예고로프 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''예고로프 정리'''(Егоров定理, {{llang|en|Egorov’s theorem}})는 [[가측 함수]]에 대하여, [[점별 수렴]]과 [[균등 수렴]]이 거의 일치한다는 정리이다.

== 정의 ==
[[측도 공간]] <math>(X,\mathcal F,\mu)</math>에서 ([[보렐 집합|보렐 시그마 대수]]를 갖춘) [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[거리 공간]] <math>(Y,d)</math>으로 가는 일련의 [[가측 함수]]의 열
:<math>f_n\colon X\to Y\qquad(n\in\mathbb N)</math>
에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.
* <math>\mu(X)<\infty</math>
* <math>f_n</math>은 [[거의 어디서나]] [[점별 수렴]]한다.
'''예고로프 정리'''에 따르면, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 [[가측 집합]] <math>X_\epsilon\in\mathcal F</math>가 존재한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2015-01-10
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|73}}<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume II
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|72, Theorem 7.1.12}}
* <math>\mu(X)-\mu(X_\epsilon)<\epsilon</math>
* <math>f_n</math>은 <math>X_\epsilon</math> 위에서 [[균등 수렴]]한다.
{{증명}}
임의의 가측 함수 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>(X,\mathcal F)\to(Y\times Y,\mathcal B(Y)\times\mathcal B(Y))</math>
:<math>x\mapsto(f(x),g(x))</math>
는 [[가측 함수]]이며,
:<math>d\colon(Y\times Y,\mathcal B(Y\times Y))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>
역시 [[연속 함수]]이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 <math>Y</math>가 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[거리 공간]]이므로, [[제2 가산 공간]]이며, ([[거리 위상]]의 [[곱위상]]에 대한) [[보렐 시그마 대수]] <math>\mathcal B(Y\times Y)</math>는 곱 시그마 대수 <math>\mathcal B(Y)\times\mathcal B(Y)</math>와 일치한다. 따라서
:<math>x\mapsto d(f(x),g(x))</math>
는 [[가측 함수]]이다.

이제, <math>f_n</math>의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 [[가측 함수]] <math>f</math>를 취하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}0
&=\mu\left(\bigcup_{m'=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty\left\{x\in X\colon d(f_i(x),f(x))>\frac 1{m'}\right\}\right)\\
&\ge\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty\left\{x\in X\colon d(f_i(x),f(x))>\frac 1m\right\}\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i=n}^\infty\left\{x\in X\colon d(f_i(x),f(x))>\frac 1m\right\}\right)
\end{align}</math>
이다. (함수 <math>x\mapsto d(f_i(x),f(x))</math>가 [[가측 함수]]이므로 위 집합들은 모두 [[가측 집합]]이다.) 따라서
:<math>\mu\left(\bigcup_{i=n(m)}^\infty\left\{x\in X\colon d(f_i(x),f(x))>\frac 1m\right\}\right)<\frac\epsilon{2^m}</math>
인 <math>n(m)\in\mathbb N</math>이 존재한다.

이제
:<math>X_\epsilon=\bigcap_{m=1}^\infty\bigcap_{i=n(m)}^\infty\left\{x\in X\colon d(f_i(x),f(x))\le\frac 1m\right\}\in\mathcal F</math>
이라고 하자. 그렇다면
:<math>\mu(X\setminus X_\epsilon)<\epsilon</math>
이며, 임의의 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>d(f_i(x),f(x))\le\frac 1m\qquad(\forall i\ge n(m),\;x\in X_\epsilon)</math>
이다. 즉, <math>f_i</math>는 <math>X_\epsilon</math> 위에서 <math>f</math>로 균등 수렴한다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
만약 <math>\mu(X)<\infty</math> 조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수
:<math>f_n\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f_n\colon x\mapsto\begin{cases}1&x\in[n,n+1]\\0&x\not\in[n,n+1]\end{cases}</math>
을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 [[르베그 가측 집합]] <math>S</math>에 대하여 이 함수열은 <math>\mathbb R\setminus S</math>에서 [[균등 수렴]]하지 않는다.

== 역사 ==
[[이탈리아]]의 수학자 [[카를로 세베리니]]({{llang|it|Carlo Severini}})가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다.<ref>{{저널 인용
| last = Severini
| first = Carlo
| title = Sulle successioni di funzioni ortogonali
| journal = Atti dell’Accademia Gioenia
| series = serie 5a,
| volume = 3
| issue = 5
| pages = Memoria XIII, 1−7
| 날짜 = 1910
| jfm = 41.0475.04 | 언어=it
}}</ref> 이듬해 [[드미트리 예고로프]]가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다.<ref>{{저널 인용
| last = Egoroff
| first = D. Th.
| authorlink = 드미트리 예고로프
| title = Sur les suites des fonctions mesurables
| journal = Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences
| volume = 152
| pages = 244–246
| 날짜 = 1911
| url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3105c/f244
| jfm = 42.0423.01 | 언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Egorov theorem|first=L.D.|last=Kudryavtsev}}
* {{매스월드|id=EgorovsTheorem|title=Egorov's theorem|저자=Humphreys, Alexis}}
* {{웹 인용|url=https://www.proofwiki.org/wiki/Egorov%27s_Theorem|제목=Egorov's theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-01-10|archive-date=2014-02-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20140209221725/http://www.proofwiki.org/wiki/Egorov%27s_Theorem|url-status=}}

== 같이 보기 ==
* [[루진의 정리]]

[[분류:측도론 정리]]