오일러 삼각형 정리 문서 원본 보기

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[[파일:오일러의_정리.png|섬네일|550px|오일러 삼각형 정리와 그에 필요한 보조선, 보조점들]]
[[기하학]]에서 '''오일러 삼각형 정리'''({{lang|de|Euler}}三角形定理, {{llang|en|Euler's triangle theorem}})는 [[삼각형]]의 [[외심]]과 [[내심]] 사이의 거리를 [[외접원]]과 [[내접원]]의 반지름을 통해 나타내는 정리이다.

== 정의 ==
주어진 삼각형의 [[외접원]]의 반지름을 <math>R</math>, [[내접원]]의 반지름을 <math>r</math>라고 하고, 외심과 내심 사이의 거리를 <math>d</math>라고 하자. '''오일러 삼각형 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>d^2=R(R-2r)</math>
특히, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:<math>R\ge 2r</math>
이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 [[정삼각형]]이다.

== 증명 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 외심을 <math>O</math>, 내심을 <math>I</math>라고 하고, <math>I</math>를 지나는 외접원의 지름을 <math>XY</math>라고 하자. <math>\angle A</math>의 이등분선의 연장선과 외접원의 교점을 <math>M</math>이라고 하고, <math>MO</math>의 연장선과 외접원의 교점을 <math>D</math>라고 하자. <math>I</math>를 지나는 <math>AC</math>의 수선의 발을 <math>E</math>라고 하자. 그렇다면 [[방멱 정리]]에 의하여
:<math>AI\cdot IM=XI\cdot YI=(R-d)(R+d)=R^2-d^2</math>
이며, 또한 [[맨션 정리]]에 의하여 <math>BM=IM</math>이다. 삼각형 <math>AEI</math>와 <math>DBM</math>을 생각할 때, 호 <math>BM</math>의 원주각의 성질에 의하여
:<math>\angle BDM=\angle BAM=\angle EAI</math>
이고, <math>DM</math>은 지름이므로
:<math>\angle DBM=90^\circ=\angle AEI</math>
이다. 따라서 이 두 삼각형은 서로 [[닮음 (기하학)|닮음]]이며, 특히
:<math>AI\cdot BM=DM\cdot EI=2Rr</math>
가 성립한다. 이 결과들을 연립하면
:<math>R^2-d^2=2Rr</math>
를 얻는다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=EulerTriangleFormula|title=Euler triangle formula}}

[[분류:삼각형과 원에 대한 정리]]
[[분류:기하부등식]]