우리손 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{분리공리}}
[[일반위상수학]]에서 '''우리손 공간'''(Урысон空間, {{llang|en|Urysohn space}}) 또는 '''T<sub>2½</sub> 공간'''(T<sub>2½</sub>空間, {{llang|en|''T''<sub>2½</sub> space}})은 [[분리공리]]의 일부로 다뤄지는 특정한 성질을 만족하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. [[소비에트 연방]]의 [[위상수학|위상수학자]] [[파벨 사무일로비치 우리손]]의 이름이 붙어 있다.

== 정의 ==
다음 조건을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>를 '''우리손 공간'''이라고 한다.<ref name="유정옥">{{서적 인용|저자=유정옥|제목=알기쉬운 위상수학|출판사=교우사|isbn=978-89-8172-528-0|날짜=2013|판=2판|url=http://www.kyowoo.co.kr/02_sub/view.php?p_idx=310|언어=ko}}</ref>{{rp|219}}
* 임의의 두 점 <math>a,b\in X</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]가 서로 겹치지 않는 열린 근방을 갖는다. 즉, <math>E\cap F=\varnothing</math>인 닫힌 [[근방]] <math>E\ni a</math>, <math>F\ni b</math>가 존재한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''완비 하우스도르프 공간'''({{llang|en|completely Hausdorff space}})이라고 한다.
* 임의의 두 점 <math>a,b\in X</math>에 대하여, <math>f(a)=0</math>, <math>f(b)=1</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다. 즉, [[스톤-체흐 콤팩트화]]로 가는 자연스러운 [[연속 함수]] <math>X\to\beta X</math>는 [[단사 함수]]이다.
* 임의의 두 [[서로소 집합|서로소]] [[콤팩트 집합]] <math>K,K'\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(K)=\{0\}</math>, <math>f(K')=\{1\}</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다.
{{증명}}
모든 [[한원소 집합]]은 [[콤팩트 집합]]이므로, 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 반대로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 임의의 두 점이 연속 함수로 분리된다고 가정하고, 두 [[콤팩트 집합]] <math>K,K'\subseteq X</math>이 주어졌으며, <math>K\cap K'=\varnothing</math>이라고 하자. 각 <math>a\in K</math> 및 <math>b\in K'</math>에 대하여, <math>f_{ab}(a)=0</math>, <math>f_{ab}(b)=0</math>인 [[연속 함수]] <math>f_{ab}\colon X\to[0,1]</math>를 취하자. 그렇다면 <math>K'</math>의 <math>X</math>에서의 [[열린 덮개]] <math>\{f_{ab}((1/2,1])\colon b\in K\}</math>는 유한 부분 덮개
:<math>\{f_{ab_1}((1/2,1]),f_{ab_2}((1/2,1]),\dotsc,f_{ab_n}((1/2,1])\}</math>
를 갖는다. 그렇다면 [[연속 함수]]
:<math>f_a=2\min\{f_{ab_1},f_{ab_2},\dotsc,f_{ab_n},1/2\}\colon X\to[0,1]</math>
는 <math>f_a(a)=0</math>, <math>f_a(K')=\{1\}</math>을 만족시킨다. 마찬가지로, <math>K</math>의 <math>X</math>에서의 [[열린 덮개]] <math>\{f_a([0,1/2))\colon a\in K\}</math>는 유한 부분 덮개
:<math>\{f_{a_1}([0,1/2)),f_{a_2}([0,1/2)),\dotsc,f_{a_n}([0,1/2))\}</math>
를 가지며, [[연속 함수]]
:<math>f=2\max\{f_{a_1},f_{a_2},\dotsc,f_{a_n},1/2\}-1\colon X\to[0,1]</math>
는 <math>f(K)=\{0\}</math>, <math>f(K')=\{1\}</math>을 만족시킨다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
일반적으로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[티호노프 공간]](T<sub>3½</sub>) ⊆ [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]](T<sub>3</sub>) ⊆ 우리손 공간(T<sub>2½</sub>) ⊆ [[하우스도르프 공간]](T<sub>2</sub>)<ref name="유정옥"/>{{rp|219}}
:[[티호노프 공간]](T<sub>3½</sub>) ⊆ 완비 하우스도르프 공간 ⊆ 우리손 공간(T<sub>2½</sub>) ⊆ [[하우스도르프 공간]](T<sub>2</sub>)
하지만 [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 직접적인 함의 관계가 성립하지 않는다.

=== 범주론적 성질 ===
우리손 공간과 [[연속 함수]]들은 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Ury}</math>를 이룬다. 이 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.
* 우리손 공간의 전사 사상 <math>f\colon X\to Y</math>은 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math>으로부터 [[닫힌집합|닫힌]] [[근방]]들의 교집합을 취하는 연산을 초한 번 반복하면 [[공역]] <math>Y</math>를 얻는 [[연속 함수]]이다 (즉, 스스로의 [[닫힌집합|닫힌]] [[근방]]들의 교집합인 <math>f(X)\subseteq B\subseteq Y</math>는 <math>B=Y</math>밖에 없어야 한다).<ref name="Schröder">{{저널 인용
|성1=Schröder
|이름1=Joachim
|제목=The category of Urysohn spaces is not cowellpowered
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=16
|호=3
|쪽=237–241
|날짜=1983
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/0166-8641(83)90020-2
|mr=0722116
|zbl=0534.54004
}}</ref>{{rp|238, Lemma 4}}
* [[쌍대 정멱 범주]]가 아니다.<ref name="Schröder" />{{rp|240, Corollary 7}}
이를 증명한 저자는 다음과 같이 평했다.
{{인용문2|우리손 공간은 [[하우스도르프 공간]]과 위상수학적으로 크게 다르지 않다. 이러한 사소한 차이는 [더 이상 [[쌍대 정멱 범주]]가 아니라는] 큰 결과를 함의한다. 범주론적 위상수학자들은 범주 <math>\operatorname{Haus}</math>가 좋은 성질을 가지는 것을 다행으로 알아야 한다.

Urysohn spaces do not differ very much from Hausdorff spaces, topologically. These small differences imply large consequences. Categorical topologists should be happy about the well behaved category <math>\operatorname{Haus}</math>.
|<ref name="Schröder" />{{rp|241, Remark 8(c)}}}}

== 같이 보기 ==
* [[하우스도르프 공간]]
* [[정칙 공간]]
* [[티호노프 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Urysohn space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Urysohn_space|제목=Urysohn space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Functionally_Hausdorff_space|제목=Functionally Hausdorff space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Urysohn_Space|제목=Definition: Urysohn space|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-01-12|archive-date=2015-01-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20150112134851/https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Urysohn_Space|url-status=}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]