용량 차원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서, '''용량 차원'''({{llang|en|capacity dimension}})은 정수 값이 아닐 수 있는 [[차원]]의 하나이다.

== 정의 ==
[[거리 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>N_\epsilon(X)</math>가 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이루는 지름이 <math>\epsilon</math>인 [[공 (수학)|공]]들의 최소 개수라고 하자. <math>X</math>의 '''용량 차원''' <math>\dim_\operatorname CX</math>는 다음과 같다.
:<math>\dim_\operatorname CX=\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\ln N_\epsilon(X)}{\ln\frac 1\epsilon}</math>

== 예 ==
=== 칸토어 집합 ===
[[칸토어 집합]] <math>C</math>는 닫힌구간 <math>[0,1]</math>에서 시작하여 각 구간에서 가운데 1/3을 제거하는 과정을 거듭하여 만들어진다. 각 과정마다 구간의 개수는 2배씩 늘어나며, 각 구간의 길이는 1/3씩 줄어들므로, <math>\epsilon_n=1/3^n</math>을 취할 경우 <math>N_{\epsilon_n}(C)=2^n</math>이다. 따라서 용량 차원은
:<math>\dim_\operatorname CC=\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln 2}{n\ln 3}=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0.63</math>
이다. 이는 <math>C</math>의 [[하우스도르프 차원]]과 같다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CapacityDimension|title=Capacity dimension}}

[[분류:차원]]
[[분류:헤르만 민코프스키]]
[[분류:차원론]]
[[분류:프랙탈]]