열핵 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|수소 폭탄|수학 용어|열핵 폭탄이라고도 불리는 핵무기}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''열핵'''(熱核, {{llang|en|heat kernel}})은 [[열 방정식]]의 [[그린 함수]]이다.<ref name=BGV/><ref>{{서적 인용 | last1=Grigor’yan | first1=Alexander | title=Heat kernel and analysis on manifolds  | publisher=American Mathematical Society, International Press | series=American Mathematical Society/International Press Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-8218-9393-7 | mr=2569498 | year=2009 | volume=47|url=http://bookstore.ams.org/amsip-47|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장url=http://www.math.cornell.edu/~lsc/hk.pdf|장=The heat kernel and its estimates|이름= Laurent|성=Saloff-Coste|제목=Probabilistic Approach to Geometry|총서=Advanced Studies in Pure Mathematics|권=57|쪽=405–436|editor1-first=Motoko|editor1-last=Kotani|editor2-first=Masanori|editor2-last=Hino|editor3-first=Takashi|editor3-last=Kumagai|isbn=978-4-931469-58-7 |doi=10.1142/e025|url=http://bookstore.ams.org/aspm-57|출판사=Mathematical Society of Japan, American Mathematical Society, World Scientific|zbl=1201.58025|언어=en}}</ref> 해석학에서 함수를 [[매끄러운 함수|매끄럽게]] 만들기 위해 쓰인다.

== 정의 ==
=== 일반화 라플라스 연산자 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>n</math>차원 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
<math>E</math> 위의 '''[[라플라스형 연산자]]'''는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의, <math>E</math> 위의 2차 [[미분 연산자]]이다.<ref name=BGV>{{서적 인용|이름=N.|성=Berline|이름2=E.|성2=Getzler|이름3= M.|성3=Vergne|제목=Heat kernels and Dirac operators|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권= 298|출판사=Springer-Verlag|날짜=1992|언어=en}}</ref>{{rp|65, Definition 2.2}}
:<math>H\colon \Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)</math>
:<math>H=g^{ij}(x)\partial_i\partial_j+A^i(x)\partial_i+B(x)\qquad(A^i\in\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm TM),\;B\in\Gamma^\infty(E))</math>
여기서 <math>\Gamma^\infty</math>는 [[매끄러운 단면]]의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 <math>\Gamma^0</math>로 표기하자.

다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 [[리만 계량]] <math>g</math>와 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math> 및 [[매끄러운 단면]] <math>T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)</math>에 대하여
:<math>Hs=g^{ij}\nabla_i\nabla_js+Ts</math>
의 꼴로 나타내어지는 [[미분 연산자]]이다.

=== 열핵 ===
이제, <math>|\Lambda(M)|^{1/2}</math>가 <math>M</math> 위의, 무게 <math>n/2</math>의 [[밀도 다발]]이라고 하자. (이는 <math>M</math>의 [[방향 (다양체)|방향]]과 관계없이 정의된다.) 그렇다면, <math>\mathbb R^+\times M\times M</math> 위에 다음과 같은, <math>(\dim E)^2</math>차원 [[벡터 다발]]을 생각하자.
:<math>F=(E\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})\boxtimes (E^*\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})</math>

<math>M</math>이 [[콤팩트 공간]]일 경우, <math>H</math>의 '''열핵'''
:<math>K(t,x,y)\in\Gamma^0(F)</math>
은 다음 조건들을 만족시키는, <math>F</math>의 (연속) [[단면 (올다발)|단면]]이다.
* <math>t</math>에 대하여 <math>\mathcal C^1</math> 함수이다. 즉, <math>\partial K(t,x,y)/\partial t</math>가 존재하며, 연속 함수 <math>\mathbb R^+\times M\times M\to F</math>를 이룬다.
* <math>x</math>에 대하여 <math>\mathcal C^2</math> 함수이다. 즉, <math>\partial^2K(t,x,y)/\partial x^i\partial x^j</math>가 연속적으로 존재한다.
* [[열 방정식]]이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.
*: <math>\left(\frac\partial{\partial t}-H\right)K(t,x,y)=0</math>
* (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 <math>s\in\Gamma^\infty(\mathcal E\otimes_{\mathbb R}|\Lambda(M)|^{1/2})</math>에 대하여,
*: <math>\lim_{t\to0}\int K(t,x,y)s(y)\,\mathrm dy=s(x)</math>
여기서 극한은 <math>M</math> 위의 [[균등 노름]]에 대한 것이다.

만약 <math>M</math>이 [[콤팩트 공간]]이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.

=== 경계다양체 위의 열핵 ===
만약 <math>M</math>이 [[리만 계량]]이 주어진 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 경계다양체]]라고 하고, <Math>E</math>가 그 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]이라고 하자. 또한, 마찬가지로 <math>E</math> 위의 [[라플라스형 연산자]]가 주어졌다고 하자.

이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 <Math>n</math>이라고 하자. 그렇다면, 단면 <math>s\in\Gamma^\infty(E)</math> 위에 다음과 같은 꼴의 [[디리클레 경계 조건]]을 생각할 수 있다.
:<math>s\restriction\partial M=s_0</math>
또는 다음과 같은 일반화 [[노이만 경계 조건]]을 생각할 수 있다.
:<math>(\nabla_Xs)\restriction\partial M+A(s\restriction\partial M)=s_0</math>
여기서
:<math>A\in\Gamma^\infty(\partial M,\operatorname{End}E)</math>
이다.

이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.

== 성질 ==
=== 존재 조건 ===
만약 <math>M</math>이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]]라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.<ref name="BGV"/>

=== 적분 ===
콤팩트 [[리만 다양체]] <math>M</math> 위의 [[실수]] 값 [[매끄러운 함수]]에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자.
:<math>Hf=\Delta f+\nabla_Xf+C</math>
여기서 <math>X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math>는 <math>M</math> 위의 임의의 [[벡터장]]이며, <math>C\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>는 임의의 스칼라장이다.

이 경우, 열핵의 적분은 [[부분 적분]]을 통해 다음 성질을 만족시킨다.
:<math>\frac{\partial}{\partial t}\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx
=\int_MHK(t,x,y)\,\mathrm dx
=
\int_M(\Delta+\nabla_X+C)K(t,x,y)\,\mathrm dx
=C(y)\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx
</math>
즉,
:<math>F(t,y)=\int_MK(t,x,y)\,\mathrm dx</math>
로 놓으면 다음이 성립한다.
:<math>F(t_0+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_0,y)</math>
특히, 만약 <math>C=0</math>이라고 하면, <math>F(t,y)</math>는 <math>t</math>에 의존하지 않으며, 이 경우 <math>t\to0</math>에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수
:<math>F(t,y)=1</math>
가 된다.

=== 반군 성질 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 라플라스형 연산자 <math>H</math>의 열핵 <math>K(t,x,y)</math>가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>K(t+t',x,y)=\int_MK(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm dz</math>
즉, 이는 [[반군 준동형]]
:<math>K\colon (\mathbb R^+,+)\to (E\otimes|\Lambda M|^{1/2})\boxtimes(E^*\otimes|\Lambda M|^{1/2})</math>
:<math>K\colon t\mapsto K(t,-,-)</math>
을 정의한다. (여기서 <math>(\mathbb R^+,+)</math>는 양의 실수들의 덧셈 [[반군]]이다. 이는 [[항등원]] 0을 갖지 않으므로 [[모노이드]]가 아니다.) 이를 열핵의 '''반군 성질'''(半群性質, {{llang|en|semigroup property}})이라고 한다.

이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, <math>E=M\times\mathbb R</math>가 자명한 [[선다발]]이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 <math>t_0\in\mathbb R^+</math>에서, [[콤팩트 공간]] <math>M\times M</math> 위의 실수 값 연속 함수 <math>K(t_0,-,-)</math>는 최댓값
:<math>\max_{(x,y)\in M^2} K(t_0,x,x)=C_{t_0}</math>
을 갖는다. 그렇다면, <math>t_0</math> 초과의 임의의 시각 <Math>t\in\mathbb R^+</math>, <math>t>t_0</math>에서,
:<math>K(t,x,y)=
\int_MK(t_0,x,z)K(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz
\le
C_{t_0}
\int_MK(t-t_0,z,y)\,\mathrm dz
=
C_{t_0}</math>
이다.
따라서, 함수
:<math>C\colon \mathbb R^+\to\mathbb R^+</math>
:<math>C\colon t\mapsto \max_{(x,y)\in M^2}K(t,x,y)</math>
는 항상 [[감소 함수]]이다.

=== 점근적 전개 ===
콤팩트 <math>n</math>차원 [[리만 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math> 위의 [[라플라스형 연산자]] <math>H</math>가 주어졌을 때, 그 열핵 <math>K_H</math>는 다음과 같은 꼴로 전개된다.<ref name="BGV"/>{{rp|81–82, §2.5}}<ref name=Vassilevich/>{{rp|(1.13)}}
:<math>K_H(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp(-d(x,y)/4t)\sum_{i=0}^\infty t^if_i(x,y)</math>
여기서
:<math>f_i\in \Gamma^\infty\left((E\otimes\sqrt{|\Lambda M|})\boxtimes (E^*\otimes\sqrt{|\Lambda M|})\right)</math>
이다.

약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 <math>f\in\Gamma^\infty(\operatorname{End}(E))</math>에 대하여,<ref name="Vassilevich"/>{{rp|(2.21)}}
:<math>\operatorname{tr}(f\exp(-tH))=\sum_{i\in2\mathbb N}t^{(i-n)/2}a_i(f,H)</math>
위 합에서는 오직 짝수 <math>i</math>만이 등장한다.<ref name="Vassilevich"/>{{rp|§4.1}} 만약 <math>M</math>이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[경계다양체]]인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수 <math>i</math> 역시 등장할 수 있다.

=== 고윳값 ===
<math>M</math> 위의 [[라플라스형 연산자]] <math>H=g^{ij}\nabla_i\nabla_j+T</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>M</math>이 콤팩트 다양체이며, <math>T</math>가 [[에르미트 작용소]]라고 하자. 그렇다면, <Math>H</math>를 [[복소수 힐베르트 공간]]
:<math>\mathcal H=\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)</math>
에 확장시킬 수 있으며, [[스펙트럼 정리]]에 의하여 그 실수 [[고윳값]]들이 존재한다. 또한, 만약 <math>T</math>의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.
:<math>0=\lambda_0<-\lambda_1\le-\lambda_2\le-\lambda_3\le\cdots</math>
이에 대응하는, [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2(M;E\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)</math>의 [[정규 직교 기저]]를 <math>\phi_i</math>라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.
:<math>K(t,x,y)=\sum_{i=0}^\infty \exp(-\lambda_i)\phi_i(x)\phi_i(y)</math>
그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

== 예 ==
=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위의 실수 값 [[매끄러운 함수]]에 대한 [[라플라스형 연산자]]
:<math>H=\Delta+C</math>
의 열핵은 다음과 같다.<ref name="Vassilevich">{{저널 인용|arxiv=hep-th/0306138|제목=Heat kernel expansion: user’s manual|이름=D. V.|성=Vassilevich|doi=10.1016/j.physrep.2003.09.002|저널=Physics Reports|권=388|쪽=279–360|bibcode=2003PhR...388..279V|날짜=2003|zbl=1042.81093|언어=en}}</ref>{{rp|(1.12)}}
:<math>K(t,x,y)=\frac1{(4\pi t)^{n/2}}\exp(tC-\|x-y\|^2/4t)</math>

=== 대칭 공간 ===
이 밖에도, 일부 [[리 군]] 또는 [[대칭 공간]] 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|url=https://pdfs.semanticscholar.org/8527/4a7207fb8582db19e03e76fefc9adade573f.pdf|제목=Harmonic analysis and propagators on homogeneous spaces|저널=Physics Reports|이름=Roberto|성=Camporesi|쪽=1–134|권=196|호=1–2|날짜=1990|doi=10.1016/0370-1573(90)90120-Q|bibcode=1990PhR...196....1C|언어=en}}</ref> 예를 들어, [[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2=\operatorname{SU}(2)/\operatorname U(1)</math> 위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용
|제목=The heat kernel on the two-sphere
|이름=Hans R.|성=Fischer
|이름2=Jerry J.|성2=Jungster
|이름3=Floyd L.|성3=Williams
|저널=Journal of Mathematical Analysis and Applications
|권=112|호=2|날짜=1985-12|쪽=328–334
|doi=10.1016/0022-247X(85)90244-6 | 언어=en
}}</ref>{{rp|328, (1)}}
:<math>K(t,g\operatorname U(1),1_{\operatorname{SU}(2)}\!\operatorname U(1))=\sum_{n=0}^\infty(2n+1)\exp(-n(n+1)t/2)\operatorname P_n\left(
\frac{
\left(\operatorname{tr}g\right)^2
+
\left(\operatorname{tr}(\mathrm i\sigma_3g)\right)^2
}2
-1
\right)\qquad\left(t\in\mathbb R^+,\;g\in\operatorname{SU}(2)\right)</math>
여기서
:<math>\mathrm i\sigma_3=\begin{pmatrix}\mathrm i&0\\0&-\mathrm i\end{pmatrix}\in\operatorname{SU}(2)</math>
는 [[파울리 행렬]]이며, <math>\mathrm P_n(-)</math>는 [[르장드르 다항식]]이다.

=== 멜러 핵 ===
실수선 <math>\mathbb R</math> 위의 다음과 같은 [[라플라스형 연산자]]를 생각하자.
:<math>H=\frac1{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}-\frac 12mx^2-E</math>
이는 무게 <math>m</math>의 [[조화 진동자]]의 [[해밀토니언 연산자]]이다. <math>H</math>의 열핵은 다음과 같다.
:<math>K(t,x,y)=\sqrt{\frac m{2\pi \sinh t}} \exp\left(-\frac{m(x^2+y^2)}{2\tanh t}+\frac{mxy}{\sinh(mxy)}-Et\right)</math>
이를 '''멜러 핵'''(Mehler核, {{llang|en|Mehler kernel}})이라고 한다.<ref name="BGV"/>{{rp|154, §4.2}}

== 역사 ==
멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러({{llang|de|Gustav Ferdinand Mehler}}, 1835~1895)가 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Mehler | first1=F. G. | title=Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002152975 |language=독일어|jfm=066.1720cj | 날짜=1866 | journal=Journal für Reine und Angewandte Mathematik | issn=0075-4102 | issue=66 | pages=161–176}}</ref>{{rp|173–174}}

== 각주 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Heat content asymptotics}}
* {{nlab|id=heat kernel|title=Heat kernel}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/193817/heat-kernel-upper-bound-on-compact-riemannian-manifold|출판사=Math Overflow|제목=Heat kernel upper bound on compact Riemannian manifold|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/122965/heat-kernel-asymptotics-on-manifold-with-boundary|제목=Heat kernel asymptotics on manifold with boundary|언어=en}}

[[분류:스펙트럼 이론]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:열전도]]