완전 함자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''완전 함자'''(完全函子, {{llang|en|exact functor}})는 두 [[아벨 범주]] 사이의, [[짧은 완전열]]을 보존하는 [[함자 (수학)|함자]]이다.

== 정의 ==
[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal C</math>에서 <math>\mathcal D</math>로 가는 '''[[가법 함자]]'''({{llang|en|additive functor}})는 다음 성질을 만족시키는 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>이다.
* (가법성) 모든 대상 <math>A,B\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>F|_{\hom(A,B)}\colon\hom(A,B)\to\hom(F(A),F(B))</math>는 [[아벨 군]]의 [[군 준동형]]이다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math> 사이의 '''완전 함자'''는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>이다.
* (완전열의 보존) <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 [[짧은 완전열]] <math>0\to A\to B\to\Complex\to0</math>에 대하여, <math>0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to0</math>는 <math>\mathcal D</math> 속의 [[짧은 완전열]]을 이룬다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math> 사이의 가법 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함자를 '''왼쪽 완전 함자'''({{llang|en|left-exact functor}})라고 한다.
* <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 [[짧은 완전열]] <math>0\to A\to B\to C\to0</math>에 대하여, <math>0\to F(A)\to F(B)\to F(C)</math>는 <math>\mathcal D</math> 속의 [[완전열]]을 이룬다.
* <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 [[완전열]] <math>0\to A\to B\to C</math>에 대하여, <math>0\to F(A)\to F(B)\to F(C)</math>는 <math>\mathcal D</math> 속의 [[완전열]]을 이룬다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math> 사이의 가법 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함자를 '''오른쪽 완전 함자'''({{llang|en|right-exact functor}})라고 한다.
* <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 [[짧은 완전열]] <math>0\to A\to B\to C\to0</math>에 대하여, <math>F(A)\to F(B)\to F(C)\to0</math>는 <math>\mathcal D</math> 속의 [[완전열]]을 이룬다.
* <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 [[완전열]] <math>A\to B\to C\to0</math>에 대하여, <math>F(A)\to F(B)\to F(C)\to0</math>는 <math>\mathcal D</math> 속의 [[완전열]]을 이룬다.

== 예 ==
[[아벨 범주]]의 [[범주의 동치|동치]]는 항상 완전 함자이다.

아벨 범주 <math>\mathcal C</math>의 [[사영 대상]] <math>P\in\mathcal C</math>가 주어지면,
:<math>\hom(P,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Ab}</math>
는 완전 함자이다. 마찬가지로, [[단사 대상]] <math>I\in\mathcal C</math>가 주어지면,
:<math>\hom(-,I)\colon\mathcal C\to\operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}</math>
는 완전 함자이다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]들의 범주 <math>K-\operatorname{Vect}</math>의 경우, [[쌍대 공간]]
:<math>V^*=\hom(V,K)</math>
은 완전 함자
:<math>\hom(-,K)\colon K-\operatorname{Vect}\to K-\operatorname{Vect}^{\operatorname{op}}</math>
를 정의한다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Exact functor}}
* {{매스월드|id=ExactFunctor|title=Exact functor}}
* {{nlab|id=exact functor|title=Exact functor}}
* {{nlab|id=additive functor|title=Additive functor}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]