완전열 문서 원본 보기

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[[호몰로지 대수학]]에서 '''완전열'''(完全列, {{llang|en|exact sequence}})은 한 사상의 [[상 (수학)|상]]이 다음 사상의 [[핵 (수학)|핵]]과 일치하는, [[사상 (수학)|사상]]들과 대상들로 구성된 열이다.

== 정의 ==
[[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]을 가지는 [[범주 (수학)|범주]]에서 '''완전열'''은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.
:<math>\cdots\to A_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}A_i\xrightarrow{f_i}A_{i+1}\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+2}\to\cdots</math>
이 열이 완전열을 이루려면, 인접한 사상들 각각에 대해 뒷쪽 사상의 핵과 앞쪽 사상의 [[상 (수학)|상]]이 일치하여야 한다.
:<math>\operatorname{im}f_{i-1} = \ker f_i</math>
즉,
:<math>\operatorname{coker}f_{i-1} = A_i/\ker f_i</math>
이어야 한다.

모든 [[아벨 범주]] ([[아벨 군]]의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

== 특수한 경우 ==
[[시작 대상과 끝 대상|영 대상]] 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.
* 열 <math>0\to A\to B</math>가 완전열이라는 것은 사상 <math>A\to B</math>가 [[단사 사상]]이라는 것과 [[동치]]이다.
* 열 <math>B\to C\to 0</math>가 완전열이라는 것은 사상 <math>B\to C</math>가 [[전사 사상]]이라는 것과 [[동치]]이다.
* 열 <math>0\to A\to B\to0</math>가 완전열이라는 것은 사상 <math>A\to B</math>가 [[동형 사상]]이라는 것과 동치이다.

== 짧은 완전열 ==
[[시작 대상과 끝 대상|영 대상]] 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, '''짧은 완전열'''({{llang|en|short exact sequence}})은 다음과 같은 모양의 완전열이다.
:<math>0 \to A \xrightarrow f B \xrightarrow g C \to 0</math>
여기서, <math>f</math>는 [[단사 사상]]이며 <math>g</math>는 [[전사 사상]]이다. 이 경우, 다음과 같은 동형이 성립한다.
:<math>C\cong B/A</math>

== 예 ==
[[아벨 군]]의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각하자.
:<math>0\to\mathbb Z\xrightarrow{2\cdot}\mathbb Z\xrightarrow{\mod2}\mathbb Z/2\mathbb Z\to 0</math>
여기에서 0은 [[자명군]]이고, <math>\mathbb Z</math>에서 <math>\mathbb Z</math>로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, <math>\mathbb Z</math>에서 <math>\mathbb Z/2\mathbb Z\simeq \{0,1\}</math>은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 인접한 사상을 각각 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.
* 사상 <math>0\to \mathbb Z</math>의 상은 [[자명군]]이고, <math>\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z</math>에 대한 [[핵 (수학)|핵]](두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 <math>\mathbb Z</math>에서 열은 완전열이다.
* <math>\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z</math>의 상은 짝수의 부분군 <math>2\mathbb Z</math>이며, <math>\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z</math>의 [[핵 (수학)|핵]] 또한 짝수의 부분군 <math>2\mathbb Z</math>이다. 따라서, 두 번째 <math>\mathbb Z</math>에 대해서도 완전열이다.
* <math>\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z</math>에 대한 상은 <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>이고, 0으로 가는 상의 핵도 <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>이기 때문에, 열은 <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>에서도 완전열이다.

== 같이 보기 ==
* [[분할 완전열]]
* [[뱀 보조정리]]
* [[지그재그 보조정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Exact sequence}}
* {{매스월드|id=ExactSequence|title=Exact sequence}}
* {{매스월드|id=ShortExactSequence|title=Short exact sequence}}
* {{매스월드|id=LongExactSequence|title=Long exact sequence}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:가법적 범주]]