오차 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|오차 방정식||차수가 5인 다항 함수}}
[[파일:Erf_plot.svg|섬네일|오른쪽|325px|오차함수의 그래프]]

'''오차 함수'''(誤差函數, error function)는 [[확률론]], [[통계학]], [[편미분 방정식]] 등에서 사용하는 비[[초등 함수]]이다. '''가우스 오차 함수'''라고도 하며 다음과 같이 정의한다.

:<math>\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>
오른쪽 항을 [[테일러 급수]]로 전개하여 적분하면 모든 [[실수]] ''x''에 대해 다음과 같은 식을 얻는다.
:<math>\begin{align}

\operatorname{erf}(x)&= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} \\

&=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

\end{align}

</math>

[[파일:Erfc_plot.svg|섬네일|오른쪽|325px|여오차 함수 그래프]]

'여오차 함수(餘誤差函數)'는 erfc라고 쓰며 오차 함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

:<math>\mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>

'복소오차 함수'는 ''w''(''x'')라고 쓰며 오차함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

:<math>w(x) = e^{-x^2}{\textrm{erfc}}(-ix)</math>

== 정규 분포와의 관계 ==
오차함수는 [[정규 분포]]의 [[누적분포함수]]와 본질적으로 동일하다. Φ라고 쓰며 상수배하거나 평행이동하는 차이밖에 없다.
: <math>\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1+\mbox{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]</math>

정규 분포가 확률론 및 통계학오차함수 역시 자주 사용된다.

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}

* [http://mathworld.wolfram.com/Erf.html MathWorld - Erf]
{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:통계학]]
[[분류:해석 함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]
[[분류:가우스 함수]]