완전제곱식 만들기 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Completing_the_square.ogv|섬네일|완전제곱식 만들기]]
[[초등대수학]]에서 '''완전제곱식 만들기'''({{llang|en|completing the square}})는 이차 [[다항식]]을 일차 [[일계수 다항식]]의 제곱의 상수배(완전제곱식)와 상수의 합의 꼴
:<math>a(x-h)^2+k</math>
로 나타내는 기법이다.<ref name="Gelfand">{{서적 인용
|이름1=Israel M.
|성1=Gelfand
|이름2=Alexander
|성2=Shen
|제목=Algebra
|언어=en
|출판사=Birkhäuser
|위치=Boston, MA
|날짜=1993
|isbn=978-0-8176-3677-7
|zbl=0785.00001
}}</ref>{{rp|101–102}} 완전제곱식 만들기는 [[이차 방정식]]의 풀이에 사용된다.

== 정의 ==
임의의 [[복소수]] 계수 이차 [[다항식]]
:<math>f(x)=ax^2+bx+c\qquad(a,b,c\in\mathbb C,\;a\ne 0)</math>
은 항상 다음과 같이 일차 [[다항식|일계수 다항식]]의 제곱의 상수배와 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>\begin{align}f(x)
&=ax^2+bx+c\\
&=a\left(x^2+\frac{bx}a\right)+c\\
&=a\left(x^2+2\cdot\frac b{2a}\cdot x+\left(\frac b{2a}\right)^2\right)+c-\frac{b^2}{4a}\\
&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}
\end{align}</math>
이러한 기법을 흔히 '''완전제곱식 만들기'''라고 부른다.

=== 다변수 다항식 ===
<math>n</math>개의 변수 <math>x_1,x_2,\dotsc,x_n</math>에 대한 복소수 계수 이차 다변수 다항식
:<math>f(x_1,x_2,\dotsc,x_n)=x^\top Ax+b^\top x+c=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nA_{ij}x_ix_j+\sum_{k=1}^nb_kx_k+c</math>
이 주어졌다고 하자. 여기서
:<math>x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},\;b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}</math>
은 복소수 [[열벡터]]이며 (<math>b_i\in\mathbb C</math>), <math>A</math>는 [[영행렬]]이 아닌 복소수 <math>n\times n</math> [[대칭 행렬]]이며 (<math>A_{ij}=A_{ji}\in\mathbb C</math>, <math>\textstyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nA_{ij}^2\ne 0</math>), <math>^\top</math>은 [[전치 행렬]]이다. 만약 추가로 <math>A</math>가 [[가역 행렬]]이라면, <math>f(x_1,x_2,\dotsc,x_n)</math>는 새로운 변수 <math>x'=x+(1/2)A^{-1}b</math>에 대한 이차 [[동차 다항식]]과 상수의 합으로 나타낼 수 있다.
:<math>\begin{align}f(x)
&=x^\top Ax+b^\top x+c\\
&=x^\top Ax+\frac 12x^\top b+\frac 12b^\top x+\frac 14b^\top A^{-1}b+c-\frac 14b^\top A^{-1}b\\
&=x^\top A\left(x+\frac 12A^{-1}b\right)+\frac 12b^\top\left(x+\frac 12A^{-1}b\right)+c-\frac 14b^\top A^{-1}b\\
&=\left(x^\top+\frac 12b^\top A^{-1}\right)A\left(x+\frac 12A^{-1}b\right)+c-\frac 14b^\top A^{-1}b\\
&=\left(x+\frac 12A^{-1}b\right)^\top A\left(x+\frac 12A^{-1}b\right)+c-\frac 14b^\top A^{-1}b
\end{align}</math>

== 응용 ==
이차 함수를 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내어, 이차 함수의 여러 성질들을 구할 수 있다.

=== 구체적인 이차 함수의 예 ===
[[실수]] [[이차 함수]]
:<math>f(x)=x^2-2x-3</math>
을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내면 다음과 같다.
:<math>\begin{align}f(x)
&=x^2-2x-3\\
&=x^2-2x+1-4\\
&=(x-1)^2-4
\end{align}</math>
이로부터, 이 다항식의 다음과 같은 성질들을 구할 수 있다.
* 대칭축은 직선 <math>x=1</math>이다.
* [[최솟값]]은 <math>f(1)=-4</math>이다.
또한,
:<math>f(x)=0\iff(x-1)^2=4\iff x-1=\pm 2</math>
이므로, <math>f(x)</math>의 두 근은 <math>x=-1</math>과 <math>x=3</math>이다.

=== 일반적인 이차 함수 ===
더 일반적으로, 실수 이차 함수
:<math>f(x)=a(x-h)^2+k\qquad(a,h,k\in\mathbb R,\;a\ne 0)</math>
의 대칭축은 직선 <math>x=h</math>이다. <math>a>0</math>인 경우 최솟값은 <math>f(h)=k</math>이며, <math>a<0</math>인 경우 최댓값이 <math>f(h)=k</math>이다. <math>h</math>나 <math>k</math>가 변화할 때, 이 이차 함수의 [[함수의 그래프|그래프]]는 <math>h</math>가 증가하는 만큼 오른쪽으로 [[평행 이동]]하며, <math>k</math>가 증가하는 만큼 위로 평행 이동한다. 만약 <math>k>0</math>이라면, <math>f(x)</math>는 두 개의 서로 다른 실근을 가진다. 만약 <math>k=0</math>이라면, <math>f(x)</math>는 중복도가 2인 하나의 실근을 가진다. 만약 <math>k<0</math>이라면, <math>f(x)</math>는 실근을 가지지 않으며, 두 개의 서로 다른 허근을 갖는다.

<gallery mode="packed" heights="220">
파일:quartic h shift.svg|이차 함수 <math>f(x)=(x-h)^2</math>의 그래프 (<math>h=0,5,10,15</math>)
파일:quartic v shift.svg|이차 함수 <math>f(x)=x^2+k</math>의 그래프 (<math>k=0,5,10,15</math>)
파일:quartic hv shift.svg|이차 함수 <math>f(x)=(x-h)^2+k</math>의 그래프 (<math>h=k=0,5,10,15</math>)
</gallery>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{수학노트|제목=완전제곱식 만들기}}

[[분류:초등대수학]]