연환수 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''연환수'''(連環數, {{llang|en|linking number}})는 두 폐곡선이 서로를 감는 수이다. 이는 해석적인 방법으로 간단하게 계산할 수 있다.

== 정의 ==
두 개의 성분으로 구성돼 있는 [[유향 다양체|유향]] [[연환]]({{llang|en|oriented link}})을 생각하자. 이 경우, '''연환수'''는 한 폐곡선이 다른 폐곡선을 통과하는, 부호를 가진 [[정수]]이다. 그림으로 쉽게 설명할 수 있다.
{| border=0 cellpadding=5 align="center"
|-valign="center"
|align="center"|[[파일:Linking Number -2.svg|140px]]
|align="center"|[[파일:Linking Number -1.svg|140px]]
|align="center"|[[파일:Linking Number 0.svg|140px]]
|-valign="center"
|align="center"|연환수 &minus;2
|align="center"|연환수 &minus;1
|align="center"|연환수 0
|-valign="center"
|align="center"|[[파일:Linking Number 1.svg|140px]]
|align="center"|[[파일:Linking Number 2.svg|140px]]
|align="center"|[[파일:Linking Number 3.svg|140px]]
|-valign="center"
|align="center"|연환수 1
|align="center"|연환수 2
|align="center"|연환수 3
|}

이는 두 개의 성분을 가진 [[유향 다양체|유향]] [[연환]]의 유일한 [[위상수학]]적 불변량이다.

== 계산 알고리즘 ==
연환의 도표({{llang|en|link diagram}})가 주어지면, 다음과 같은 [[알고리즘]]으로 연환수를 쉽게 계산할 수 있다.

[[파일:Link Crossings.svg|500px|가운데]]

연환 도표에서 위와 같은 교차점들의 수를 각각 <math>n_1</math>, <math>n_2</math>, <math>n_3</math>, <math>n_4</math>라고 하자. 그렇다면 연환수 <math>\nu</math>는 다음과 같다.
:<math>\nu=n_1-n_4=n_2-n_3</math>
예를 들어, 다음과 같은 [[연환]]을 생각하자.

[[파일:Linking Number Example.svg|200px|가운데]]

이 경우
:{| class="wikitable"
|-
! 교차점 !! 수
|-
| ''n''<sub>1</sub> || 3
|-
| ''n''<sub>2</sub> || 3
|-
| ''n''<sub>3</sub> || 1
|-
| ''n''<sub>4</sub> || 1
|}
이므로 연환수는 <math>\nu=2</math>이다.

== 가우스 적분 ==
연환수는 또한 해석적으로도 계산할 수 있다. 이 공식을 '''가우스 연환 적분'''({{llang|en|Gauss linking integral}})이라고 하며, 다음과 같다. 두 [[폐곡선]]에 임의의 매개변수를 주어
:<math>\mathbf u,\mathbf v\colon[0,2\pi]\to\mathbb R^3</math>
:<math>\mathbf u(0)=\mathbf u(2\pi)</math>
:<math>\mathbf v(0)=\mathbf v(2\pi)</math>
으로 쓰자. 그렇다면 <math>\mathbf u(s)</math>와 <math>\mathbf v(t)</math>의 연환수 <math>\nu(\mathbf u,\mathbf v)</math>는 다음과 같다.
:<math>\nu(\mathbf u,\mathbf v)=\frac1{4\pi}\oint_{\mathbf u}\oint_{\mathbf v}\frac{\mathbf u-\mathbf v}{\Vert\mathbf u-\mathbf v\Vert^3}\cdot(d\mathbf u\times d\mathbf v)</math>
이는 다음과 같이 유도할 수 있다. 폐곡선에 매개변수를 가하면, 다음과 같은 '''가우스 사상''' <math>\Gamma\colon\mathbb T^2\to\mathbb S^2</math>
을 정의할 수 있다.
:<math>\Gamma(s,t)=\frac{\mathbf u(s)-\mathbf v(t)}{\Vert\mathbf u(s)-\mathbf v(t)\Vert}</math>
이는 [[원환면]]에서 [[구면]]으로 가는 [[연속함수]]이며, 그 [[브라우어르 차수]]가 연환수와 일치함을 쉽게 확인할 수 있다. [[브라우어르 차수]]는 [[공역]]이 몇 번 감기는지를 세는 위상수학적 불변량인데, 이는 해석적으로 쉽게 계산할 수 있다. 즉, 함수를 [[정의역]]에 대하여 적분한 뒤, 이를 [[공역]]의 넓이로 나누면 된다. 여기서 (단위) 구면의 넓이는 <math>4\pi</math>이므로 가우스 연환 적분 공식을 쉽게 유도할 수 있다.

== 고차원 연환수 ==
고차원에서도 연환수를 정의할 수 있다. <math>(n_1+n_2+1)</math>차원 다양체 <math>M</math> 속에 <math>n_1</math>차원 부분다양체 <math>N_1\subset M</math>과 <math>n_2</math>차원 부분다양체 <math>N_2</math>가 있다고 하자. 또한, <math>N_1</math>, <math>N_2</math>의 [[호몰로지류]]가 [[꼬임 부분군]]에 속한다고 하자. 즉, 양의 정수 <math>k_1,k_2\in\mathbb Z</math>가 존재해,
:<math>k_1[N_1]=0\in H_{n_1}(M)</math>
:<math>k_2[N_2]=0\in H_{n_2}(M)</math>
이라고 하자. 그렇다면 이들 사이의 연환수를 정의할 수 있다. 이 경우, 이는 가우스 적분으로 계산할 수 있다. 가우스 사상
:<math>\Gamma\colon N_1\times N_2\to S^{n_1+n_2}</math>
을 정의하면, 연환수는 가우스 사상의 [[브라우어르 차수]]이다.

이는 단순히 두 호몰로지류의 [[교차수]](intersection number)이다. 다음과 같은 사슬 <math>C_1</math>, <math>C_2</math>를 정의하자.
:<math>\partial C_1=k_1[N_1]</math>
:<math>\partial C_2=k_2[N_2]</math>
또한, [[푸앵카레 쌍대성]]을 사용해
:<math>[N_1]=[M]\frown\alpha_1</math>
:<math>[N_2]=[M]\frown\alpha_2</math>
인 [[코호몰로지류]] <math>\alpha_i\in H^{n_i+1}(M;\mathbb Z)</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면 연환수는
:<math>\nu([N_1],[N_2])=\frac{k_1}C_1\frown\alpha_2=(-1)^{(n_1+1)n_2}\frac{k_2}C_2\frown\alpha_1</math>
이다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LinkingNumber|title=Linking number}}
* {{매스월드|id=GaussIntegral|title=Gauss integral}}
* {{매스월드|id=CalugareanuTheorem|title=Călugăreanu theorem}}
* {{eom|title=Linking coefficient|first=A.V.|last=Chernavskii}}

{{전거 통제}}

[[분류:곡선]]
[[분류:매듭 이론]]