운동량 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[심플렉틱 기하학]]에서 '''운동량 사상'''(運動量寫像, {{llang|en|momentum map|모멘텀 맵}}, {{llang|en|moment map|모먼트 맵}})은 [[심플렉틱 다양체]] 위의 [[군의 작용]]을 생성하는 [[해밀토니언]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Momentum maps and Hamiltonian reduction|doi=10.1007/978-1-4757-3811-7|isbn=978-0-8176-4307-2|성=Ortega|이름=Juan-Pablo|이름2=Tudor Stefan|성2=Ratiu|총서=Progress in Mathematics |권=22|출판사=Birkhäuser|날짜=2004|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Kähler and symplectic manifolds: quotient constructions|이름=Ana|성=Rovi|기타=석사 학위 논문|출판사=University of Oxford|날짜=2011-08-31|url=http://www.maths.gla.ac.uk/~arovi/images/ThesisOxford.pdf|언어=en|확인날짜=2013-10-09|보존url=https://web.archive.org/web/20150918210311/http://www.maths.gla.ac.uk/~arovi/images/ThesisOxford.pdf|보존날짜=2015-09-18|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Symmetry reduction in symplectic and Poisson geometry|이름=Juan-Pablo|성=Ortega|이름2=Tudor Sttefan|성2=Ratiu|저널=Letters in Mathematical Physics|권=69|호=1|쪽=11–60|날짜=2004-07|doi=10.1007/s11005-004-0898-x|issn=0377-9017|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Symplectic geometry|이름=Ana|성=Cannas da Silva|arxiv=math/0505366|bibcode=2005math......5366C|언어=en}}</ref> [[해밀턴 역학]]에서의 [[운동량]]과 [[각운동량]]을 일반화한 것이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>
* [[리 군]] <math>G</math>
* [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[군 표현]] <math>\rho\colon G\to\operatorname{Ham}(M,\omega)</math>가 주어졌다고 하자. 여기서 <math>\operatorname{Ham}(M,\omega)=\{f\in\operatorname{Diff}(M)\colon f^*\omega=\omega\}</math>는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식 <math>\omega</math>를 보존하는 [[미분 동형]] <math>M\to M</math>)들의 군이다.

[[리 대수]]의 원소 <math>\xi\in\mathfrak{lie}(G)</math>에 대하여, <math>M</math> 위에는 <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]의 무한소 생성원인 다음과 같은 [[벡터장]] <math>v_\xi</math>가 존재한다.
:<math>v_\xi=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{t=0}\rho(\exp(t\xi))(x)</math>
여기서 <math>\exp</math>는 [[리 지수 사상]]이다.
<math>G</math>의 [[군의 작용|작용]] <math>\rho</math>의 '''운동량 사상''' <math>\mu\colon M\to\mathfrak{lie}(G)^*</math>는 임의의 <math>\xi\in\mathfrak{lie}(G)</math>에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.
:<math>d\langle\mu,\xi\rangle=\omega(v_\xi,\cdot)</math>

이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\partial_j\mu_a=\omega_{ij}v_a^i</math>
여기서 <math>i,j</math>는 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>의 지표이고, <math>a</math>는 리 대수 <math>\mathfrak{lie}(G)</math>의 지표다.

== 성질 ==
[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math> 위의 [[리 군]] <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]의 운동량 사상 <math>\mu\colon M \to \mathfrak g^*</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의
:<math>\zeta \in (\mathfrak g^*)^G</math>
에 대하여 <math>\mu+\zeta</math> 역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서 <math>\mathfrak g^*</math>는 <math>G</math>의 [[딸림표현]]의 [[쌍대 표현]]이며,
:<math>(\mathfrak g^*)^G
= \left\{\phi\in\mathfrak g^*\colon \forall x,y\in\mathfrak g\colon \phi([x,y]) = 0 \right\}
= \operatorname H^0(\mathfrak g; \mathfrak g^*)
</math>
는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉, <math>\mathfrak g</math> 위의 [[무게 (표현론)|무게]]의 집합, 또는 <math>\mathfrak g^*</math> 계수의 <math>\mathfrak g</math>의 0차 [[리 대수 코호몰로지]])이다.

=== 심플렉틱 몫공간 ===
<math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]일 경우, 부분 공간 <math>\mu^{-1}(0)\subset M</math>은 <math>G</math>의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 <math>\mu^{-1}(0)/G</math>는 <math>M</math>의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, [[몫공간]] <math>\mu^{-1}(0)/G</math>는 [[심플렉틱 다양체]]를 이룬다. 이를 '''심플렉틱 몫공간'''({{llang|en|symplectic quotient}}) 또는 '''마즈든-와인스타인 몫공간'''({{llang|en|Marsden–Weinstein quotient}})이라고 하며, <math>M/\!/G</math>라고 쓴다.<ref>{{저널 인용|제목=Reduction of symplectic manifolds with symmetry|이름=Jerrold|성=Marsden|이름2=Alan|성2= Weinstein|저널=Reports on Mathematical Physics|권=5|호=1|날짜=1974-02|쪽=121–130|doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4|issn=0034-4877|언어=en}}</ref> 이 경우
:<math>\dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G</math>
이다.

물론, 0 대신 임의의 <math>\zeta\in (\mathfrak g^*)^G</math>에 대하여 <math>\mu^{-1}(0)</math>를 사용할 수도 있다.

특히, <math>M</math>이 추가로 [[켈러 다양체]] <math>(M,\omega,J)</math>를 이루며, <math>G</math>의 작용이 심플렉틱 구조 <math>\omega</math> 및 [[복소구조]] <math>J</math>를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간
:<math>M/\!/G=\mu^{-1}(0)/G</math>
는 [[켈러 다양체]]이다.

=== 초켈러 몫공간 ===
[[초켈러 다양체]]의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=Nigel J.|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|이름2=A.|성2=Karlhede|이름3=U.|성3=Lindström|이름4=Martin|성4= Roček|제목=Hyper-Kähler metrics and supersymmetry|mr=877637|zbl=0612.53043|날짜=1987-12|저널=Communications in Mathematical Physics|issn=0010-3616|권=108|호=4|쪽=535–589|bibcode=1987CMaPh.108..535H|doi=10.1007/BF01214418|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104116624|언어=en}}</ref> 초켈러 다양체 <math>M</math>은 세 [[선형 독립]] 심플렉틱 구조 <math>\omega_I</math> (<math>I=1,2,3</math>)을 가진다. [[군의 작용]] <math>G\times M\to M</math>이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 <math>\mu_I\colon M\to\mathfrak g^*</math>이 존재한다. 이들을 합쳐서
:<math>\mu\colon M\to\mathfrak g^*\otimes\mathbb R^3</math>
을 정의하자. 그렇다면
:<math>M/\!/\!/G=\mu^{-1}(0)/G</math>
는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은
:<math>\dim_{\mathbb R}(M/\!/\!/G)=\dim_{\mathbb R}M-4\dim_{\mathbb R}G</math>
이다.

== 예 ==
<math>G</math>가 1차원 아벨 리 군 <math>\mathbb R</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>\mu</math>는 [[해밀턴 벡터장]]({{llang|en|Hamiltonian vector field}}) <math>v</math>를 생성시키는 [[해밀토니언]]이다.

=== 복소수 사영 공간 ===
[[복소수 내적 공간]] <math>\mathbb C^n</math>은 자명하게 [[켈러 다양체]]를 이룬다. 이 위에는 리 군 <math>\mathbb C^\times</math>이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 [[U(1)]] 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다.
:<math>\mu \colon \mathbb C^n \to \mathfrak{lie}(\operatorname U(1)) = \mathrm i\mathbb R</math>
:<math>\mu \colon z \mapsto \mathrm i\|z\|^2 - \mathrm iC</math>
여기서 <math>C \in \mathbb R</math>는 임의의 실수 상수이다.

이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면, <math>C > 0</math>일 때 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb P^{n-1}_{\mathbb C}</math>을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 [[푸비니-슈투디 계량]]이다. 반대로, <math>C < 0</math>일 경우는 [[공집합]]을 얻는다.

=== 복소수 사영 공간의 접공간 ===
[[사원수 벡터 공간]] <math>W=\mathbb H^n</math>은 자명하게 [[초켈러 다양체]]를 이룬다. 구체적으로, 이를 <math>n</math>차원 [[복소수 내적 공간]] <math>V</math>에 대하여
:<math>W = V \oplus V^* = \mathrm T^*V</math>
로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용
:<math>(x,\xi) \mapsto (\lambda x,\lambda^{-1}\xi)</math>
에 대한 운동량 사상
:<math>\mu_1(x,\xi) = \mathrm i(\|x\|^2 - \|\xi\|^2) - \mathrm iC</math>
:<math>\mu_2(x,\xi) + \mathrm i\mu_3(x,\xi) = \xi(x) - D</math>
를 취하면, <math>D = 0</math>일 때
:<math>\mu^{-1}(0) = \{(x,\xi)\in \mathrm T^*V \colon \xi \perp x, \; \|x\|^2-\|\xi\|^2 = C \}</math>
이다.  이 경우 초켈러 몫공간은 <math>V</math> 위의 [[사영 공간]]의 [[공변접다발]] <math>\mathrm T^*\mathbb P(V)</math>이다. 특히, 만약 <math>V</math>가 2차원일 때, 이는 [[에구치-핸슨 공간]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[기하 불변량 이론 몫]]
* [[BRST 양자화]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=moment map|title=Moment map }}
* {{nlab | id=symplectic reduction|title=Symplectic reduction}}

[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:해밀턴 역학]]