오퍼라드 대수 문서 원본 보기

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[[오퍼라드 이론]]에서 '''오퍼라드 대수'''(operad代數, {{llang|en|operad algebra}})는 어떤 [[오퍼라드]]가 나타내는 공리들을 만족시키는, 어떤 [[대칭 모노이드 범주]] 속의 구조이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[대칭 모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes,1)</math>
* <math>\mathcal C</math> 속의 [[오퍼라드]] <math>P=(P(n))_{n\in\mathbb N}</math>
그렇다면, <math>P</math> 위의 '''대수'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 대상 <math>X\in\mathcal C</math>
* 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 사상 <math>P(n)\otimes X^{\otimes n}\to X</math>
이는 <math>P</math>의 구조(항등 연산 · 변수 치환 · 연산 합성)와 적절한 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

=== 닫힌 대칭 모노이드 범주의 경우 ===
[[닫힌 모노이드 범주|닫힌]] [[대칭 모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes,\hom)</math>의 경우, 약간 다른 정의가 가능하다. 이 경우, 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, 자명한 오퍼라드 <math>\operatorname{Op}(X)</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* <math>\operatorname{Op}(X)</math>의 <math>n</math>항 연산은 내부 준동형사상 대상 <math>\hom(X^{\otimes n},X)</math>이다.
* 연산의 합성은 <math>\otimes</math>의 결합성으로부터 유도된다.
이 경우, <math>(\mathcal C,\otimes)</math>에 대한 오퍼라드 <math>P</math> 위의 '''대수'''({{llang|en|algebra over <math>P</math>}}) <math>(X,\phi)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>X\in\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상이다.
* <math>\phi</math>는 오퍼라드 사상 <math>P\to\operatorname{Op}(X)</math>이다.

== 예 ==
체 <math>K</math> 위의 벡터 공간의 [[대칭 모노이드 범주]] <math>(\operatorname{Vect}_K,\otimes,K)</math>를 생각하자. 그 속의 오퍼라드 <math>\operatorname{Ass}</math> 위의 대수는 <math>K</math>-[[결합 대수]]이다.

마찬가지로, [[A∞-대수]]는 [[A∞-오퍼라드]] 위의 대수이다.

== 같이 보기 ==
* [[L∞-대수]]
== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=algebra over an operad|title=Algebra over an operad}}
* {{nlab|id=category over an operad|title=Category over an operad}}

[[분류:대수]]