오일러-매클로린 공식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''오일러-매클로린 공식'''(Euler–Maclaurin formula)은 어떤 [[적분]] 값과 이와 밀접하게 관련된 [[합]] 사이의 차이에 대한 공식이다. 이 공식은 유한 합으로 적분을 근사화하거나 반대로 적분과 [[미적분학]] 방법을 사용하여 유한 합이나 [[급수 (수학)|무한 급수]]를 평가하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 이 공식으로부터 다수의 점근적 확장식이 파생되고, 거듭제곱의 합에 대한 파울하버(Johann Faulhaber)의 공식은 이로부터 곧바로 유도된다.

이 공식은 1735년경 [[레온하르트 오일러]]와 [[콜린 매클로린]]에 의해 독립적으로 발견되었다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 이 식이 필요했고 매클로린은 적분을 계산하는 데 이 식을 사용했다. 나중에 [[다르부의 공식|다르부(Darboux)의 공식]]으로 일반화되었다.

== 공식 ==
만일 {{수학 변수|m}} 과 {{수학 변수|n}} 이 [[자연수]] 이고 {{수학|''f''(''x'')}} 가 [[구간]] {{수학|[''m'',''n'']}} 에서 [[실수]] {{수학 변수|x}} 에 대한 [[실수]] 또는 [[복소수]] 값 [[연속 함수]] 인 경우에 적분식<math display="block">I = \int_m^n f(x)\,dx</math>는 아래의 합계로 근사할 수 있고, 그 역도 가능하다.<math display="block">S = f(m + 1) + \cdots + f(n - 1) + f(n)</math>( [[리만 합|사각형 방법]] 참조).
오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점, 즉 {{수학|''x'' {{=}} ''m''}} 및 {{수학|''x'' {{=}} ''n''}} 에서 평가된 더 높은 [[미분|도함수]] {{수학|''f'' <sup>(''k'')</sup>(''x'')}} 값을 이용하여 합과 적분 값의 차이에 대한 식을 제공한다.

구체적으로, 양의 [[정수]] {{수학 변수|p}} 와 {{수학|[''m'',''n'']}} 구간에서 {{수학 변수|p}} 번 [[미분 가능 함수|연속적으로 미분]] 할 수 있는 함수 {{수학|''f''(''x'')}} 에 대해 우리는 다음 식,<math display="block">S - I = \sum_{k=1}^p {\frac{B_k}{k!} \left(f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m)\right)} + R_p,</math>을 갖는데, 여기서 {{수학 변수|B<sub>k</sub>}} 는 {{수학 변수|k}}번째 [[베르누이 수]] (with {{수학|''B''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}}이고, {{수학 변수|R<sub>p</sub>}} 는 [[수치적분|차이값]]으로 {{수학 변수|n}}, {{수학 변수|m}}, {{수학 변수|p}}, 및 {{수학 변수|f}}에 의돈하고 적당한  {{수학 변수|p}}에 대하여 작은 값이다.

이 공식은 종종 짝수의 하첨자만을 취하면서 기술하는데, 이는 {{수학|''B''<sub>1</sub>}} 을 제외하고 홀수 베르누이 수가 0이기 때문이다.  이 경우에 식은,<ref name=":0">{{저널 인용|제목=An Elementary View of Euler's Summation Formula|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/n18|저널=[[The American Mathematical Monthly]]|성=Apostol|이름=T. M.|저자링크=Tom M. Apostol|날짜=1 May 1999|권=106|호=5|출판사=Mathematical Association of America|쪽=409–418|doi=10.2307/2589145|issn=0002-9890|jstor=2589145}}</ref><ref name="DLMF">{{웹 인용|url=http://dlmf.nist.gov/2.10|제목=Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences|출판사=[[National Institute of Standards and Technology]]}}</ref><math display="block">\sum_{i=m}^n f(i) =
  \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(m)}{2} +
  \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p,
</math>가 되고, 달리 표현하면,<math display="block">\sum_{i=m+1}^n f(i) =
  \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(m)}{2} +
  \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p
</math>가 된다.

=== 나머지 항 ===
일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은 {{수학|''r'' {{=}} ''m'', ''m'' + 1, …, ''n'' − 1}} 대해 연속적인 구간 {{수학|[''r'', ''r'' + 1]}} 에 대하여 [[부분 적분|부분적분]]을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다.

나머지 항은 주기화된 베르누이 함수 {{수학|''P<sub>k</sub>''(''x'')}} 로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은 {{수학|''B''<sub>0</sub>(''x'') {{=}} 1}} 에 의해 재귀적으로 정의될 수 있고, {{수학|''k'' ≥ 1}} 인 경우 아래와 같이 된다.<math display="block">\begin{align}
  B_k'(x) &= kB_{k - 1}(x), \\
  \int_0^1 B_k(x)\,dx &= 0.
\end{align}</math>주기화된 베르누이 함수는 다음 식,<math display="block">P_k(x) = B_k\bigl(x - \lfloor x\rfloor\bigr)</math>으로 정의되는데, 여기서 {{수학|⌊''x''⌋}} 는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로 {{수학|''x'' − ⌊''x''⌋}} 는 항상 구간 {{수학|[0,1)}} 에 있다.

이 표기법에서 나머지 항 {{수학 변수|R<sub>p</sub>}} 는 다음과 같다.<math display="block">R_p = (-1)^{p+1}\int_m^n f^{(p)}(x) \frac{P_p(x)}{p!}\,dx. </math>이 식은 {{수학|''k'' > 0}} 일 때 다음 식,<math display="block">\bigl|B_k(x)\bigr| \le \frac{2 \cdot k!}{(2\pi)^k}\zeta(k),</math>으로 표기될 수 있는데, 여기서 {{수학 변수|ζ}} 는 [[리만 제타 함수]]를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식 {{수학|''B<sub>k</sub>''(''x'')}} 에 대한 [[푸리에 급수]]를 얻는 것이다. 한계값은  {{수학 변수|x}} 가 0일 때 짝수 {{수학 변수|k}} 에 대하여 달성된다. {{수학|''ζ''(''k'')}} 항은 홀수 {{수학 변수|k}} 에 대해 생략될 수 있지만 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조).<ref name="Lehmer">{{저널 인용|제목=On the maxima and minima of Bernoulli polynomials|저널=[[The American Mathematical Monthly]]|성=Lehmer|이름=D. H.|저자링크=D. H. Lehmer|날짜=1940|권=47|호=8|쪽=533–538|doi=10.2307/2303833|jstor=2303833}}</ref> 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정할 수 있다.<math display="block">\left|R_p\right| \leq \frac{2 \zeta(p)}{(2\pi)^p}\int_m^n \left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.</math>

=== 저 차수 사례 ===
{{수학|''B''<sub>1</sub>}} 부터 {{수학|''B''<sub>7</sub>}} 까지의 베르누이 수는,  {{수학|{{sfrac|1|2}}, {{sfrac|1|6}}, 0, −{{sfrac|1|30}}, 0, {{sfrac|1|42}}, 0}}이다. 따라서, 오일러-매클로린 공식의 저 차수 값은 아래와 같이 된다.<math display="block">\begin{align}
\sum_{i=m}^n f(i) - \int_m^n f(x)\,dx &= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \int_m^n f'(x)P_1(x)\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \int_m^n f''(x)\frac{P_2(x)}{2!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} + \int_m^n f'''(x)\frac{P_3(x)}{3!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!}-\int_m^n f^{(4)}(x) \frac{P_4(x)}{4!}\, dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \int_m^n f^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} - \int_m^n f^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6!}\,dx \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} + \int_m^n f^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}\,dx.
\end{align}</math>

== 응용 ==

=== 바젤 문제 ===
[[바젤 문제|Basel 문제]]는 아래 합을 결정하는 것이다.<math display="block"> 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}. </math>오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 겨우 몇개의 항을 계산하여 소수점 이하 20자리까지 계산하였다. 아마도 오일러는 이로써 이 값이 {{수학|{{sfrac|''π''<sup>2</sup>|6}}}}과 같을 것으로 확신하였고, 같은 해에 이를 증명하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Euler at 300|성=Pengelley|이름=David J.|연도=2007|총서=MAA Spectrum|출판사=Mathematical Association of America|위치=Washington, DC|쪽=169–189|장=Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula|arxiv=1912.03527|mr=2349549}}</ref>

=== 다항식을 포함하는 합계 ===
만일 {{수학 변수|f}} 가 [[다항식]]이고 {{수학 변수|p}} 가 충분히 크면 나머지 항이 사라진다. 예를 들어 {{수학|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} 이면 {{수학|''p'' {{=}} 2}} 를 선택하여 단순화 후 다음을 얻을 수 있다.<math display="block">\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2.</math>

=== 적분의 근사 ===
이식에 의하면 정적분을 근사하는 수단이 제공된다.  이제 {{수학|''a'' < ''b''}} 를 적분 구간의 끝점이라고 한다. 근사에서 사용하는 점의 숫자인 {{수학 변수|N}} 으로 고정하고, 이에 따른 스텝의 크기를 {{수학|''h'' {{=}} {{sfrac|''b'' − ''a''|''N'' − 1}}}}{{수학|''h'' {{=}} {{sfrac|''b'' − ''a''|''N'' − 1}}}} 으로 표기한다.  {{수학|''x<sub>i</sub>'' {{=}} ''a'' + (''i'' − 1)''h''}} 으로 고정하면, {{수학|''x''<sub>1</sub> {{=}} ''a''}} 및 {{수학|''x<sub>N</sub>'' {{=}} ''b''}}이 된다.  그렇다면 아래식으로 된다.<ref name="Devries">{{서적 인용|제목=A first course in computational physics.|성=Devries|이름=Paul L.|성2=Hasbrun|이름2=Javier E.|연도=2011|판=2nd|출판사=Jones and Bartlett Publishers|쪽=156}}</ref><math display="block">
\begin{align}
I & = \int_a^b f(x)\,dx \\
&\sim h\left(\frac{f(x_1)}{2} + f(x_2) + \cdots + f(x_{N-1}) + \frac{f(x_N)}{2}\right) + \frac{h^2}{12}\bigl[f'(x_1) - f'(x_N)\bigr] - \frac{h^4}{720}\bigl[f'''(x_1) - f'''(x_N)\bigr] + \cdots
\end{align}
</math>이것은 수정 항을 포함하여 [[사다리꼴 공식]]을 확장하는 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉  {{수학 변수|f}} 와 {{수학 변수|h}} 에 따라 일부 {{수학 변수|p}} 가 있으므로 과거 순서 {{수학 변수|p}} 가 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다.<ref name="Devries"/>

오일러-매클로린 공식은 [[수치적분|수치 직교]]에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 [[주기함수|주기 함수]]에 대한 [[사다리꼴 공식|사다리꼴 규칙]]의 우수한 성능을 설명하고 특정한 외삽 방법에 사용된다. Clenshaw-Curtis 구적법 은 (특정한 경우 오일러-매클로린 공식은 [[이산 코사인 변환]]의 형태를 취한다는 점에서) 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확하게 되는 주기 함수의 적분 항으로 임의의 적분을 캐스팅하기 위하여 변수를 변경한 것이다. 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다.

=== 합의 점근적 확장 ===
합과 [[급수 (수학)|급수]]의 점근 전개를 계산하는 경우에 일반적으로 오일러-맥클로린 공식의 가장 유용한 형식은 다음과 같다.<math display="block">\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(b) + f(a)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(b) - f^{(2k - 1)}(a)\right),</math>여기서 {{수학 변수|a}} 와 {{수학 변수|b}} 는 정수이다.<ref>{{서적 인용|제목=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|연도=1972|편집자-성=Abramowitz|편집자-이름=Milton|편집자-링크=Milton Abramowitz|편집자2-성=Stegun|편집자2-이름=Irene A.|편집자2-링크=Irene Stegun|출판사=[[Dover Publications]]|위치=New York|쪽=16, 806, 886|isbn=978-0-486-61272-0}}</ref> 이 확장은 극한 {{수학|''a'' → −∞}} 또는 {{수학|''b'' → +∞}} 또는 둘 모두를 취한 후에도 종종 유효하다. 많은 경우에 우변의 적분은, 비록 좌변의 합은 할 수 없지만, [[초등함수|기본 함수]]의 항의 닫힌 형식 으로 평가할 수 있다. 그러면 점근적 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있다.

예를 들어,<math display="block">\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z + k)^2} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac{1}{(z + k)^2}\,dk}_{= \dfrac{1}{z}} + \frac{1}{2z^2} + \sum_{t = 1}^\infty \frac{B_{2t}}{z^{2t + 1}}</math>
와 같이 될 수 있다.

여기서 좌변은 {{수학|''ψ''<sup>(1)</sup>(''z'')}}, 즉 다음과 같이 정의된 1차 [[폴리감마 함수]],

: <math>\psi^{(1)}(z) = \frac{d^2}{dz^2}\log \Gamma(z)</math>
와 같다.


[[감마 함수]] {{수학|Γ(''z'')}} 는 {{수학|(''z'' − 1)!}} {{수학 변수|z}} 가 [[자연수|양의 정수일]] 때. 그 결과 {{수학|''ψ''<sup>(1)</sup>(''z'')}} 에 대한 점근적 확장이 발생한다. 반대로 이 확장은 [[스털링 근사|스털링의]] [[계승]] 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치의 도출 중 하나를 위한 시작점 역할을 한다.

==== 예 ====
만일 {{수학 변수|s}} 가 1보다 큰 정수이면 아래 식이 된다.<math display="block">\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \approx \frac 1{s-1}+\frac 12-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}+\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\left[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}\right].</math>상수를 [[리만 제타 함수]]의 값으로 수집하면 아래의 점근 전개를 작성할 수 있다.<math display="block">\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^s} \sim\zeta(s)-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^s}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}.</math>여기서 {{수학 변수|s}} 가 2인 경우 이는 다음과 같이 단순화된다.<math display="block">\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim\zeta(2)-\frac 1n+\frac 1{2n^2}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}},</math>즉,<math display="block">\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \sim \frac{\pi^2}{6} -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n^2} -\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7} + \cdots.</math>여기서 {{수학|''s'' {{=}} 1}} 일 때 해당 기술은 [[조화수|고조파 수]]에 대해 점근적 확장을 제공한다.<math display="block">\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \gamma + \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}},</math>여기서 {{수학|''γ'' ≈ 0.5772...}} 는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.

== 증명 ==

=== 수학적 귀납법에 의한 유도 ===
우리는 Apostol에서 주어진 주장을 요약한다.<ref name=":0"/>

위에서 {{수학|''n'' {{=}} 0, 1, 2, ...}} 에 대한 베르누이 다항식 {{수학|''B<sub>n</sub>''(''x'')}} 및 주기적 베르누이 함수 {{수학|''P<sub>n</sub>''(''x'')}} 가 소개되었다.

처음 몇 개의 Bernoulli 다항식은 다음과 같다.<math display="block">\begin{align}
 B_0(x) &= 1, \\
 B_1(x) &= x - \tfrac{1}{2}, \\
 B_2(x) &= x^2 - x + \tfrac{1}{6}, \\
 B_3(x) &= x^3 - \tfrac{3}{2}x^2 + \tfrac{1}{2}x, \\
 B_4(x) &= x^4 - 2x^3 + x^2 - \tfrac{1}{30}, \\
     &\,\,\,\vdots
\end{align}</math>{{수학|''B<sub>n</sub>''(1)}} 값은 [[베르누이 수]] {{수학|''B''<sub>''n''</sub>}}이다. 특히 {{수학|''n'' ≠ 1}} 경우<math display="block">B_n = B_n(1) = B_n(0),</math>되고, 그리고 {{수학|''n'' {{=}} 1}} 인 경우,<math display="block">B_1 = B_1(1) = -B_1(0).</math>이 됨을 유의하라.

함수 {{수학|''P''<sub>''n''</sub>}} 은 간격 {{수학|[0,&nbsp;1]}}에서 베르누리 다항식과 일치하고 주기 1로 [[주기함수|주기적]]이다. 또한 {{수학|''n'' {{=}} 1}} 인 경우를 제외하고는 연속적이다. 따라서,<math display="block"> P_n(0) = P_n(1) = B_n \quad \text{for }n \neq 1.</math>{{수학|''k''}} 를 정수로 두고 아래 적분,<math display="block"> \int_k^{k + 1} f(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv,</math>여기서<math display="block">\begin{align}
  u &= f(x), \\
 du &= f'(x)\,dx, \\
 dv &= P_0(x)\,dx & \text{since }P_0(x) &= 1, \\
  v &= P_1(x).
\end{align}</math>인 적분을 고려하자.

이 식은 [[부분 적분]]에 의하면 아래 식이 된다.<math display="block">\begin{align}
 \int_k^{k + 1} f(x)\,dx &= \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du \\
             &= \bigl[f(x)P_1(x)\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx \\
             &= B_1(1)f(k+1)-B_1(0)f(k) - \int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx.
\end{align}</math>{{수학|''B''<sub>1</sub>(0) {{=}} −{{sfrac|1|2}}}}{{수학|''B''<sub>1</sub>(0) {{=}} −{{sfrac|1|2}}}}, {{수학|''B''<sub>1</sub>(1) {{=}} {{sfrac|1|2}}}}{{수학|''B''<sub>1</sub>(1) {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, 를 이용하고, 위 식을 {{수학|''k'' {{=}} 0}} 부터 {{수학|''k'' {{=}} ''n'' − 1}}까지 더하면, 위식은 아래와 같이 된다.<math display="block">\begin{align}
\int_0^n f(x)\, dx &= \int_0^1 f(x)\,dx + \cdots + \int_{n-1}^n f(x)\,dx \\
&= \frac{f(0)}{2}+ f(1) + \dotsb + f(n-1) + \frac{f(n)}{2} - \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.
\end{align}</math>양변에 {{수학|{{sfrac|''f''(''n'') − ''f''(0)|2}}}} 을 더하고 항을 정리하면, 위 식은 아래와 같이 된다.<math display="block"> \sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(0)}{2} + \int_0^n f'(x) P_1(x)\,dx.</math>이것은 합산 공식에서  {{수학|''p'' {{=}} 1}} 경우이다. 유도를 계속하기 위해 오차 항에 부분적분을 아래와 같이 적용한다.<math display="block">\int_k^{k+1} f'(x)P_1(x)\,dx = \int_k^{k + 1} u\,dv,</math>여기서, <math display="block">\begin{align}
  u &= f'(x), \\
 du &= f''(x)\,dx, \\
 dv &= P_1(x)\,dx, \\
  v &= \tfrac{1}{2}P_2(x).
\end{align}</math>이다.
부분적분의 결과는 <math display="block">\begin{align}
 \bigl[uv\bigr]_k^{k + 1} - \int_k^{k + 1} v\,du &= \left[\frac{f'(x)P_2(x)}{2} \right]_k^{k+1} - \frac{1}{2}\int_k^{k+1} f''(x)P_2(x)\,dx \\
         &= \frac{B_2}{2}(f'(k + 1) - f'(k)) - \frac{1}{2}\int_k^{k + 1} f''(x)P_2(x)\,dx.
\end{align}</math>이다.
{{수학|''k'' {{=}} 0}} 에서 {{수학|''k'' {{=}} ''n'' &minus; 1}} 까지 합산하고 이를 하위 오차 항으로 대체하면 공식에서 {{수학|''p'' {{=}} 2}} 경우가 된다.<math display="block">\sum_{k=1}^n f(k) = \int_0^n f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(0)}{2} + \frac{B_2}{2}\bigl(f'(n) - f'(0)\bigr) - \frac{1}{2}\int_0^n f''(x)P_2(x)\,dx.</math>이러한 절차는 반복적으로 수행될 수 있다. 이러한 방식으로 [[수학적 귀납법]]에 의해 공식화 될 수 있는 오일러-맥클로린 합산 공식의 증명을 얻는다. 여기서 귀납법의 각 단계는 부분적분과 주기적인 베르누이 함수에 대한 항등식에 의존한다.

== 같이 보기 ==

* Cesàro 합계
* 오일러 합계
* 가우스-크론로드 직교 공식
* Darboux의 공식
* 오일러–부울 합계

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 자료 ==
{{참고 자료 시작}}
* {{저널 인용|first1= H. W. |last1=Gould | first2=William | last2=Squire | title = Maclaurin's second formula and its generalization | year=1963| journal=Amer. Math. Monthly | volume=70 | number=1 | pages=44–52| jstor=2312783 | mr=0146551 | doi=10.2307/2312783}}
* {{웹 인용|last1=Gourdon | first1=Xavier|last2=Sebah|first2=Pascal |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/bernoulli.html |title= Introduction on Bernoulli's numbers|year=2002}}
* {{저널 인용|first1=Erich | last1=Martensen | title= On the generalized Euler-Maclaurin formula|journal=Z. Angew. Math. Mech. | volume =85 | number=12 | pages=858–863 | doi=10.1002/zamm.200410217 | mr=2184846 | year=2005| bibcode=2005ZaMM...85..858M }}
* {{서적 인용| first1=Hugh L. |last1=Montgomery | author-link=Hugh Montgomery (mathematician) |first2=Robert C. |last2=Vaughan |author-link2=Robert Charles Vaughan (mathematician)  | title=Multiplicative number theory I. Classical theory | series=Cambridge tracts in advanced mathematics | volume=97 | year=2007 | isbn=978-0-521-84903-6 | pages=495–519}}
{{참고 자료 끝}}


== 외부 링크 ==
* {{매스월드|제목=Euler–Maclaurin Integration Formulas}}

{{미적분학 주제}}

[[분류:레온하르트 오일러]]
[[분류:총합법]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:수치적분]]
[[분류:힐베르트 공간]]
[[분류:점근 해석]]