엽층 문서 원본 보기

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[[미분위상수학]]에서 '''엽층'''(葉層, {{llang|en|foliation}})은 [[매끄러운 다양체]]를 낮은 차원의 다양체들의 층으로 잘게 자른 것을 말한다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의, <math>p</math>차원 잎으로의 '''엽층'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>
* 매끄러운 사상 <math>\phi_i\colon U_i\to\mathbb R^n</math>. 이 경우 <math>\phi_i</math>는 <math>U_i</math>와 <math>\phi_i(U_i)</math> 사이의 [[미분 동형]]을 정의한다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 <math>i,j\in I</math>에 대하여, 만약 <math>U_i\cap U_j\ne\varnothing</math>이라면 <math>\phi_{ij}=\phi_j\circ\phi_i^{-1}\colon \phi_i(U_i)\to\mathbb R^n</math>은 다음과 같은 꼴이다.
*:<math>\phi_{ij}(a,b)=\left(\phi_{ij}^1(a),\phi_{ij}^2(a,b)\right)\qquad(a\in\mathbb R^{n-p},\;b\in\mathbb R^p)</math>
각 <math>a\in\mathbb R^{n-p}</math>에 대하여,
:<math>M_a=\bigcup \phi_i^{-1}(\{a\}\times \mathbb R^p)</math>
는 <math>x</math>에 대응하는 엽층의 '''잎'''({{llang|en|leaf}})이라고 한다. 이는 정의에 따라 <math>p</math>차원 다양체의 매끄러운 [[몰입 (수학)|몰입]]을 이룬다. (이는 일반적으로 [[매장 (수학)|매장]]이 아니다.)

엽층이 주어진 매끄러운 다양체 <math>M</math> 위에서, 같은 잎에 속하는 점들을 동치라고 여기면, 이에 대한 [[몫공간]]인 '''엽공간'''(葉空間, {{llang|en|leaf space}}) <math>M/{\sim}</math>을 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.

== 성질 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 [[접다발]] <math>TM</math>의 <math>p</math>차원 매끄러운 부분 벡터 다발 <math>E\subset TM</math>이 주어졌다고 하자.
'''프로베니우스 정리'''({{llang|en|Frobenius theorem}})에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* (적분 가능성 {{llang|en|integrability}}) <math>N</math>의 [[단면 (올다발)|단면]]은 [[리 미분|리 괄호]]에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 [[벡터장]] <math>X,Y\in\Gamma(E)</math>에 대하여, <math>[X,Y]\in\Gamma(E)</math>이다.
* 임의의 <math>x\in M_a</math>에 대하여 <math>E=TM_a\subset TM</math>가 되는 엽층 <math>(M_a)_{a\in A}</math>이 존재한다.
접다발의 매끄러운 부분 벡터 다발은 '''분포'''({{llang|en|distribution}})라고 한다. 즉, 적분 가능 분포는 엽층과 동치인 개념이다.

== 예 ==
=== 올다발 ===
[[올다발]]
:<math>F\hookrightarrow E\stackrel\pi\twoheadrightarrow B</math>
이 주어졌다고 하고, 올 <math>F</math>와 전체 공간 <math>E</math>가 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 그렇다면 이는 엽층을 이룬다. 엽공간은 <math>B</math>이며, <math>b\in B</math>에 대응하는 잎은 [[원상 (수학)|원상]] <math>\pi^{-1}\{b\}</math>이다.

특수한 경우로, [[곱공간]] <math>E=F\times B</math>은 (자명한 올다발을 이루므로) 엽공간이 <math>B</math>인 엽층을 이룬다.

=== 리 군 ===
[[리 군]] <math>G</math>와 <math>H</math> 사이에 [[단사 함수|단사]] [[몰입 (수학)|몰입]]
:<math>H\hookrightarrow G</math>
가 주어진다고 하자. 그렇다면, <math>G/H</math>는 엽층을 이룬다. 즉, 이 엽층에서 잎은 <math>G</math>는 <math>H</math>에 대한 [[잉여류]]이며, 엽공간은 [[몫공간]] <math>G/H</math>이다.

만약 <math>H</math>의 [[상 (수학)|상]]이 <math>G</math> 속의 [[닫힌집합]]이라면, [[몫공간]] <math>G/H</math>는 ([[하우스도르프 공간|하우스도르프]]) [[매끄러운 다양체]]가 되며, <math>G\twoheadrightarrow G/H</math>는 <math>H</math>-[[주다발]]을 이룬다.

=== 크로네커 엽층 ===
[[원환면]] <math>\mathbb R^n/\mathbb Z^n</math>에서, 잎들이
:<math>M_{\mathbf x_0}=\frac{\{\mathbf x_0+t\mathbf v\colon t\in\mathbb R\}}{\mathbb Z^n}</math>
인 엽층을 주자 (<math>v_1=1</math>). 이 경우, 기울기 <math>\mathbf v</math>의 성분들이 모두 유리수라면 각 잎들은 원환면 속의 매끄럽게 [[매장 (수학)|매장]]된 원을 이룬다. 그러나 <math>v_1</math>을 제외한 성분들이 모두 무리수라면, 각 잎들은 매끄럽게 [[몰입 (수학)|단사 몰입]]된 직선을 이룬다. 이 경우, 잎들은 매장된 부분 다양체가 아니라 몰입된 부분 다양체이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Foliation}}
* {{eom|title=Haefliger structure}}
* {{매스월드|id=Foliation|title=Foliation}}
* {{매스월드|id=FoliationLeaf|title=Foliation leaf}}
* {{매스월드|id=Confoliation|title=Confoliation}}
* {{nlab|id=foliation|title=Foliation}}
* {{nlab|id=singular foliation|title=Singular foliation}}
* {{nlab|id=simple foliation|title=SImple foliation}}

== 같이 보기 ==
* [[올다발]]
* [[올뭉치]]

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]