완비 원순서 집합 문서 원본 보기

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[[순서론]]에서 '''완비 원순서 집합'''({{llang|en|complete preordered set}}, 약자 cpo)은 모든 [[사슬 (순서론)|사슬]]이 [[상한]]을 갖는 [[원순서 집합]]이다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 <math>P</math>를 '''완비 원순서 집합'''이라고 한다.
* 모든 [[사슬 (순서론)|사슬]]의 [[상한]]이 존재한다.
* 모든 [[정렬 전순서 집합|정렬]] [[사슬 (순서론)|사슬]]의 [[상한]]이 존재한다.
* [[최소 원소]]를 가지며, 모든 [[상향 집합]]의 [[상한]]이 존재한다.
* [[최소 원소]]를 가지며, 표준적인 매장 <math>\downarrow\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)</math>는 ([[얇은 범주|얇은]] [[작은 범주]] 사이의 [[함자 (수학)|함자]]로 여겼을 때) [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다.
* 임의의 [[순서 보존 함수]] <math>f\colon P\to P</math>의 [[고정점]] 집합 <math>\{a\in P\colon a\sim f(a)\}</math>은 [[최소 원소]]를 갖는다.<ref name="Gierz">{{서적 인용
|이름1=Gerhard
|성1=Gierz
|이름2=Karl
|성2=Hofmann
|이름3=Klaus
|성3=Keimel
|이름4=Jimmie
|성4=Lawson
|이름5=Michael
|성5=Mislove
|이름6=Dana S.
|성6=Scott
|저자링크6=데이나 스콧
|제목=Continuous lattices and domains
|언어=en
|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
|권=93
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-80338-0
|doi=10.1017/CBO9780511542725
|mr=1975381
|zbl=1088.06001
}}</ref>{{rp|20–21, Exercise O-2.20, Exercise O-2.21(iv)}}

완비 원순서 집합에서, [[주 순서 아이디얼]] <math>\downarrow\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)</math>의 [[왼쪽 수반 함자]]는 [[순서 아이디얼]]의 [[상한]]
:<math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P</math>
:<math>{\bigvee}\dashv{\downarrow}</math>
이다.

보다 일반적으로, [[순서수]] <math>\alpha</math>가 주어졌을 때, [[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>이 다음 조건을 만족시키면, <math>P</math>를 '''<math>\alpha</math>-완비 원순서 집합'''({{llang|en|<math>\alpha</math>-complete preordered set}})이라고 한다.
* 순서형 <math>\alpha</math> 미만의 모든 [[정렬 전순서 집합|정렬]] [[사슬 (순서론)|사슬]]의 [[상한]]이 존재한다.

두 완비 원순서 집합 <math>P</math>, <math>Q</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon P\to Q</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 완비 원순서 집합의 '''사상'''이라고 한다.
* [[사슬 (순서론)|사슬]]의 [[상한]]을 보존한다. 즉, 임의의 [[사슬]] <math>C\subseteq P</math>에 대하여, <math>f\left(\bigvee C\right)=\bigvee f(C)</math>
* [[최소 원소]]를 보존하며, [[상향 집합]]의 [[상한]]을 보존한다. 즉, <math>f(\bot_P)=\bot_Q</math>이며, 임의의 [[상향 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여 <math>f\left(\bigvee D\right)=\bigvee f(D)</math>.
* [[정의역]]과 [[공역]] 위에 [[스콧 위상]]을 부여하였을 때, [[연속 함수]]이다.
완비 원순서 집합의 사상은 항상 [[순서 보존 함수]]이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

== 성질 ==
모든 완비 원순서 집합은 [[닫힌 원순서 집합]]이다. 따라서 [[초른 보조정리]]를 적용할 수 있다.

[[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 완비 원순서 집합이다.
* [[완비 격자]]이다.
즉, 완비 원순서 집합은 [[완비 격자]]의 개념을 일반화한다.

=== 고정점 ===
완비 원순서 집합 <math>(P,\lesssim)</math> 위의 [[순서 보존 함수]] <math>f\colon P\to P</math>의 [[고정점]] 집합 <math>\{a\in P\colon a\sim f(a)\}</math>은 완비 원순서 집합이다. 이는 [[타르스키 고정점 정리]]를 일반화한다.

완비 원순서 집합 <math>(P,\lesssim)</math> 위의 [[순서 보존 함수]]들의 집합 <math>(f_i\colon P\to P)_{i\in I}</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:<math>\forall i\in I\forall a\in P\colon a\le f_i(a)</math>
그렇다면, <math>(f_i)_{i\in I}</math>는 [[최소 원소|최소]] 공통 [[고정점]]을 갖는다.<ref name="Gierz" />{{rp|21, Exercise O-2.22}}

=== 범주론적 성질 ===
완비 원순서 집합과 그 사상의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Cpo}</math>는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=dcpo}}
* {{웹 인용
|url=https://mathoverflow.net/questions/15751/filter-closed-vs-chain-closed
|제목=Filter-closed vs. chain-closed
|언어=en
|웹사이트=MathOverflow
}}
* {{웹 인용
|url=https://math.stackexchange.com/questions/2727480/cofinal-chains-in-directed-sets
|제목=Cofinal chains in directed sets
|언어=en
|웹사이트=MathOverflow
}}

[[분류:순서론]]