외적 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|벡터곱|벡터끼리 곱하면 행렬을 얻게 되는 ‘외적’({{lang|en|outer product}})|벡터끼리 곱하면 벡터를 얻게 되는 ‘외적’({{lang|en|cross product}})}}

[[선형대수학]]에서 '''외적'''(外積, {{lang|en|outer product}})이란 [[유클리드 벡터|벡터]]의 [[텐서곱]]을 일컫는 말이다. 예를 들어, [[열벡터]]로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 [[행렬]]을 얻게 된다. 이 이름은 [[내적]]의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 [[스칼라]]를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

== 정의 ==
=== 행렬에서의 정의 ===
두 벡터의 외적 <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}</math>은 <math>\mathbf{u} \mathbf{v}^T</math>와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, <math>\mathbf{u}</math>은 실수공간 <math>\mathbf{R}^m</math>에서 정의되는 <math>m\times 1</math> [[열벡터]], <math>\mathbf{v}</math>는 <math>\mathbf{R}^n</math>에서 정의되는 <math>n \times 1</math> 열벡터를 말한다. 예를 들어, <math>m = 4</math>, <math>n = 3</math>인 경우                                                                                 .
:<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T =
\begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end{bmatrix}</math>
와 같이 외적을 쓸 수 있다. 

좀 더 복잡한 복소수공간 <math>\mathbf{C}^m</math>과 <math>\mathbf{C}^n</math>에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 [[전치행렬|전치연산]] <math>\mathbf{v}^T</math> 대신에 [[복소켤레전치]] <math>\mathbf{v}^\dagger</math>를 사용해
:<math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger</math>
로 정의된다.

==== 내적과의 비교 ====
만약 <math>m = n</math>이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.
:<math>\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \mathbf{v}^\dagger \mathbf{u}</math>
이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라(<math>1 \times 1</math> 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 [[유클리드 공간]]의 [[내적]]으로 알려져 있고, [[점곱]]이라 하기도 한다.

=== 추상적 정의 ===
주어진 벡터 <math>v \in V</math>와 [[코벡터]] <math>w^* \in W^*</math>의 텐서곱 <math>v \otimes w^*</math>은 [[동형사상]] <math>\mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V</math>하의 사상 <math>\ A\colon W \to V\,</math>을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 <math>w \in W</math>에 대해
:<math>A(w)\,=\,w^*(w)v</math>
로 정의된다. 여기서 <math>h>w</math>로 계산된 <math>w^*</math>로 <math>v</math>와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 <math>\ w^*\colon W \to K\,</math> 와 <math>\ v\colon K \to V\,</math> 의 합성이다.

==== 내적과의 비교 ====
만약 <math>\ W =V\,</math>이면, 코벡터 <math>w^* \in V^*</math>와 벡터 <math>v \in V</math>를 <math>V</math>와 <math>V</math>의 [[쌍대]]의 쌍대연산 <math>(w^*,v)\mapsto w^*(v)</math>를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 [[내적]]이라 불리기도 한다.
== 같이 보기 ==
* [[하우스홀더 변환]]
* [[노름]]

{{선형대수학}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:이항연산]]