올적분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서, '''올적분'''(-積分, {{llang|en|fiber integration}}, {{lang|en|integration along fibers}})은 [[미분 형식]] 및 [[드람 코호몰로지]]에 대하여 정의되는, [[올다발]]의 전체 공간 위의 미분 형식 또는 [[코호몰로지류]]를 그 밑공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류에 대응시키는 사상이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>B</math> 위의 [[매끄러운 올다발]] <math>\pi \colon E\twoheadrightarrow B</math>. 또한, 그 올이 <math>m</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체]]라고 하자.
* [[미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega^{k+m}(E)</math>
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\beta_{v_1,\dotsc,v_k} \in \Omega^m(\pi^{-1}(\pi(e)))\qquad\forall e\in E,\;v_1,\dotsc,v_k \in \mathrm T_eE</math>
:<math>\beta_{v_1,\dotsc,v_k}(w_1,\dotsc,w_m) = \alpha(w_1,\dotsc,w_m,v_1,\dotsc,v_k)</math>
:<math>\pi_!\alpha \in \Omega^k(B)</math>
:<math>(\pi_!\alpha)(v_1,v_2,\dotsc,v_k) = \int_{\pi^{-1}(b)}\beta_{v_1,\dotsc,v_k}\qquad\forall e\in E,\;v_1,\dotsc,v_k \in \mathrm T_eE</math>
[[스토크스 정리]]에 따라서, 올이 (경계가 없는) [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]]이므로, 이는 [[드람 코호몰로지]]의 사상
:<math>\pi_! \colon \operatorname H^{\bullet+m}(E;\mathbb R) \to \operatorname H^\bullet(B;\mathbb R)</math>
을 정의한다. 이를 미분 형식 또는 드람 [[코호몰로지류]]의 '''올적분'''이라고 한다.

== 예 ==
함수 공간
:<math>E = \mathcal C^\infty(X,Y)</math>
을 생각하고, <math>\dim X = n</math>이라고 하고, <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 자연스러운 함수
:<math>\operatorname{ev} \colon E \times X \to Y</math>
가 존재한다. 이 경우, <math>Y</math> 위의 <math>k</math>차 미분 형식
:<math>\alpha = \alpha_{i_1\dotso i_k} \mathrm dy^{i_1} \wedge\dotso\wedge\mathrm dy^{i_k}</math>
가 주어졌다면,
:<math>\operatorname{ev}^*\alpha|_{f,x} 
=\alpha_{i_1\dotso i_k}(f(x)) (\mathrm df(x)^{i_1}
+ \partial_{\mu_1}\phi^{i_1}\mathrm dx^{\mu_1}
)\wedge 
(\mathrm df(x)^{i_k}
+ \partial_{\mu_k}\phi^{i_k}\mathrm dx^{\mu_k}
)\in \Omega^k(E \times X)
</math>
를 정의할 수 있다. 올적분을 취하여, <math>E</math> 위의 <math>k-n</math>차 미분 형식을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\int_X
\alpha_{i_1\dotso i_k}(f(x))
\partial_{\mu_1}\phi^{i_1}\mathrm dx^{\mu_1}
\wedge
\dotsb
\wedge
\partial_{\mu_n}\phi^{i_n}\mathrm dx^{\mu_n}
\wedge 
\mathrm df(x)^{i_{1+n}}
\wedge
\dotsb
\wedge
\mathrm df(x)^{i_k}\in \Omega^{k-\dim X}(E)</math>

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=fiber integration|title=Fiber integration}}
* {{nlab|id=transgression|title=Transgression}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:호몰로지 이론]]