오퍼라드 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수학]]과 [[대수적 위상수학]]에서 '''오퍼라드'''({{llang|en|operad}})는 [[연산 (수학)|이항 연산]]을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다.<ref name="Stasheff">{{저널 인용|제목=What is … an operad?|이름=Jim|성=Stasheff|저널=Notices of the American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/notices/200406/what-is.pdf|권=51|호=6|쪽=630–631|날짜=2004-06|zbl=1151.18301|언어=en}}</ref><ref name="May">{{서적 인용|장url=http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|장=Operads, algebras and modules|이름=J. Peter|성=May|zbl=0879.18001|제목=Operads: proceedings of renaissance conferences|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-0513-8|총서=Contemporary Mathematics|권=202|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=CONM-202|날짜=1997|쪽=15–31|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Operads and PROPs|이름=Martin|성=Markl|arxiv=math/0601129|bibcode=2006math......1129M|제목=Handbook of algebra, volume 5|doi=10.1016/S1570-7954(07)05002-4|날짜=2008-03|쪽=87–140|isbn=978-0-444-53101-8 |zbl=1211.18007|언어=en}}</ref> 대수적 대상의 (반)가환성과 [[결합법칙|결합성]] 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

==정의==
[[자연수]]를 음이 아닌 [[정수]]로 정의하자. [[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes,1_\otimes)</math>에서, 대상 <math>C\in\mathcal C</math>의 원소는 사상 <math>1_\otimes\to C</math>로 정의하자.

[[대칭 모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes,1_\otimes)</math>에서의 '''오퍼라드''' <math>(P,\circ,1_P)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* (연산 집합) 모든 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>P(n)\in\mathcal C</math>. <math>P(n)</math>의 원소를 각각 '''<math>n</math>-항 연산'''({{llang|en|''n''-ary operation}})이라고 한다.
* (항등 연산) <math>P(1)</math>의 원소 <math>1_P\in P(1)</math>. 이를 '''항등 연산'''({{llang|en|unit}})이라고 한다.
* (변수의 치환) 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[군 준동형]] <math>*\colon \operatorname{Sym}(n)\to\operatorname{Aut}_{\mathcal C}(P(n),P(n))</math>. 여기서 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이다.
* (연산의 합성) 자연수 <math>n,n_1,n_2,\dots,n_n\in\mathbb N</math>에 대해, 함수들
::<math>\begin{matrix}
P(n)\otimes P(n_1)\otimes\cdots\otimes P(n_n)&\to&P(n_1+\cdots+n_n)\\
(\theta,\theta_1,\ldots,\theta_n)&\mapsto&\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n)
\end{matrix}</math>
이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.
* ([[결합법칙]])  모든 <math>\theta\in P(n)</math>, <math>\theta_i\in P(n_i)</math>, <math>\theta_{i,j(i)}\in P(n_{i,j(i)})</math>에 대하여 (<math>i=1,\dots,n</math>, <math>j(i)\colon1,\dots,n_i</math>),
::<math>\theta\circ(\theta_1\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,n_1}),\ldots,\theta_n\circ(\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,n_n}))
=(\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,n_1},\ldots,\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,n_n})
</math>
* (항등원의 성질) 모든 <math>\theta\in P(n)</math>에 대하여,
::<math>\theta\circ(\overbrace{1,\ldots,1}^n)=\theta=1\circ\theta</math>
* (치환의 작용) 모든 <math>\theta\in P(n)</math> 및 <math>\theta_i\in P(n_i)</math> (<math>i=1,\dots,n</math>) 및 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(n)</math>에 대하여,
::<math>(\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n))*\sigma=\theta\circ(\theta_{\sigma(1)},\dots,\theta_{\sigma(n)})</math>
* (치환의 작용) 모든 <math>\theta\in P(n)</math> 및 <math>\theta_i\in P(n_i)</math> 및 [[순열]] <math>\sigma_1\in\operatorname{Sym}(n_i)</math> (<math>i=1,\dots,n</math>)에 대하여,
::<math>(\theta\circ(\theta_1*\sigma_1,\dots,\theta_n*\sigma_n))=\left(\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n)\right)*\iota(\sigma_1,\dots,\sigma_n)</math>
:여기서 <math>\iota\colon\prod_{i=1}^n\operatorname{Sym}(n_i)\hookrightarrow\operatorname{Sym}(\sum_{i=1}^nn_i)</math>는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 [[대칭 모노이드 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 두 오퍼라드 <math>(P,\circ_P,1_P)</math>, <math>(Q,\circ_Q,1_Q)</math> 사이의 '''사상''' <math>f\colon P\to Q</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 사상 <math>f(n)\colon P(n)\to Q(n)</math>.
이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.
* (연산 합성의 보존) 모든 <math>(\theta,\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)\in P(n)\times P(n_1)\times P(n_2)\times\cdots\times P(k_n)</math>에 대하여,
::<math>f(\theta\circ_P(\theta_1,\ldots,\theta_n))=f(\theta)\circ_Q(f(\theta_1),\ldots,f(\theta_n))</math>
* (항등원의 보존) <math>f(1_P)=1_Q</math>
* (대칭군의 작용의 보존)

이에 따라, <math>\mathcal C</math>에서의 오퍼라드들은 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C\operatorname{-Operad}</math>를 이룬다.

=== 오퍼라드의 모나드 ===
집합의 [[데카르트 닫힌 범주]] <math>\operatorname{Set}</math> 속의 오퍼라드 <math>(P,\circ_P,1_P)</math>가 주어지면, 이로부터 <math>\operatorname{Set}</math> 위의 [[모나드 (범주론)|모나드]] <math>\hat P\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 <math>S</math>는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, <math>\hat P(S)</math>는 <math>P</math>와 <math>S</math>를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, [[자연 변환]] <math>\hat P\hat P\implies\hat P</math>는 <math>P</math>의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

=== 오퍼라드 대수 ===
{{본문|오퍼라드 대수}}
오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 [[대칭 모노이드 범주]] 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 '''[[오퍼라드 대수]]'''라고 한다.

== 예 ==
=== 자기준동형 오퍼라드 ===
<math>(\mathcal C,\otimes,1)</math>가 국소적으로 작은 [[대칭 모노이드 범주]]라고 하고, 그 속에 대상 <math>X\in\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 '''자기준동형 오퍼라드'''({{llang|en|endomorphism operad}}) <math>\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)</math>는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.<ref name="Stasheff"/>
* 각 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)(n)=\hom_{\mathcal C}(X^n,X)</math>
* <math>1_{\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)}=\operatorname{id}_X</math>
* 각 <math>\theta,\theta_1,\dots,\theta_n</math>에 대하여,
::<math>\theta\circ(\theta_1,\dots,\theta_n)=\theta\circ\otimes_{i=1}^n\theta_i</math>

=== 초입방체 오퍼라드 ===
양의 정수 <math>k</math>에 대하여, '''<math>k</math>차원 초입방체 오퍼라드'''({{llang|en|''n''-cubes operad}}) <math>C_k</math>는 다음과 같다.<ref name="Stasheff"/>
* <math>C_k(n)</math>은 <math>n</math>개의 <math>k</math>차원 초입방체 <math>\square_1,\dots,\square_n</math>를 하나의 <math>k</math>차원 초입방체 <math>\square</math>에 서로 겹치지 않고, <math>\square_i</math>의 면들이 <math>\square</math>의 면들과 서로 평행하게 [[매장 (수학)|매장]]하는 방법들이다.
* <math>C_k</math>의 항등원은 초입방체 <math>\square</math> 위의 [[항등 함수]]이다.
* <math>C_k</math>에서, <math>\theta\colon\square_1\sqcup\cdots\sqcup\square_n\hookrightarrow\square</math>와 <math>\theta_i\colon\square_{i,1}\sqcup\cdots\sqcup\square_{i,n_i}\hookrightarrow\square_i</math> (<math>i=1,\dots,n</math>)의 합성은 매장을 합성하여, <math>\theta_{i,j}</math>를 <math>\theta</math> 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

=== 결합법칙 오퍼라드 ===
벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 <math>\operatorname{Vect}_K</math> 위에서 다음과 같은 오퍼라드 <math>\operatorname{Assoc}_K</math>를 정의하자.
* <math>\operatorname{Assoc}_K</math>의 <math>n</math>항 연산은 <math>n!</math>차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>\operatorname{Span}_K\operatorname{Sym}(n)</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 크기가 <math>n!</math>인 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이다.
* <math>\operatorname{Sym}(n)</math>의 작용은 군 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
* <math>\operatorname{Assoc}_K</math>의 연산의 합성은 군 준동형
::<math>\operatorname{Sym}(n_1)\times\cdots\times\operatorname{Sym}(n_k)\to\operatorname{Sym}(n_1+\cdots+n_k)</math>
:의 선형 확장이다.
이 경우, <math>\operatorname{Assoc}_K</math> 위의 대수는 [[대수 (환론)|결합 <math>K</math>-대수]]이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

== 역사와 어원 ==
[[존 피터 메이]]({{llang|en|Jon Peter May}})<ref>{{서적 인용
 |이름       = J. P.
 |성          = May
 |날짜       = 1972
 |publisher    = Springer
 |제목       = The geometry of iterated loop spaces
 |isbn         = 978-3-540-05904-2
 |url          = http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKSMaster.html
 |언어       = en
 |zbl          = 0244.55009
 |doi          = 10.1007/BFb0067491
 |총서       = Lecture Notes in Mathematics
 |권          = 271
 |issn         = 0075-8434
 |확인날짜 = 2014-10-15
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20150707062109/http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKSMaster.html
 |보존날짜 = 2015-07-07
 |url-status = dead
}}</ref>와 마이클 보드먼({{llang|en|J. Michael Boardman}}), 라이너 폭트({{llang|de|Rainer M. Vogt}})<ref>{{서적 인용 | 성 = Boardman | 이름 = J. Michael  | 공저자 = Rainer M. Vogt | 날짜 = 1973 | 제목 = Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces | 권 = 347 | 총서 = Lecture Notes in Mathematics | issn=0075-8434 | 출판사 = Springer | isbn =  978-3-540-06479-4 | zbl=0285.55012 | doi=10.1007/BFb0068547 | 언어=en}}</ref> 가 [[호모토피 이론]]에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다.<ref name="May"/> 메이에 따르면, "오퍼라드"({{llang|en|operad|오퍼래드}})는 {{llang|en|operation|오퍼레이션}}(연산)과 {{llang|en|monad|모내드}}([[모나드 (범주론)|모나드]])의 합성어이다.
{{인용문2|
‘오퍼라드’라는 이름은 내가 일주일 동안 이것만을 생각하여 고안해 낸 용어이다. 이름이 근사하게 들리는 것 말고도, 이는 ‘연산’({{llang|en|operation|오퍼레이션}})과 ‘[[모나드 (범주론)|모나드]]’가 연상되게 한 것이다. 덧붙이자면, 나는 [[손더스 매클레인|매클레인]]에게 […] ‘트리플’({{llang|en|triple}}) 대신 ‘[[모나드 (범주론)|모나드]]’를 사용하도록 설득하였다. 나는 오퍼라드의 개념이 중요하다는 것을 확신하였고, 용어들이 서로 호환되기를 바랐다.
<br>{{lang|en|The name “operad” is a word that I coined myself, spending a week thinking about nothing else. Besides having a nice ring to it, the name is meant to bring to mind both operations and monads. Incidentally, I persuaded MacLane to discard the term “triple” in favor of “monad” […]. I was convinced that the notion of an operad was an important one, and I wanted the names to mesh.}}
|<ref name="May"/>
}}

이후 [[막심 콘체비치]]가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

== 응용 ==
수학에서, 오퍼라드의 개념은 [[대수 (환론)|결합 대수]], [[가환환|가환]] [[결합 대수]], [[리 대수]], [[거스틴해버 대수]], [[강한 호모토피 대수]](strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 [[양자장론]] · [[끈 이론]] 등을 다룰 때에도 쓰인다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Higher operads, higher categories|이름=Tom|성=Leinster|arxiv=math/0305049|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~tl/hohc/|bibcode=2003math......5049L|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=298|isbn=978-052153215-0|날짜=2004-08|출판사=Cambridge University Press|doi=10.1017/CBO9780511525896|zbl=1160.18001|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Operads in algebra, topology and physics|날짜=2002|이름=Martin|성=Markl|공저자=Steve Shnider, Jim Stasheff|isbn=978-0-8218-4362-8|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=96|출판사=American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=SURV-96-S|zbl=1017.18001|언어=en}}
* {{서적 인용|arxiv=1202.3245|장=Algebra + homotopy = operad|이름=Bruno|성=Vallette|날짜=2012|bibcode=2012arXiv1202.3245V|제목=Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry|총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|권=62|날짜=2014|쪽=101–162|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/operad|제목=Operad|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1101.0267|제목=Encyclopedia of types of algebras 2010|이름=Guillaume W.|성=Zinbiel|날짜=2010|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[A∞-오퍼라드]]

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:범주론]]