오일러-마스케로니 상수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[정수론]]에서 '''오일러-마스케로니 상수'''(-常數, {{llang|en|Euler–Mascheroni constant}})는 [[조화급수]]를 [[자연 로그]]로 근사한 경우의 오차를 나타내는 수학 상수이다. 줄여서 '''오일러 상수'''라고도 불리나, [[자연로그의 밑]]에 해당하는 오일러 수 e=2.718…과는 다르다.

== 정의 ==
'''오일러-마스케로니 상수''' <math>\gamma</math>는 다음과 같은 극한으로 정의된다.
:<math>\gamma = \lim_{n\to\infty } \left(\sum_{k=1}^n\frac1k  - \ln n\right)=\int_1^\infty\left(\frac1{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\,dx</math>

그 값은 다음과 같다. {{OEIS|A001620}}
:0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

== 역사 ==
스위스의 수학자 [[레온하르트 오일러]]가 1734년에 〈[[조화급수]]에 대한 고찰〉({{llang|la|De Progressionibus harmonicis observationes}})이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 [[상수]]를 ''C'' 또는 ''O''로 표시했다. [[이탈리아]]의 수학자 [[로렌초 마스케로니]]({{llang|it|Lorenzo Mascheroni}})도 1790년 이 수를 언급하였고, ''A'' 또는 ''a''라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 [[감마]] ''γ''로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 [[감마 함수]] Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.<ref>{{저널 인용|이름=Carl Anton|성=Bretschneider|날짜=1837|제목=Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova|저널= Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1837|호=17|쪽=257–285|doi=10.1515/crll.1837.17.257|issn=0075-4102|언어=la}}</ref>

== 성질 ==
오일러-마스케로니 상수가 [[유리수]]인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. [[연분수]] 분석에 의해 만약 오일러-마스케로니 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10<sup>242080</sup> 이상이라는 것이 알려져 있다.

=== 감마 함수와의 관계 ===
[[감마 함수]]와는 다음과 같은 관계가 있다.
:<math> \gamma = -\lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\}
                = -\lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z)   + \frac1{z} \right\}.</math>

=== 리만 제타 함수와의 관계 ===
[[리만 제타 함수]]와는 다음과 같은 관계가 있다.
:<math>\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\
 &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m} \\
 &= \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) \end{align} </math>

=== 적분식 ===
다음 [[적분]] 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.
:<math>\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx \\
 &= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\
 &=  \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\
 &=  \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0.\end{align} </math>
:<math>\int_0^\infty {e^{-x^2} \ln x}\,dx = -\frac{(\gamma+2\ln 2)\sqrt{\pi}}{4}</math>
:<math>\int_0^\infty {e^{-x} \ln^2 x}\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} .</math>

== 알려진 자릿수 ==
[[레온하르트 오일러]]는 최초로 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯자리까지 연산하였다. 1781년에 그는 소수점 아래 16자리까지 연산하였다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지의 연산을 시도하였지만 20-22자리와 31-32자리에 오류를 만들었다. 20번째 자릿수부터 시작하여 그는 ...'''181'''12090082'''39'''을 연산했으나 올바른 자릿수는 ...'''065'''12090082'''40'''이었다.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ '''오일러-마스케로니 상수 {{mvar|γ}}의 알려진 십진 자릿수'''
! 일자 || 십진 자릿수 || 발견자 || 비고
|-
| 1734년 || style="text-align:right;"| 5 || [[레온하르트 오일러]] ||
|-
| 1735년 || style="text-align:right;"| 15 || 레온하르트 오일러 ||
|-
| 1781년 || style="text-align:right;"| 16 || 레온하르트 오일러 ||
|-
| 1790년 || style="text-align:right;"| 32 || 로렌초 마스케로니, 소수점 아래 20-22와 31-32 자릿수 오계산 ||
|-
| 1809년 || style="text-align:right;"| 22 || [[요한 게오르크 폰 졸트너]] ||
|-
| 1811년 || style="text-align:right;"| 22 || [[카를 프리드리히 가우스]] ||
|-
| 1812년 || style="text-align:right;"| 40 || 프리드리히 베른하르트 고트프리드 니콜라이 ||
|-
| 1857년 || style="text-align:right;"| 34 || 크리스티안 프레드릭 린드만 ||
|-
| 1861년 || style="text-align:right;"| 41 || 루드윅 오팅거 ||
|-
| 1867년 || style="text-align:right;"| 49 || 윌리엄 샹크스 ||
|-
| 1871년 || style="text-align:right;"| 99 || 제임스 위트브레드 리 글레이셔 ||
|-
| 1871년 || style="text-align:right;"| 101 || 윌리엄 샹크스 ||
|-
| 1877년 || style="text-align:right;"| 262 || [[존 쿠치 애덤스]] ||
|-
| 1952년 || style="text-align:right;"| 328 || 존 렌치 ||
|-
| 1961년 || style="text-align:right;"| {{val|1050|fmt=gaps}} || 헬무트 피셔와 칼 롱인 젤러 ||
|-
| 1962년 || style="text-align:right;"| {{val|1271|fmt=gaps}} || [[도널드 커누스]] ||
|-
| 1962년 || style="text-align:right;"| {{val|3566|fmt=gaps}} || 듀라 W. 스위니 ||
|-
| 1973년 || style="text-align:right;"| {{val|4879|fmt=gaps}} || 윌리엄 A. 베이어와 마이클 워터먼 ||
|-
| 1977년 || style="text-align:right;"| {{val|20700}} || 리차드 P. 브렌트 ||
|-
| 1980년 || style="text-align:right;"| {{val|30100}} || 리차드 P. 브렌트와 [[에드윈 맥밀런]] ||
|-
| 1993년 || style="text-align:right;"| {{val|172000}} || 조나단 보웨인 ||
|-
| 1999년 || style="text-align:right;"| {{val|108000000}} || 페르릭 데미첼과 하비에르 구르동 ||
|-
| 2009년 3월 13일 || style="text-align:right;"| {{val|29844489545}} || 알랙산더 J. 리와 래이먼드 찬 || {{harvnb|Yee|2011}}, {{harvnb|y-cruncher|2017}}
|-
| 2013년 12월 22일 || style="text-align:right;"| {{val|119,377,958,182}} || 알랙산더 J. 리 ||{{harvnb|Yee|2011}}, {{harvnb|y-cruncher|2017}}
|-
| 2016년 3월 15일 || style="text-align:right;"| {{val|160,000,000,000}} || 페터 트뤼프 || {{harvnb|y-cruncher|2017}}
|-
| 2016년 5월 18일 || style="text-align:right;"| {{val|250,000,000,000}} || 론 왓킨스 || {{harvnb|y-cruncher|2017}}
|-
| 2017년 8월 23일 || style="text-align:right;"| {{val|477,511,832,674}} || 론 왓킨스 ||{{harvnb|y-cruncher|2017}}
|-
| 2020년 5월 26일 || style="text-align:right;"| {{val|600,000,000,100}} || 김승민과 이언 커트리스<ref name=kim>[https://ehfd.github.io/world-record/euler-mascheroni-constant/ Euler–Mascheroni constant world record by Seungmin Kim]</ref> || <ref name=yee2020>[https://web.archive.org/web/20200528093605/http://www.numberworld.org/y-cruncher/ y-cruncher by Alexander Yee]</ref>
|}

== 같이 보기 ==
* [[폴리감마 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{웹 인용|url=http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html|title=Nagisa - Large Computations|last=Yee|first=Alexander J.|date=March 7, 2011|website=www.numberworld.org|ref=harv}}
* {{웹 인용|author=<!--Staff writer-->|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records Set by y-cruncher|date=August 24, 2017|access-date=April 30, 2018|ref=harv|website=www.numberworld.org}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Euler constant|first=L.D.|last=Kudryavtsev}}
* {{매스월드|id=Euler-MascheroniConstant|title=Euler-Mascheroni constant}}

{{무리수}}
{{수학 상수}}

{{전거 통제}}

[[분류:수학 상수]]
[[분류:실수]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:레온하르트 오일러]]
[[분류:수론의 미해결 문제]]