완비화 (환론) 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''완비화'''(完備化, {{llang|en|completion}})는 [[형식적 멱급수]]를 취하는 연산의 일반화이며, 대략 어떤 [[양쪽 아이디얼]]을 형식적 변수처럼 생각하여 이에 대한 형식적 멱급수를 추가하는 연산이다.

== 정의 ==
(곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math>와 그 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a\vartriangleleft R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 [[몫환]]들을 정의할 수 있다.
:<math>0=R/R=R/\mathfrak a^0\leftarrow R/\mathfrak a\leftarrow R/\mathfrak a^2\leftarrow R/\mathfrak a^3\leftarrow\cdots</math>
<math>R</math>의, <math>\mathfrak a</math>에 대한 '''완비화''' <math>\hat R_{\mathfrak a}</math>는 이 몫환들의 ([[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>에서의) [[극한 (범주론)|극한]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | 출판사=Springer-Verlag|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|319}} (만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 이는 [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>에서 생각하여도 좋다. 이는 <math>\operatorname{CRing}</math>이 <math>\operatorname{Ring}</math>의 [[반사 부분 범주]]이기 때문이다.) 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:<math>\hat R_{\mathfrak a}=\left\{(r_0,r_1,r_2,\dots)\in\prod_{i=0}^\infty R/\mathfrak a^i\colon
r_i\equiv r_{i+1}\mod\mathfrak a^i\quad\forall i\in\mathbb N\right\}</math>
이에 대하여 자연스러운 [[환 준동형]]
:<math>R\to\hat R_{\mathfrak a}</math>
:<math>r\mapsto(r+R,r+\mathfrak a,r+\mathfrak a^2,\dots)</math>
가 존재한다.

만약 표준적 [[환 준동형]] <math>R\to\hat R_{\mathfrak a}</math>가 [[동형 사상]]이라면, <math>R</math>가 <math>\mathfrak a</math>-'''완비환'''({{llang|en|<math>\mathfrak a</math>-adically complete ring}})이라고 한다.

== 성질 ==
[[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>에 대한 <math>\mathfrak a</math>-완비환 <math>R</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>\mathfrak a\subseteq\operatorname{rad}R</math><ref name="Lam"/>{{rp|320, Remark 21.30}}
* <math>R/\operatorname{rad}R</math>의 임의의 [[멱등원]] <math>\bar e\in R/\operatorname{rad}R</math>에 대하여, <math>e+\operatorname{rad}R=\bar e</math>가 되는 <math>R</math>의 [[멱등원]] <math>e\in R</math>가 존재한다.<ref name="Lam"/>{{rp|320, Theorem 21.30}}

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>를 0이 아닌 [[소 아이디얼]] <math>(p)</math>에서 완비화하면 [[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>를 얻는다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[다항식환]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>을 [[극대 아이디얼]] <math>(x_1,\dots,x_n)</math>에서 완비화하면 [[형식적 거듭제곱 급수]]환 <math>K[[x_1,\dots,x_n]]</math>을 얻는다.

== 같이 보기 ==
* [[형식적 스킴]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=0-387-94268-8|mr=1322960|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Separable completion of a ring}}
* {{nlab|id=completion of a ring|title=Completion of a ring}}

[[분류:환론]]