외측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''외측도'''(外測度, {{llang|en|outer measure}})는 [[집합]]의 덮개를 통해 부피를 근사하는 [[함수]]이다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref><ref name="Billingsley">{{서적 인용
|성=Billingsley
|이름=Patrick
|제목=Probability and Measure
|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill
|언어=en
|판=3
|총서=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics
|출판사=Wiley-Interscience
|위치=New York, N.Y.
|날짜=1995
|isbn=978-0-471-00710-4
}}</ref>

== 정의 ==
집합 <math>X</math> 위의 '''(추상적) 외측도'''((抽象的)外測度, {{llang|en|(abstract) outer measure}})는 다음 세 조건을 만족시키는 함수
:<math>\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
이다.
* <math>\mu^*(\varnothing)=0</math>
* 임의의 <math>S\subseteq T\subseteq X</math>에 대하여, <math>\mu^*(S)\le\mu^*(T)</math>
* (가산 준가법성) 임의의 [[가산 집합]] <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math> (<math>|\mathcal S|\le\aleph_0</math>)에 대하여, <math>\textstyle\mu^*\left(\bigcup\mathcal S\right)\le\sum\mu^*(\mathcal S)</math>

집합 <math>X</math> 위의 외측도 <math>\mu^*</math>에 대한 '''카라테오도리 가측 집합'''(Καραθεοδωρή可測集合, {{llang|en|Carathéodory measurable set}})은 다음 조건을 만족시키는 집합 <math>S\subseteq X</math>이다.
* 임의의 <math>T\subseteq X</math>에 대하여, <math>\mu^*(T)=\mu^*(S\cap T)+\mu^*(T\setminus S)</math>
카라테오도리 가측 집합의 집합은 <math>\mathcal M(\mu^*)</math>로 표기한다.

== 성질 ==
집합 <math>X</math> 위의 외측도 <math>\mu^*</math>에 대하여, <math>\mathcal M(\mu^*)</math>는 <math>\mathcal P(X)</math>의 부분 [[시그마 대수]]를 이루며, <math>\mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)}</math>는 <math>(X,\mathcal M(\mu^*))</math> 위의 [[측도]]를 이루며, 또한 [[완비 측도]]를 이룬다. 즉, <math>(X,\mathcal M(\mu^*),\mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)})</math>는 [[완비 측도]] 공간이다.

=== 거리 외측도 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 속 두 집합 <math>S,T\subseteq X</math> 사이의 '''거리'''는 다음과 같다.
:<math>d_X(S,T)=\inf_{{\scriptstyle s\in S\atop t\in T}}d_X(s,t)</math>

[[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 위의 외측도 <math>\mu^*</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>\mu^*</math>를 '''거리 외측도'''(距離外測度, {{llang|en|metric outer measure}})라고 한다.
* 임의의 <math>S,T\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>d_X(S,T)>0</math>이라면, <math>\mu^*(S\cup T)=\mu^*(S)+\mu^*(T)</math>
* <math>\mathcal B(X)\subseteq\mathcal M(\mu^*)</math>. 즉, 모든 [[보렐 집합]]은 <math>\mu^*</math>-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 <math>(X,\mathcal B(X),\mu^*|_{\mathcal B(X)})</math>는 [[측도 공간]]을 이루지만, 이는 [[완비 측도 공간]]일 필요가 없다.)<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume II
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|140, §7.14.x, Theorem 7.14.29}}
* 모든 [[열린집합]]은 <math>\mu^*</math>-카라테오도리 가측 집합이다.

[[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 위의 거리 외측도 <math>\mu^*</math>가 주어졌을 때, 모든 [[상반연속 함수]]와 [[하반연속 함수]] <math>(X,\mathcal M(\mu^*))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>는 [[가측 함수]]이다.<ref name="Jeon">{{저널 인용
|url=https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO198622563289915.pdf
|형식=PDF
|성=Jeon
|이름=Won-Kee
|제목=Lebesgue-Stieltjes Measures and Differentiation of Measures
|언어=
|저널=Honam Mathematical Journal
|권=8
|호=1
|쪽=51–74
|날짜=1986-08
|issn=1225-293X
}}</ref>{{rp|53, Property 2. 2}}

=== 카라테오도리 확장 정리 ===
{{본문|카라테오도리 확장 정리}}
집합 <math>X</math> 속의 '''[[집합 반환]]'''은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math>이다.
* <math>\varnothing\in\mathcal S</math>
* (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 <math>S,T\in\mathcal S</math>에 대하여, <math>S\cap T\in\mathcal S</math>
* 임의의 <math>S,T\in\mathcal S</math>에 대하여, <math>\textstyle S\setminus T=\bigcup\mathcal F</math>인 유한 개의 [[서로소 집합]]들의 족 <math>\mathcal F\subseteq\mathcal S</math> (<math>|\mathcal F|<\aleph_0</math>)이 존재한다.

집합 <math>X</math> 속의 집합 반환 <math>\mathcal S</math> 위에 정의된, 음이 아닌 [[확장된 실수]] 값의 함수
:<math>\mu\colon\mathcal S\to[0,\infty]</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>\mu</math>를 <math>\mathcal S</math> 위의 '''준측도'''(準測度, {{llang|en|premeasure}})라고 한다.<ref name="Athreya" />{{rp|20, §1.3.1, Definition 1.3.2}}<ref name="Billingsley" />{{rp|170, §11, Problem 11.2}}
* (가산 가법성) 임의의 [[가산 집합|가산]] [[서로소 집합]] <math>\mathcal T\subseteq\mathcal S</math> (<math>|\mathcal T|\le\aleph_0</math>)에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S</math>이라면, <math>\textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)=\sum\mu(\mathcal T)</math>. (특히, <math>\mathcal T=\varnothing</math>을 생각하면 <math>\mu(\varnothing)=0</math>을 얻는다.)
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** (유한 가법성) 임의의 [[유한 집합|유한]] 서로소 집합 <math>\mathcal T\subseteq\mathcal S</math> (<math>|\mathcal T|<\aleph_0</math>)에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S</math>이라면, <math>\textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)=\sum\mu(\mathcal T)</math>. (특히, <math>\mathcal T=\varnothing</math>을 생각하면 <math>\mu(\varnothing)=0</math>을 얻는다.)
** (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 <math>\mathcal T\subseteq\mathcal S</math> (<math>|\mathcal T|\le\aleph_0</math>)에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S</math>이라면, <math>\textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)\le\sum\mu(\mathcal T)</math>

집합 <math>X</math> 속의 집합족 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\sigma(\mathcal S)</math>가 <math>\mathcal S</math>로 생성된 최소의 [[시그마 대수]]라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.
* 집합 <math>X</math>
* [[집합 반환]] <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math>
* 준측도 <math>\mu\colon\mathcal S\to[0,\infty]</math>
이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
:<math>\mu^*\colon A\mapsto\inf\left\{\sum\mu(\mathcal T)\colon\mathcal T\subseteq\mathcal S,\;|\mathcal T|\le\aleph_0,\;A\subseteq\bigcup\mathcal T\right\}</math>
'''[[카라테오도리 확장 정리]]'''에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.
* <math>\mu^*</math>는 <math>X</math> 위의 외측도이다.
* <math>\sigma(\mathcal S)\subseteq\mathcal M(\mu^*)</math>
* <math>\mu^*|_{\mathcal S}=\mu</math>
* 만약 <math>\textstyle X=\bigcup\mathcal T</math>이며 <math>\infty\not\in\mu(\mathcal T)</math>인 [[가산 집합]] <math>\mathcal T\subseteq\mathcal S</math> (<math>|\mathcal T|\le\aleph_0</math>)이 존재한다면, <math>\mu^*|_{\sigma(\mathcal S)}</math>는 <math>(\mu^*|_{\sigma(\mathcal S)})|_{\mathcal S}=\mu</math>를 만족시키는 유일한 <math>\sigma(\mathcal S)</math> 위의 [[측도]]이다.
그러나 <math>\sigma(\mathcal S)</math>보다 큰 [[시그마 대수]] 위에서 <math>\mu</math>의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

== 예 ==
=== 1차원 르베그-스틸티어스 외측도 ===
{{본문|르베그-스틸티어스 측도}}
[[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위에서, 구간들의 족
:<math>\mathcal S_1=\{(a,b]\}_{-\infty\le a\le b<\infty}\cup\{(a,\infty)\}_{-\infty\le a<\infty}\subseteq\mathcal P(\mathbb R)</math>
은 [[집합 반환]]을 이루며, <math>\mathbb R\in\mathcal S</math>이다. 또한, <math>\sigma(\mathcal S)=\mathcal B(\mathbb R)</math>이다.

임의의 [[증가 함수]] <math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>\mu_F\colon\mathcal S_1\to[0,\infty]</math>
:<math>\mu_F\colon(a,b]\mapsto F(b^+)-F(a^+)</math>
:<math>\mu_F\colon(a,\infty)\mapsto F(\infty)-F(a^+)</math>
그렇다면, <math>\mu_F</math>는 <math>\mathcal S_1</math> 위의 준측도를 이룬다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|33-34, §1.5, Problem 1.22–1.23}} 이 경우 <math>(\mathbb R,\mathcal M(\mu_F^*),\mu_F^*|_{\mathcal M(\mu_F^*)})</math> (또는 <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\mu_F^*|_{\mathcal B(\mathbb R)})</math>)를 '''[[르베그-스틸티어스 측도]]''' 공간이라고 한다.
{{증명}}
자명하게 <math>\mu_F</math>는 <math>\mu_F(\varnothing)=0</math>과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합 <math>\mathcal S\subseteq\Sigma_0</math> (<math>|\mathcal S|\le\aleph_0</math>)
이 주어졌고, <math>\textstyle\bigcup\mathcal S\in\Sigma_0</math>이라고 하자. 편의상 <math>\mathcal S</math>의 모든 원소가 유계 구간이며,
:<math>\bigcup\mathcal S=(\widetilde a,\infty)</math>
:<math>\widetilde a\in\mathbb R</math>
:<math>F(\infty)<\infty</math>
라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의 <math>[a,b]\subseteq(\widetilde a,\infty)</math> 및 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>\sum_{(c,d]\in\mathcal S}\epsilon_{(c,d]}=\epsilon</math>
인 <math>\epsilon_{(c,d]}>0</math>을 취하자. 그렇다면 <math>x\mapsto F(x^+)</math>가 [[우연속 함수]]임에 따라
:<math>F({e_{(c,d]}}^+)<F(d^+)+\epsilon_{(c,d]}\qquad\forall(c,d]\in\mathcal S</math>
인 <math>e_{(c,d]}>d</math>가 존재한다. <math>\{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in\mathcal S}</math>는 <math>[a,b]</math>의 [[열린 덮개]]를 이루며, [[하이네-보렐 정리]]에 의하여 이는 유한 부분 덮개
:<math>\{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in\mathcal F}</math>
:<math>\mathcal F\subseteq\mathcal S</math>
:<math>|\mathcal F|<\aleph_0</math>
를 갖는다. 따라서
:<math>\begin{align}
\mu_F((a,b])
& = F(b^+)-F(a^+) \\
& \le \sum_{(c,d]\in\mathcal F}(F({e_{(c,d]}}^+)-F(c^+)) \\
& \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}(F({e_{(c,d]}}^+)-F(c^+)) \\
& \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}(F(d^+)-F(c^+))+\epsilon \\
& = \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d])+\epsilon
\end{align}</math>
이다. 여기서 첫 번째 부등호는
:<math>\sup\{e_{(c_n,d_n]}\colon
n\in\mathbb Z^+,\;
(c_1,d_1],\dots,(c_n,d_n]\in\mathcal F,\;
a\in(c_1,e_{(c_1,d_1]}),\;
e_{(c_i,d_i]}\in(c_{i+1},e_{(c_{i+1},d_{i+1}]})\forall i\in\{1,\dots,n-1\}
\}>b</math>
때문이다. 여기에 <math>\epsilon\to 0</math>을 취하면
:<math>\mu_F((a,b]) \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d])</math>
를 얻으며, 다시 <math>a\to \widetilde a</math> 및 <math>b\to\infty</math>를 취하면 <math>x\mapsto F(x^+)</math>의 우연속성에 따라
:<math>\mu_F((\widetilde a,\infty)) \le \sum_{(c,d]\in\mathcal S}\mu_F((c,d])</math>
를 얻는다.
{{증명 끝}}

=== ''n''차원 르베그-스틸티어스 외측도 ===
{{본문|르베그-스틸티어스 측도}}
임의의 <math>a_1,b_1\in\mathbb R</math>에 대하여, 선형 연산자
:<math>\Delta_{n,a_1,b_1}\colon{\mathbb R}^{\mathbb R^n}\to{\mathbb R}^{\mathbb R^{n-1}}</math>
:<math>\Delta_{n,a_1,b_1}\colon F\mapsto F(b_1,\cdot)-F(a_1,\cdot)</math>
를 정의하자.

또한, 임의의 <math>a,b\in\mathbb R^n</math>에 대하여,
:<math>\Delta_{a,b}=\Delta_{1,a_n,b_n}\circ\Delta_{2,a_{n-1},b_{n-1}}\circ\cdots\circ\Delta_{n,a_1,b_1}\colon{\mathbb R}^{\mathbb R^n}\to\mathbb R</math>
라고 하자.

함수
:<math>F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>
:<math>\Delta_{a,b}F\ge 0\qquad(a_i\le b_i)</math>
가 주어졌을 때, [[집합 반환]]
:<math>\mathcal S_n=\left\{\prod_{i=1}^nS_i\colon S_i\in\mathcal S_1\right\}</math>
:<math>\mathbb R^n\in\mathcal S_n</math>
:<math>\sigma(\mathcal S_n)=\mathcal B(\mathbb R^n)</math>
위에 준측도
:<math>\mu_F\colon\prod_{i=1}^n(a_i,b_i]\mapsto\lim_{\delta_i,\epsilon_i\to 0^+}\Delta_{a+\delta,b+\epsilon}F</math>
를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 [[르베그-스틸티어스 측도]] 공간 <math>(\mathbb R^n,\mathcal M(\mu_F^*),\mu_F^*|_{\mathcal M(\mu_F^*)})</math>을 구성할 수 있다.

=== 르베그 외측도 ===
{{본문|르베그 측도}}
함수
:<math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>F\colon x\mapsto x</math>
또는
:<math>F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>
:<math>F\colon x\mapsto x_1x_2\cdots x_n</math>
에 대한 [[르베그-스틸티어스 외측도]]를 '''[[르베그 외측도]]'''라고 하며, 이에 대응하는 [[측도]]를 '''[[르베그 측도]]'''라고 한다.

=== 하우스도르프 외측도 ===
{{본문|하우스도르프 측도}}
[[하우스도르프 외측도]]는 거리 외측도이다.<ref name="Bogachev" />{{rp|1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Outer measure}}
* {{매스월드|id=OuterMeasure|제목=Outer measure}}

[[분류:측도론]]