오일러 거듭제곱 합 추측 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''오일러 거듭제곱 합 추측'''({{llang|en|Euler's sum of powers conjecture}})은 [[페르마의 마지막 정리]]를 일반화하는 추측의 하나였으며, 거짓임이 증명되었다. [[레온하르트 오일러]]가 1769년 제안했었다.<ref name="Elkies1988">{{저널 인용|last=Elkies |first=Noam |year=1988 |title=On ''A''<sup>4</sup> + ''B''<sup>4</sup> + ''C''<sup>4</sup> = ''D''<sup>4</sup> |journal=Mathematics of Computation |doi=10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 |mr=0930224 |jstor=2008781 |volume=51 |issue=184 |pages=825–835 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1988-51-184/S0025-5718-1988-0930224-9/S0025-5718-1988-0930224-9.pdf |format=PDF}}</ref><ref name="autogenerated446">{{저널 인용|last1=Lander |first1=L. J. |last2=Parkin |first2=T. R. |last3=Selfridge |first3=J. L. |year=1967 |title=A Survey of Equal Sums of Like Powers |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1967-07_21_99/page/446 |journal=Mathematics of Computation |doi=10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 |jstor=2003249 |volume=21 |issue=99 |pages=446–459 }}</ref>
이는 1보다 큰 모든 [[정수]] {{mvar|n}}과 {{mvar|k}}에 대해 {{mvar|n}}개의 양의 정수의 {{mvar|k}}번째 거듭제곱의 합이 그 자체로 {{mvar|k}}번째 거듭제곱이면 {{mvar|n}}은 {{mvar|k}}보다 크거나 같다는 추측이다.

<math display=block>a_1^k + a_2^k + \dots + a_n^k = b^k \implies n \ge k</math>

이 추측은 [[페르마의 마지막 정리]]를 일반화하려는 시도이다. 특별한 경우로 {{math|''n'' {{=}} 2}}: if <math>a_1^k + a_2^k = b^k,</math> 라면 {{math|2 ≥ ''k''}}이 페르마의 마지막 정리에 해당한다.

이 추측은 {{math|''k'' {{=}} 3}}인 경우(페르마의 마지막 정리에서 세제곱인 경우)에는 성립하지만, {{math|''k'' {{=}} 4}}와 {{math|''k'' {{=}} 5}}인 경우에는 반증되었다. {{math|''k'' ≥ 6}}인 경우에 이 추측이 실패하는지, 성립하는지는 알려지지 않았다.

== 일반화 ==
=== {{math|''k'' {{=}} 3}} ===
::{{math|3{{sup|3}} + 4{{sup|3}} + 5{{sup|3}} {{=}} 6{{sup|3}}}} ([[플라토의 수]] 216)

=== {{math|''k'' {{=}} 4}} ===
::{{math|95800<sup>4</sup> + 217519<sup>4</sup> + 414560<sup>4</sup> {{=}} 422481<sup>4</sup>}} (R. Frye, 1988)<ref name="Elkies1988"/>

::{{math|30<sup>4</sup> + 120<sup>4</sup> + 272<sup>4</sup> + 315<sup>4</sup> {{=}} 353<sup>4</sup>}} (R. Norrie, 1911)<ref name="autogenerated446"/>

=== {{math|''k'' {{=}} 5}} ===
::{{math|27<sup>5</sup> + 84<sup>5</sup> + 110<sup>5</sup> + 133<sup>5</sup> {{=}} 144<sup>5</sup>}} (Lander & Parkin, 1966)

::{{math|19<sup>5</sup> + 43<sup>5</sup> + 46<sup>5</sup> + 47<sup>5</sup> + 67<sup>5</sup> {{=}} 72<sup>5</sup>}} (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)<ref name="autogenerated446"/>

::{{math|7<sup>5</sup> + 43<sup>5</sup> + 57<sup>5</sup> + 80<sup>5</sup> + 100<sup>5</sup> {{=}} 107<sup>5</sup>}} (Sastry, 1934, third smallest)<ref name="autogenerated446"/>

=== {{math|''k'' {{=}} 7}} ===
::{{math|127<sup>7</sup> + 258<sup>7</sup> + 266<sup>7</sup> + 413<sup>7</sup> + 430<sup>7</sup> + 439<sup>7</sup> + 525<sup>7</sup> {{=}} 568<sup>7</sup>}} (M. Dodrill, 1999){{출처|날짜=2017-01-01}}

=== {{math|''k'' {{=}} 8}} ===
::{{math|90<sup>8</sup> + 223<sup>8</sup> + 478<sup>8</sup> + 524<sup>8</sup> + 748<sup>8</sup> + 1088<sup>8</sup> + 1190<sup>8</sup> + 1324<sup>8</sup> {{=}} 1409<sup>8</sup>}} (S. Chase, 2000){{출처|날짜=2017-01-01}}

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* Tito Piezas III, [http://sites.google.com/site/tpiezas/Home/ A Collection of Algebraic Identities] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20111001021837/http://sites.google.com/site/tpiezas/Home/}}
* Jaroslaw Wroblewski, [http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/ Equal Sums of Like Powers]
* Ed Pegg Jr., [https://web.archive.org/web/20080410224256/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_13_06.html Math Games, Power Sums]
* James Waldby, [http://pat7.com/jp/s515-10007-t A Table of Fifth Powers equal to a Fifth Power (2009)]
* R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, [https://arxiv.org/abs/1108.0462 All solutions of the Diophantine equation ''a''<sup>6</sup> + ''b''<sup>6</sup> = ''c''<sup>6</sup> + ''d''<sup>6</sup> + ''e''<sup>6</sup> + ''f''<sup>6</sup> + ''g''<sup>6</sup> for ''a'',''b'',''c'',''d'',''e'',''f'',''g'' < 250000 found with a distributed Boinc project]
* [http://euler.free.fr/ EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers]
* {{매스월드|title=Euler's Sum of Powers Conjecture |urlname=EulersSumofPowersConjecture}}
* {{매스월드|title=Euler Quartic Conjecture |urlname=EulerQuarticConjecture}}
* {{매스월드|title=Diophantine Equation--4th Powers |urlname=DiophantineEquation4thPowers}}
* [https://web.archive.org/web/20071105172444/http://library.thinkquest.org/28049/Euler%27s%20conjecture.html Euler's Conjecture] at library.thinkquest.org
* [http://www.mathsisgoodforyou.com/conjecturestheorems/eulerconjecture.htm A simple explanation of Euler's Conjecture] at Maths Is Good For You!

[[분류:디오판토스 방정식]]
[[분류:레온하르트 오일러]]
[[분류:반증된 추측]]