오일러의 곱셈 공식 문서 원본 보기

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'''오일러의 곱셈 공식'''(Euler product formula)은 [[디리클레 급수]](Dirichlet series)를 모든 [[소수 (수론)|소수]]에 대한 [[무한곱]]으로 표현한 것이다. [[리만 제타 함수]]의 경우를 증명한 오일러의 이름을 딴 것으로 '''오일러 곱'''(Euler product)이라고도 한다.

일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자.
:<math>\sum_{n} a(n)n^{-s}\,</math>
여기서 <math>a(n)</math>는 [[곱셈적 함수]](multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다.
:<math>\prod_{p} P(p,s)\,</math>
여기서 <math>P(p,s)</math>는 다음 급수가 된다.
:<math>1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .</math>
이는 [[산술의 기본 정리]] 때문에 성립하는 것이다. 특히, <math>a(n)</math>이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 <math>P(p,s)</math>는 [[무한등비급수]](geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다.
:<math>P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}}</math>
리만 제타 함수의 경우 <math>a(n) = 1</math>이 된다.

== 예 ==
[[레온하르트 오일러]]는 [[바젤 문제]]를 해결하면서 [[리만 제타 함수]]가 오일러 곱과 등치함을 증명하였다. 오일러의 곱셈 공식은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉({{llang|la|''Variae observationes circa series infinitas''}})에 수록되었다.<ref>존 더비셔, 박병철 역, 리만 가설, 승산, 2006, 154쪽, {{ISBN|978-89-88907-88-7}}</ref> 오일러가 증명한 리만 제타 함수의 무한곱이 가장 유명하므로 리만 제타 함수의 무한곱을 오일러 곱이라 지칭하는 경우도 많다.

=== 오일러의 증명 ===
오일러의 곱셈 공식에 대한 오일러의 증명은 다음과 같다.<ref>존 더비셔, 같은 책, 149-153쪽</ref><ref>[http://myyn.org/m/article/euler-product-formula2/ Euler Product Formula] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20090725194006/http://myyn.org/m/article/euler-product-formula2/#}}, myyn.org, 2007-07-16에 읽어 봄</ref> <math>1</math>보다 큰 임의의 복소수 <math>s</math>에서, [[리만 제타 함수]]는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\zeta(s) = {1 \over 1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots</math>

양변에 <math>\frac{1}{2^{s}}</math>를 곱하면 <math>a^{s} \cdot b^{s}=(a \cdot b)^{s}</math>이라는 [[거듭제곱#연산 법칙|지수법칙]]에 의해

:<math>\frac{1}{2^{s}}\zeta(s) = \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots</math>

이 성립한다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 좌변은 <math>\zeta(s)-\frac{1}{2^{s}} \cdot \zeta(s) = \left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \cdot \zeta(s)</math>로 정리되고 우변에는 홀수의 <math>-s</math>제곱 항만이 남게 되므로

:<math>\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \cdot \zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots</math>

을 얻는다. 이제 위의 결과에 <math>\frac{1}{3^{s}}</math>를 곱하면

:<math>\frac{1}{3^{s}}\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \cdot \zeta(s) = \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \cdots</math>

이므로, 이 결과를 위 식에서 빼면

:<math>\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \cdot \zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots</math>

이 되며 우변의 분모에서 <math>3</math>의 배수가 모두 사라진다. 이 작업을 모든 소수 <math>p</math>에 대하여 계속 반복하면

:<math>\cdots \left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{11^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{7^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{5^{s}}\right) \left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1</math>

을 얻는다. [[거듭제곱#연산 법칙|지수법칙]]에 의해 <math>\frac{1}{p^{s}}=p^{-s}</math>이므로, 위 식은

:<math>\prod_{p \text{ prime}} (1-p^{-s}) \cdot \zeta(s)=1</math>

과 같이 정리할 수 있다. 이제 좌변에 <math>\zeta(s)</math>만을 남기고 모든 인수를 우변으로 이항하면,

:<math>\zeta(s)=\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>

와 같이 오일러의 곱셈 공식을 유도할 수 있다. 이 증명법은 [[에라토스테네스의 체]]에 기초한 증명 방법이다.

== 오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들 ==
아래는 오일러의 곱셈 공식과 관련된 [[수학 상수|상수]]들이다.

* [[란다우-라마누잔 상수]]
:<math> K= \frac{\pi}{4} \prod_{p = 1\,\text{mod}\,4} \left(1 - {{1}\over{p^2}}\right)^{1\over2}  </math>

* [[쌍둥이 소수 상수]]
:<math> C_2 = \prod_{\textstyle{p\;{\rm prime}\atop p \ge 3}}  \left(1 - {{1}\over{(p-1)^2}}\right)</math>

* [[펠러-토르니어 상수]]
:<math>C_{FT}={1\over2}+\left( {1\over2} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-{{2}\over{p_n^2}} \right) \right)</math>

* [[마이셀-메르텐스 상수]]
:<math>B_2= \left(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\ln \left( 1-{{1}\over{p_n}} \right) + {{1}\over{p_n -1}} \right) \right) +\gamma</math>

* [[알틴 상수]]
:<math> C_{A}= \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-{{1}\over{P_n(P_n -1)}}\right)</math>

* [[케어프리 상수]](carefree constant)
:<math>K_1 = \prod_p \left( 1- {{2p-1}\over{p^3}} \right) </math>

* [[바반 상수]]
:<math>C_B= \prod_{p} \left(1 + {{3p^2-1}\over{p(p+1)(p^2-1)}} \right) </math>

* [[이차 유수 상수]] 또는 [[이차 수체]] [[아이디얼 유군|유수]] 상수(Quadratic Class Number Constant)
:<math> \prod_{p} \left(1 - {{1}\over{p^2(p+1)} } \right)  </math>

* [[스티븐스 상수]]
:<math> \prod_{p} \left(1 - {{p}\over{p^3-1}} \right) </math>

* [[타니구치 상수]]
:<math> \prod_{p} \left(1 - {{3}\over{p^3}}+ {{2}\over{p^4}}+ {{1}\over{p^5}} - {{1}\over{p^6} } \right) </math>

* [[무라타 상수]]
:<math> \prod_{p} \left(1 + {{1}\over{(p-1)^2}} \right)  </math>

* [[니븐 상수]]
:<math>C_{Niven} = 1+\sum_{s=2}^\infty \left(1-{{1}\over{\zeta(s)}}\right)
</math>
:<math>\zeta(s) </math>는 [[리만 제타 함수]]

* [[해프너-사낙크-맥컬리 상수]]
:<math>D(n)=\prod_{k=1}^{\infty}\left\{1-\left[1-\prod_{j=1}^n \left( 1-{ {1}\over{p_k^{j}} } \right) \right]^2\right\}</math>

* [[란다우 토션트 상수]](Landau's totient constant)
:<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p(p-1)}\right) ={{\zeta(2) \zeta(3)}\over{\zeta(6)}} = \frac{315A}{2\pi^{4}} </math>
:<math>A=\zeta(3)</math>은 [[아페리 상수]]

* [[사르낙 상수]](Sarnak's constant)
:<math> \prod_{p>2} \left(1 - \frac{p+2}{p^3}\right) = 0.723648... </math> {{OEIS|A065476}}

== 같이 보기 ==
* [[리만 제타 함수]]
* [[베른하르트 리만]]
* [[레온하르트 오일러]]
* [[수학 상수]]

== 각주 ==
{{각주|3}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론]]
[[분류:수론 정리]]
[[분류:해석적 수론]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]