오스굿 유일성 정리 문서 원본 보기

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[[동역학계 이론]]에서 '''오스굿 유일성 정리'''({{llang|en|Osgood’s uniqueness theorem}}) 또는 '''오스굿 판정법'''({{llang|en|Osgood’s criterion}})은 1계 [[상미분 방정식]]의 [[초깃값 문제]]의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다. [[피카르-린델뢰프 정리]]의 일반화이다.

== 정의 ==
[[초깃값 문제]]
:<math>y'(t)=f(t,y(t))</math>
:<math>y(t_0)=y_0</math>
를 생각하자.

[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n</math>가 주어졌고, <math>f</math>에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>g\colon[0,\infty)\to[0,\infty)</math>가 존재한다고 하자 ('''오스굿 조건''', {{llang|en|Osgood condition}}).
:<math>g(0)=0</math>
:<math>g(r)>0\qquad\forall r>0</math>
:<math>\int_0^1\frac{\mathrm du}{g(u)}=\infty</math>
:<math>|f(t,y)-f(t,z)|\le g(|y-z|)\qquad\forall(t,y),(t,z)\in[t_0,t_0+a]\times U</math>
'''오스굿 유일성 정리'''에 따르면, 임의의 <math>y_0\in U</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 어떤 <math>0<\delta\le a</math>에 대하여 유일한 국소적 해 <math>y\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math>를 갖는다.

오스굿 유일성 정리에서 <math>g\colon r\mapsto Lr</math> (<math>L\ge 0</math>)를 취하면 [[피카르-린델뢰프 정리]]를 얻는다.
{{증명}}
국소적 해의 존재는 [[페아노 존재 정리]]의 특수한 경우이다. 유일성의 증명은 다음과 같다. [[귀류법]]을 사용하여, 서로 다른 두 해 <math>\phi,\psi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math>를 갖는다고 가정하자. 그렇다면 <math>\phi(s)\ne\psi(s)</math>인 <math>s\in(t_0,t_0+a]</math>가 존재한다. 이제
:<math>\tilde s=\sup\{t\in[t_0,s]\colon\phi(t)=\psi(t)\}\in[t_0,s)</math>
:<math>h\colon[\tilde s,s]\to[0,\infty)</math>
:<math>h\colon t\mapsto|\phi(t)-\psi(t)|</math>
라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>t\in(\tilde s,s]</math>에 대하여
:<math>h'(t)=\frac{\langle\phi(t)-\psi(t)\rangle,\phi'(t)-\psi'(t)\rangle}{|\phi(t)-\psi(t)|}\le|\phi'(t)-\psi'(t)|=|f(t,\phi(t))-f(t,\psi(t))|\le g(|\phi(t)-\psi(t)|)=g(h(t))</math>
이다. 즉,
:<math>\frac{h'(t)}{g(h(t))}\le 1</math>
이다. 따라서
:<math>\int_0^{h(s)}\frac{\mathrm dr}{g(r)}=\int_{\tilde s}^s\frac{h'(t)\mathrm dt}{g(h(t))}\le s-\tilde s<\infty</math>
이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
윌리엄 포그 오스굿({{llang|en|William Fogg Osgood}})의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용
|성=Cid
|이름=J. Ángel
|제목=On uniqueness criteria for systems of ordinary differential equations
|언어=en
|저널=Journal of Mathematical Analysis and Applications
|권=281
|호=1
|쪽=264–275
|날짜=2003-05-01
|issn=0022-247X
|doi=10.1016/S0022-247X(03)00096-9
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Osgood criterion}}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:해석학 정리]]