오비폴드 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서, '''오비폴드'''({{llang|en|orbifold}})는 국소적으로 [[유한군]]의 선형작용에 대한 [[유클리드 공간]]의 [[몫공간]]과 [[동형]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. [[매끄러운 다양체]]의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 특정한 형태의 [[특이점]]을 가질 수 있다.

==정의==
''n''차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. [[하우스도르프 공간]] ''X''와 그 [[열린 덮개]] <math>U_i</math>를 생각하자. (<math>\{U_i\}</math>는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.)

각 <math>U_i</math>에 대하여, [[연속 함수]] <math>\phi_i\colon U_i\to V_i</math>를 가정하자. 여기서 <math>V_i</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 부분집합으로, 유한군 <math>\Gamma_i</math>의 선형작용에 대하여 불변하다. <math>\phi_i</math>가 <math>U_i\to V_i/\Gamma_i</math>의 [[위상동형사상]]을 정의한다고 가정하자. 이들을 '''오비폴드 국소 좌표계'''라고 부른다.

일련의 오비폴드 국소 좌표계 <math>(U_i,V_i,\Gamma_i,\phi_i)</math>의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 '''오비폴드 좌표근방계'''({{lang|en|orbifold atlas}})를 이룬다.
* <math>U_i\subset U_j</math>면 단사 준동형 사상 <math>\Gamma_i\to\Gamma_j</math>가 존재한다.
* <math>U_i\subset U_j</math>면  <math>\Gamma_i</math>에 대하여 <math>\Gamma_i</math>-위상 동형 사상 <math>\psi_{ij}\colon V_i\to W_j\subset V_j</math>이 존재한다. (<math>W_j</math>는 <math>V_j</math>의 열린 부분 집합)
* <math>\phi_j\circ\psi_{ij}=\phi_i</math>
* 다른 모든 추이 사상<math>V_i\to V_j</math>는 <math>g\psi_{ij}</math>의 꼴이다 (여기서 <math>g\in\Gamma_j</math>).

<math>G</math>가 [[이산군]]이라고 하고, <math>M</math>이 [[매끄러운 함수|매끄럽고]] [[충실한 작용]] <math>G\times M\to M</math>이 주어진 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 그렇다면 [[몫공간]]
:<math>M/G=M/(x\sim g\cdot x\forall g\in G,x\in M)</math>
은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 '''축소 오비폴드'''({{llang|en|reduced orbifold}})라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 ([[유클리드 공간]]의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. [[끈 이론]]에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, [[유클리드 공간]]의 몫공간 <math>\mathbb R^n/\Gamma</math> 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.

== 위상수학적 성질 ==
오비폴드의 경우, 문헌에는 두 가지의 "오비폴드 [[오일러 지표]]"에 대한 정의가 등장하며, 이 둘은 관계없는 개념이다. 이 밖에도, 오비폴드의 [[호모토피 군]] 역시 정의할 수 있다. 이들은 오비폴드를 단순히 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 여겨 정의한 [[오일러 지표]] 및 [[호모토피 군]]과 다르다.

=== 사타케-서스턴 오일러 지표 ===
오비폴드 <math>X</math>에 [[세포 복합체]]의 구조를 주고, 각 세포 <math>c</math>의 [[내부 (위상수학)|내부]]가 국소적 군 <math>\Gamma_i</math>의 작용에 불변이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math>의 '''(사타케-서스턴) [[오일러 지표]]'''는 다음과 같다.
:<math>\chi(X)=\sum_c\frac{(-1)^{\dim c}}{|\Gamma(c)|}</math>
만약 모든 <math>\Gamma(c)</math>가 [[자명군]]이라면, 이는 일반적인 [[오일러 지표]]와 같다. 이 정의는 사타케 이치로({{llang|ja|佐武 一郎}})와 [[윌리엄 서스턴]]이 사용하였다.<ref name="Thurston"/>

오비폴드의 사타케-서스턴 오일러 지표에 대하여 [[가우스-보네 정리]]가 성립한다.

=== 끈 오일러 지표와 천-롼 코호몰로지 ===
축소 오비폴드 <math>M/G</math>가, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 어떤 [[이산군]] <math>G</math>의 [[매끄러운 함수|매끄럽고]] [[충실한 작용]]에 의한 [[몫공간]]이라고 하자. 이 경우, <math>M/G</math>의 '''(끈 이론) [[오일러 지표]]'''는 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|이름1=Alejandro|성1=Adem|이름2=Michele|성2=Klaus|제목=Lectures on orbifolds and group cohomology|url=http://www.math.ubc.ca/~adem/hangzhou.pdf|총서=Advanced Lectures in Mathematics |권=16|출판사=Higher Education Press|편집자=L.Ji, [[야우싱퉁|S.-T. Yau]]|제목=Transformation Groups and Moduli Spaces of Curves|날짜=2010|쪽=1–17|언어=en}}</ref>{{rp|§6, Definition 6.1}}
:<math>\chi(M/G)=\frac1{|G|}\sum_{g,h\in G,\;gh=hg}\chi(M^{\langle g,h\rangle})
=\sum_{[g]\in\operatorname{Cl}G}\chi(M^{\langle g\rangle}/Z_G(g))
</math>
여기서
* <math>Z_G(g)</math>는 <math>\{g\}\subseteq G</math>의 [[중심화 부분군]]이다.
* <math>M^H</math>는 부분군 <math>H\subseteq G</math>의 작용에 의한 [[고정점]]들로 구성된 부분 공간이다.
* <math>\langle g_1,g_2,\dots\rangle\subseteq G</math>는 <math>g_1,g_2,\dots</math>로 생성되는 <math>G</math>의 [[부분군]]이다.
* <math>\operatorname{Cl}G</math>는 <math>G</math>의 [[켤레류]]들의 집합이다.
이 정의는 랜스 딕슨({{llang|en|Lance J. Dixon}}), 제프리 하비({{llang|en|Jeffrey A. Harvey}}), [[캄란 바파]], [[에드워드 위튼]]이 [[끈 이론]]을 다루기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름1=L.|성1=Dixon|이름2=J.A.|성2=Harvey|이름3=C.|성3=Vafa|저자링크3=캄란 바파|이름4=E.|성4=Witten|저자링크4=에드워드 위튼|제목=Strings on orbifolds|doi=10.1016/0550-3213(85)90593-0|저널=Nuclear Physics B|bibcode=1985NuPhB.261..678D|issn=0550-3213|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름1=L.|성1=Dixon|이름2=J.A.|성2=Harvey|이름3=C.|성3=Vafa|저자링크3=캄란 바파|이름4=E.|성4=Witten|저자링크4=에드워드 위튼|제목=Strings on orbifolds (II)|doi=10.1016/0550-3213(86)90287-7|저널=Nuclear Physics B|bibcode=1986NuPhB.274..285D|issn=0550-3213|언어=en}}</ref>

딕슨-하비-바파-위튼 오일러 지표는 '''천-롼 코호몰로지'''({{llang|en|Chen–Ruan cohomology}})와 관계있다. 이는 오비폴드에 대한 [[양자 코호몰로지]]이다.<ref>{{저널 인용|이름1=Weimin |성1=Chen|이름2= Yongbin |성2=Ruan|제목= A new cohomology theory of orbifold|저널= Communications in Mathematical Physics |권=248|호=1|날짜=2004-06|쪽=1-31|arxiv=math/0004129|doi=10.1007/s00220-004-1089-4|issn=0010-3616|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Lectures on Gromov-Witten invariants of orbifolds|이름=Dan|성=Abramovich|arxiv=math/0512372|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Orbifolds and stringy topology|이름=Alejandro|성=Adem|공저자=Johann Leida, Yongbin Ruan|총서=Cambridge Tracts in Mathematics|권=171|출판사=Cambridge University Press|날짜=2007|isbn=978-0-52187004-7|doi=10.1017/CBO9780511543081|mr=2359514|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=math/0011149|제목=
Stringy geometry and topology of orbifolds|이름=Yongbin|성=Ruan|날짜=2000|bibcode=2000math.....11149R|언어=en}}</ref>

=== 기본군 ===
오비폴드 <math>X</math>의 '''[[기본군]]''' <math>\pi_1^{\text{orb}}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[범피복 공간]] <math>\tilde X</math>의 피복 변환({{llang|en|deck transformation}})들의 군이다.<ref name="Thurston"/>{{rp|307, Definition 13.2.5}} 이 정의는 [[윌리엄 서스턴]]이 도입하였다.

== 예 ==
모든 [[매끄러운 다양체]]는 자명하게 (축소) 오비폴드를 이룬다. 또한, [[경계다양체]] 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. [[경계다양체]] <math>M</math>이 주어지면, 그 '''이중 덮개'''({{llang|en|double}})를 다음과 같이 정의하자.
:<math>D(M)=M\times\{0,1\}/((x,0)\sim(x,1)\forall x\in\partial M)</math>
즉, <math>M</math>의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. <math>M</math>의 이중 덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, <math>M</math>은 다음과 같은 [[몫공간]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>M=D(M)/\mathbb Z_2</math>

=== 1차원 오비폴드 ===
1차원 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] 오비폴드는 [[원 (기하학)|원]] <math>S^1</math>과 선분 <math>[0,1]</math>밖에 없다. 원은 매끄러운 다양체이다. 선분은 [[경계다양체]]이자, 원
:<math>S^1\cong\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>
의 [[몫공간]]
:<math>\operatorname U(1)/(z\sim\bar z)</math>
으로서, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있다.

=== 2차원 오비폴드 ===
2차원에서 가능한 오비폴드 특이점은 O(2)의 유한 부분군에 따라서 분류되며, 다음과 같다. 군의 작용을 나타낼 때, 편의상 평면의 점을 복소수로 표기하였다.
* 경계선 <math>\mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(2)</math>, <math>z\sim \bar z</math>.
* <math>m=2,3,4,\dots</math>에 대하여, <math>m</math>차 원뿔형 꼭짓점 <math>\mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(m)</math>, <math>z\sim\exp(2\pi i/m)z</math>
* <math>n=2,3,4,\dots</math>에 대하여, 각도 <math>\pi/n</math>의 꼭짓점 <math>\mathbb R/\operatorname{Dih}(n)</math>, <math>z\sim\bar z\sim
\exp(2\pi i/n) z</math>

이 경우, 2차원 오비폴드 <math>X</math>의 사타케-서스턴 오일러 지표는 다음과 같다.
:<math>\chi(X)=\chi(|X|)-\sum_{m_i}(1-1/m_i)-\frac12\sum_{n_i}(1-1/n_i)</math>
여기서
* <math>\chi(|X|)</math>는 <math>X</math>의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서의 오일러 지표이다.
* 첫 번째 합 <math>\sum_{m_i}</math>는 원뿔형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 <math>m_i</math>는 꼭짓점의 차수이다.
* 두 번째 합 <math>\sum_{n_i}</math>는 다각형형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 <math>n_i</math>는 꼭짓점의 차수이다.

2차원 연결 콤팩트 오비폴드는 [[곡면]]과 마찬가지로 오일러 지표의 부호에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.
* 오일러 지표가 음수인 2차원 오비폴드는 '''쌍곡선형 오비폴드'''({{llang|en|hyperbolic-type orbifold}})라고 한다. 이들은 [[쌍곡평면]]의 [[테셀레이션]]에 대응하며, 무한 개가 있다.
* 오일러 지표가 0인 2차원 오비폴드는 '''포물선형 오비폴드'''({{llang|en|parabolic-type orbifold}})라고 한다. 이들은 유클리드 평면의 [[테셀레이션]]에 대응한다. 총 17개가 있다.
* 오일러 지표가 양수인 2차원 오비폴드 가운데, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있는 것들은 '''타원형 오비폴드'''({{llang|en|elliptic-type orbifold}})라고 한다. 이들은 [[구 (기하학)|구]]의 [[테셀레이션]]에 대응한다. 7개의 무한한 족 및 족에 속하지 않는 10개가 있다.
* 오일러 지표가 양수이며, 축소 오비폴드가 아닌 것들은 '''나쁜 오비폴드'''({{llang|en|bad orbifold}})라고 한다. 4개의 무한한 족들로 분류된다.

쌍곡선형이 아닌 2차원 연결 콤팩트 오비폴드들의 목록은 다음과 같다. (여기서 "오일러 지표"는 사타케-서스턴 오일러 지표를 말한다.)

{| class="wikitable"
|-
! 종류 || 오일러 지표 || 다양체 || 원뿔 꼭짓점의 차수 || 다각형 꼭짓점의 차수
|-
| rowspan=4 | 나쁜
|| 1 + 1/''n'' || [[구 (기하학)|구]] || ''n'' &gt; 1 ||
|-
|| 1/''m'' + 1/''n'' || [[구 (기하학)|구]] || ''n'' &gt; ''m'' &gt; 1 ||
|-
|| 1/2 + 1/2''n'' || [[원판]] || || ''n'' &gt; 1
|-
|| 1/2''m'' + 1/2''n'' || [[원판]] || || ''n'' &gt; ''m'' &gt; 1
|-
| rowspan=17 | 타원형
|| 2 || [[구 (기하학)|구]] || ||
|-
|| 2/''n'' || [[구 (기하학)|구]] || ''n'',''n'' ||
|-
|| 1/''n'' || [[구 (기하학)|구]] || 2, 2, ''n'' ||
|-
|| 1/6 || [[구 (기하학)|구]] || 2, 3, 3 ||
|-
|| 1/12 || [[구 (기하학)|구]] || 2, 3, 4 ||
|-
|| 1/30 || [[구 (기하학)|구]] || 2, 3, 5 ||
|-
|| 1 || [[원판]] || ||
|-
|| 1/''n'' || [[원판]] || || ''n'', ''n''
|-
|| 1/2''n'' || [[원판]] || || 2, 2, ''n''
|-
|| 1/12 || [[원판]] || || 2, 3, 3
|-
|| 1/24 || [[원판]] || || 2, 3, 4
|-
|| 1/60 || [[원판]] || || 2, 3, 5
|-
|| 1/''n'' || [[원판]] || ''n'' ||
|-
|| 1/2''n'' || [[원판]] || 2 || ''n''
|-
|| 1/12 || [[원판]] || 3 || 2
|-
|| 1 || [[사영 평면]] || ||
|-
|| 1/''n'' || [[사영 평면]] || ''n'' ||
|-
|rowspan=17 | 포물선형
| 0 || [[구 (기하학)|구]] || 2, 3, 6 ||
|-
|| 0 || [[구 (기하학)|구]] || 2, 4, 4 ||
|-
|| 0 || [[구 (기하학)|구]] || 3, 3, 3 ||
|-
|| 0 || [[구 (기하학)|구]] || 2, 2, 2, 2 ||
|-
|| 0 || [[원판]] || || 2, 3, 6
|-
|| 0 || [[원판]] || || 2, 4, 4
|-
|| 0 || [[원판]] || || 3, 3, 3
|-
|| 0 || [[원판]] || || 2, 2, 2, 2
|-
|| 0 || [[원판]] || 2 || 2, 2
|-
|| 0 || [[원판]] || 3 || 3
|-
|| 0 || [[원판]] || 4 || 2
|-
|| 0 || [[원판]] || 2, 2 ||
|-
|| 0 || [[사영 평면]] || 2, 2 ||
|-
|| 0 || [[원환면]] || ||
|-
|| 0 || [[클라인 병]] || ||
|-
|| 0 || 원환 || ||
|-
|| 0 || [[뫼비우스 띠]] || ||
|}

== 역사 ==
사타케 이치로({{llang|ja|佐武 一郎}})가 automorphic form을 연구하면서 1956년에 ‘''V''-다양체’({{llang|en|''V''-manifold}})라는 이름으로 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ichiro|성=Satake|title=On a generalization of the notion of manifold|doi=10.1073/pnas.42.6.359|issn=0027-8424|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=42|issue=6|날짜=1956-06-01|쪽=359–363|mr=0079769}}</ref>  [[윌리엄 서스턴]]이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’({{llang|en|orbifold}})라는 이름을 붙였다.<ref name="Thurston">{{웹 인용|이름=William|성=Thurston|저자링크=윌리엄 서스턴|제목=The geometry and topology of three-manifolds|출판사=Princeton University|기타=(강의 노트)|날짜=1980|url=http://library.msri.org/books/gt3m|확인날짜=2013-09-03|archive-date=2013-09-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20130908142221/http://library.msri.org/books/gt3m/|url-status=}}</ref>

‘오비폴드’({{llang|en|orbifold}})라는 이름은 {{llang|en|orbit|오빗}} (궤도)과 {{llang|en|manifold|매니폴드}} (다양체)를 합친 [[혼성어]]이다. 이 이름에 대하여 서스턴은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|이 용어를 고른 건 제 탓이 아니고, 1967년~1977년 가르친 강의 도중 민주적인 방법으로 정한 것입니다. 오비폴드는 여러 번({{llang|en|many|메니}}) 접힌({{llang|en|fold|폴드}}) 것이죠. 하지만 {{llang|en|manifold|매니폴드}}(다양체)는 이미 다른 뜻을 가지고 있습니다. 대신 {{llang|en|foldamani|폴더매니}}를 시도해 봤지만, 이 용어는 곧 {{llang|en|manifolded|매니폴디드}}로 대체되었습니다. 그러나 두 달 동안 계속 “아니, 매니폴드가 아니라 매니폴'''디드'''”라고 하는 게 지겨워, 결국 투표를 했고, "오비폴드"가 당선되었더라구요.

This terminology should not be blamed on me. It was obtained by a democratic process in my course of 1976–77. An orbifold is something with many folds; unfortunately, the word “manifold” already has a different definition. I tried “foldamani”, which was quickly displaced by the suggestion of “manifolded”. After two months of patiently saying “no, not a manifold, a manifol''dead'',” we held a vote, and “orbifold” won.|<ref name="Thurston"/>{{rp|300}}}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=math/0112006|제목=Orbispaces and orbifolds from the point of view of the Borel construction: a new definition|이름=Andre|성=Henriques|날짜=2000|bibcode=2001math.....12006H|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=0806.4160|제목=Orbifolds as stacks?|이름=Eugene|성=Lerman|bibcode=2008arXiv0806.4160L|언어=en|journal=L’Enseignement mathématique|volume=56|issue=3–4|pages=315–363|date=2010|url=https://www.unige.ch/math/EnsMath/EM_onli/2010/EM56_315.pdf|mr=2778793|언어=en}}
* {{서적 인용|arxiv=hep-ph/0601015|장=Classification of 1D and 2D orbifolds|이름=Lars|성=Nilse|bibcode=2007AIPC..903..411N|제목=SUSY06: The 14th International Conference on Supersymmetry and the Unification of Fundamental Interactions, held June 12-17, 2006, in Irvine, California, USA|편집자= Jonathan L. Feng|isbn=978-0-7354-0410-6|총서=AIP Conference Proceedings|권=903|출판사=American Institute of Physics|날짜= 2007-04-20|쪽=411|doi=10.1063/1.2735211|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[몫공간]]
* [[2차원 등각 장론]]
* [[테셀레이션]]
* [[스택 (수학)]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Orbifold}}
* {{매스월드|id=OrbifoldNotation|title=Orbifold notation}}
* {{nlab|id=orbifold}}
* {{nlab|id=orbifold cohomology|title=Orbifold cohomology}}
* {{nlab|id=orbifold cobordism|title=Orbifold cobordism}}
* {{nlab|id=orbifold groupoid|title=Orbifold groupoid}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week267.html|제목=Week 267|웹사이트=This Week’s Finds in Mathematical Physics|이름=John|성=Baez|날짜=2008-07-23|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week285.html|제목=Week 285|웹사이트=This Week’s Finds in Mathematical Physics|이름=John|성=Baez|날짜=2009-12-05|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:다양체]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:위상수학]]