연쇄 법칙 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}

[[미적분학]]에서 '''연쇄 법칙'''(連鎖法則, {{llang|en|chain rule}})은 [[함수의 합성]]의 [[도함수]]에 대한 공식이다.

== 정의 ==
=== 실변수 실숫값 함수 ===
함수 <math>g</math>가 <math>x_0</math>에서 미분 가능하며, 함수 <math>f</math>가 <math>g(x_0)</math>에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, <math>f\circ g</math>는 <math>x_0</math>에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
:<math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)</math>
특히, 만약 <math>g</math>가 구간 <math>I</math>에서, <math>f</math>가 <math>g(I)</math>에서 미분 가능하다면, <math>f\circ g</math>는 <math>I</math>에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
:<math>(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'</math>
이를 [[라이프니츠 표기법]] 및 표기 <math>y=f(u)</math>, <math>u=g(x)</math>를 사용하여 다시 쓰면 다음과 같다.
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}</math>
[[카라테오도리 보조정리]]를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 [[치환 적분]]이라고 한다.

보다 일반적으로, 함수의 합성의 [[고계 도함수]]에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 '''파 디 브루노 공식'''({{llang|en|Faà di Bruno's formula}})이라고 한다.
:<math>(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{k_1,\dots,k_n\ge0}^{k_1+2k_2+\cdots nk_n=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_n!}f^{(k_1+\cdots+k_n)}(g(x))\prod_{m=1}^n\left(\frac{g^{(m)}(x)}{m!}\right)^{k_m}</math>

=== 다변수 벡터값 함수 ===
'''a''' &isin; '''R'''<sup>n</sup>, ''g'' : '''R'''<sup>n</sup> &rarr; '''R'''<sup>m</sup>, ''f'' : '''R'''<sup>m</sup> &rarr; '''R'''<sup>p</sup>라 하자. 만약 ''g''가 '''a'''에서 [[미분|미분가능]]하고, ''f''가 ''g''('''a''')에서 미분가능하다면 ''f''∘''g''는 '''a'''에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.
:<math>D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})</math>
합성함수의 [[편미분]]은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>n</sub>) : '''R'''<sup>n</sup> &rarr; '''R'''<sup>m</sup> , ''f''(''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>,…, ''u''<sub>m</sub>) : '''R'''<sup>m</sup> &rarr; '''R''' 가 '''a'''에서 미분가능하다고 하면 ''Df''는 &nabla;''f''가 되고 함수 ''z'' = ''f''∘''g''= ''f''(''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>n</sub>))는 미분가능하고 미분은
:<math>Dz(a) = D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a}) = \nabla f(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})</math>
편미분은
:<math>\frac{\partial f}{\partial x_j}
= \sum_{i=1}^m {\partial f \over \partial u_i} {\partial u_i \over \partial x_j}
= {\partial f \over \partial u_1} {\partial u_1 \over \partial x_j}
+ {\partial f \over \partial u_2} {\partial u_2 \over \partial x_j}
+ \cdots
+ {\partial f \over \partial u_m} {\partial u_m \over \partial x_j}</math>
이다.
== 같이 보기 ==
* [[곱의 규칙]]
* [[고계도함수]]
* [[테일러급수]]
{{전거 통제}}

[[분류:미분학]]
[[분류:미적분학 정리]]