 2
! 57
| 9
! 59
| 41241
|-
! 61
| 76301
! 63
| 7
! 64
| 17
! 65
| 64
|-
! 67
| 853513
! 68
| 8
! 69
| 69
! 71
| 3882809
|-
! 72
| 3
! 73
| 11957417
! 75
| 11
! 76
| 19
|-
! 77
| 1280
! 79
| 100146415
! 80
| 5
! 81
| 2593
|-
! 83
| 838216959
! 85
| 6205
! 87
| 1536
! 88
| 55
|-
! 89
| 13379363737
! 91
| 53872
! 92
| 201
! 93
| 6795
|-
! 95
| 107692
! 96
| 9
! 97
| 411322842001
! 99
| 2883
|}

=== 소수의 분기화 ===
<math>\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q</math>에서 [[분기화|분기]]하는 [[소수 (수론)|소수]]는 <math>n</math>의 소인수들이다. 만약
:<math>n=\prod_pp^{n_p}</math>
라면 <math>n_p>0</math>, <math>\mathbb Z</math>의 [[소 아이디얼]] <math>(p)</math>는 <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta_n)}</math>에서 <math>\phi(p^{n_p})</math>제곱 아이디얼로 분해된다. 즉,
:<math>(p)=(\mathfrak P_1\cdots\mathfrak P_s)^{\phi(p^{n_p})}</math>
인 서로 다른 [[소 아이디얼]]들 <math>\mathfrak P_1,\dots,\mathfrak P_s\subset\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta_n)}</math>이 존재한다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Lawrence C.|성=Washington|제목=Introduction to Cyclotomic Fields|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=83|출판사=Springer|날짜=1982|isbn=0-387-90622-3|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Serge|성=Lang|제목=Cyclotomic Fields I and II (1·2권 합본)|판=2|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=121|출판사=Springer|날짜=1990|isbn=0-387-96671-4|언어=en}}
* {{서적 인용 | 이름=John | 성=Coates | 공저자=Sujatha Ramdorai | 제목=Cyclotomic fields and zeta values | series=Springer Monographs in Mathematics | publisher=Springer | 날짜=2006 | isbn=3-540-33068-2 | zbl=1100.11002 | 언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[이차 수체]]

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:체론]]