연속 원순서 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''연속 원순서 집합'''(連續原順序集合, {{llang|en|continuous preordered set}})은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 [[원순서 집합]]이다. 연속 [[완비 격자]]는 흔히 '''연속 격자'''(連續格子, {{llang|en|continuous lattice}})로 불린다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 두 원소 <math>a,b\in P</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 임의의 [[상향 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>b\lesssim\bigvee D</math>라면, <math>a\lesssim d</math>인 <math>d\in D</math>가 존재한다.
* 임의의 [[순서 아이디얼]] <math>I\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>b\lesssim\bigvee I</math>라면, <math>a\in I</math>이다.
이 경우, '''<math>a</math>가 <math>b</math>를 근사한다'''({{llang|en|<math>a</math> approximates <math>b</math>}}) 또는 '''<math>a</math>가 <math>b</math>보다 훨씬 아래'''({{llang|en|<math>a</math> is way below <math>b</math>}})라고 하며, 이를
:<math>a\ll b</math>
로 적는다.

근사 관계 <math>\ll</math>는 [[추이적 관계]]이며, <math>P</math>가 [[부분 순서 집합]]인 경우 [[반대칭 관계]]이지만, [[원순서]]가 아닐 수 있다. <math>\ll</math>가 [[원순서]]인 것은 <math>(P,\lesssim)</math>의 [[오름 사슬 조건]]과 [[동치]]이다.<ref name="Gierz">{{서적 인용
|이름1=Gerhard
|성1=Gierz
|이름2=Karl
|성2=Hofmann
|이름3=Klaus
|성3=Keimel
|이름4=Jimmie
|성4=Lawson
|이름5=Michael
|성5=Mislove
|이름6=Dana S.
|성6=Scott
|저자링크6=데이나 스콧
|제목=Continuous lattices and domains
|언어=en
|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
|권=93
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-80338-0
|doi=10.1017/CBO9780511542725
|mr=1975381
|zbl=1088.06001
}}</ref>{{rp|52, Examples I-1.3(4)}}

[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 임의의 원소 <math>a\in L</math>에 대하여,
:<math>\mathop\Uparrow a=\{b\in L\colon a\ll b\}</math>
:<math>\mathop\Downarrow a=\{b\in L\colon b\ll a\}</math>
라고 하자. 이는 각각 <math>P</math>의 [[상집합]]과 [[하집합]]을 이룬다. 만약 <math>P</math>가 [[이음 반격자]]라면, <math>\mathop\Downarrow a</math>는 [[상향 집합]]이다. 그러나 <math>P</math>가 [[만남 반격자]]이더라도 <math>\mathop\Uparrow a</math>는 [[하향 집합]]이 아닐 수 있다.

[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''연속 원순서 집합'''이라고 한다.
* 임의의 <math>a\in P</math>에 대하여, <math>\mathop\Downarrow a</math>는 [[상향 집합]]이며, <math>a=\bigvee\mathop\Downarrow a</math>이다.

== 성질 ==
=== 순서론적 성질 ===
연속 원순서 집합 <math>(P,\lesssim)</math>의 두 원소 <math>a,b\in P</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>a\ll b</math>
* 임의의 [[상향 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>b\lesssim\bigvee D</math>라면, <math>a\ll d</math>인 <math>d\in D</math>가 존재한다.
{{증명}}
둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, <math>a\ll b</math>이며, <math>D\subseteq P</math>가 [[상향 집합]]이며, <math>b\lesssim\bigvee D</math>라고 하자.
:<math>I=\bigcup_{d\in D}\mathop\Downarrow d</math>
를 생각하자. <math>P</math>가 연속 원순서 집합이므로, <math>I</math>는 [[순서 아이디얼]]들의 [[상향 집합]]의 [[합집합]]이다. 따라서 <math>I</math> 역시 [[순서 아이디얼]]이다. 또한,
:<math>\bigvee I\gtrsim\bigvee_{d\in D}\bigvee\mathop\Downarrow d=\bigvee D\gtrsim b</math>
이다. 따라서, <math>a\in I</math>이다. 즉, <math>a\ll d</math>인 <math>d\in D</math>가 존재한다.
{{증명 끝}}
이를 사용하여, 연속 원순서 집합 <math>(P,\lesssim)</math>의 근사 관계 <math>\ll</math>가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.
:<math>\forall a,b\in P\colon a\ll b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b)</math>
{{증명}}
위 명제에서, <math>D=\mathop\Downarrow b</math>를 취한다.
{{증명 끝}}

=== dcpo ===
[[dcpo]] <math>(P,\le)</math>의 두 원소 <math>a,b\in P</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Gierz" />{{rp|61, Proposition I-1.19(i)}}
* <math>a\ll b</math>이며, <math>a\ne b</math>
* 임의의 [[상향 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>b\lesssim\bigvee D</math>라면, <math>a\ll d</math>이며 <math>a\ne d</math>인 <math>d\in D</math>가 존재한다.
따라서, 만약 <math>P</math>가 연속 [[dcpo]]라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.<ref name="Gierz" />{{rp|61, Proposition I-1.19(ii)}}
:<math>\forall a,b\in P\colon a\ll b\land a\ne b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b\land a\ne c)</math>

[[dcpo]] <math>(P,\le)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Gierz" />{{rp|57, Theorem I-1.10}}
* 연속 원순서 집합이다.
* [[순서 아이디얼]]의 [[상한]] 함수 <math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P</math>는 ([[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]] 사이의 [[함자 (수학)|함자]]로서) [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다. 여기서 <math>\operatorname{Ideal}(P)</math>는 [[순서 아이디얼]]들의 [[부분 순서 집합]]이다.
구체적으로, 연속 dcpo <math>(P,\le)</math>에 대하여, <math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P</math>의 [[왼쪽 수반 함자]]는
:<math>\mathord\Downarrow\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)</math>
:<math>\mathord\Downarrow\dashv\mathord\bigvee</math>
이다.
{{증명}}
임의의 연속 [[dcpo]] <math>(P,\le)</math>가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다.
* 임의의 <math>a\in P</math>에 대하여, <math>a\le\bigvee\mathop\Downarrow a</math>
* 임의의 [[순서 아이디얼]] <math>I\in\operatorname{Ideal}(P)</math>에 대하여, <math>\mathop\Downarrow\bigvee I\subseteq I</math>
이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다.

반대로, <math>(P,\le)</math>가 [[dcpo]]이며, <math>f\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)</math>가 <math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P</math>의 [[왼쪽 수반 함자]]이며, <math>a\in P</math>라고 하자. 그렇다면, <math>f(a)</math>는
:<math>a\le\bigvee f(a)</math>
인 최소의 <math>P</math>의 [[순서 아이디얼]]이다. 근사 순서 <math>\ll</math>의 정의에 따라,
:<math>f(a)=\mathop\Downarrow a</math>
이다. 따라서, <math>P</math>는 연속 원순서 집합이다.
{{증명 끝}}

=== 완비 격자 ===
[[완비 격자]] <math>L</math>의 두 원소 <math>a,b\in L</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>a\ll b</math>
* 임의의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq P</math>에 대하여, 만약 <math>b\le\bigvee A</math>라면, <math>a\le\bigvee F</math>인 유한 부분 집합 <math>F\subseteq A</math>가 존재한다.

[[완비 격자]] <math>L</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 연속 원순서 집합이다.
* [[순서 아이디얼]]의 [[상한]] 함수 <math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L</math>은 임의의 부분 집합의 [[하한]]을 보존한다. 여기서 <math>\operatorname{Ideal}(L)</math>은 [[순서 아이디얼]]들의 [[완비 격자]]이다.<ref name="Gierz" />{{rp|Theorem I-1.10}}
* 임의의 [[상향 집합]]들의 집합 <math>\mathcal D\subseteq\mathcal P(L)</math>에 대하여, <math>\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)</math>
* 두 원소 격자 <math>\{0,1\}</math>의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 [[스콧 연속 함수|스콧 연속]] [[멱등 함수]] <math>r\colon\{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>r(\{0,1\}^\kappa)</math>과 [[동형]]이다.<ref name="Grätzer" />{{rp|56, Theorem 44}}
{{증명|부제=두 번째 조건}}
연속 [[완비 격자]] <math>L</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mathcal I\subseteq\operatorname{Ideal}(L)</math>이 임의의 [[순서 아이디얼]]들의 집합이라고 하자.
:<math>\bigvee\bigwedge\mathcal I=\bigwedge_{I\in\mathcal I}\bigvee I</math>
를 보이면 족하다. <math>\le</math>은 자명하다. <math>\mathord\Downarrow\dashv\mathord\bigvee</math>이므로, 반대 방향의 부등식은
:<math>\bigwedge\mathcal I\supseteq\mathop\Downarrow\bigwedge_{I\in\mathcal I}\bigvee I</math>
를 보이면 족하다. 이는 임의의 <math>I\in\mathcal I</math>에 대하여
:<math>I\supseteq\mathop\Downarrow\bigvee I\supseteq\mathop\Downarrow\bigwedge_{J\in\mathcal I}\bigvee J</math>
이므로 참이다.

반대로, <math>L</math>이 [[완비 격자]]이며, <math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L</math>이 임의의 [[하한]]을 보존한다고 하자. <math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L</math>의 [[왼쪽 수반 함자]] <math>f\colon L\to\operatorname{Ideal}(L)</math>를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>f\colon a\mapsto\bigwedge\left\{I\in\operatorname{Ideal}(L)\colon a\le\bigvee I\right\}</math>
이는 자명하게 [[순서 보존 함수]]이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다.
* 임의의 <math>I\in\operatorname{Ideal}(L)</math>에 대하여, <math>f\left(\bigvee I\right)\subseteq I</math>
** 이는 <math>I\in\left\{J\in\operatorname{Ideal}(L)\colon\bigvee I\le\bigvee J\right\}</math>이므로 참이다.
* 임의의 <math>a\in L</math>에 대하여, <math>a\le\bigvee f(a)</math>
** <math>\bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L</math>이 [[하한]]을 보존하므로, <math>\bigvee f(a)=\bigwedge_{I\in\mathcal I}^{a\le\bigvee I}\bigvee I\ge a</math>이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=세 번째 조건}}
연속 [[완비 격자]] <math>L</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mathcal D\subseteq\mathcal P(L)</math>가 임의의 <math>L</math>의 [[상향 집합]]들의 집합이라고 하자. <math>\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D\ge\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)</math>
은 자명하다. 따라서, 임의의 <math>a\ll\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D</math>에 대하여, <math>a\le\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)</math>임을 보이면 족하다. 임의의 <math>D\in\mathcal D</math>에 대하여, <math>a\ll\bigvee D</math>이므로, <math>a\le g(D)</math>인 <math>g(D)\in D</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>a\le\bigwedge_{D\in\mathcal D}g(D)\le\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)</math>
이다.

반대로, <math>L</math>이 [[완비 격자]]이며, 또한 임의의 [[상향 집합]]들의 집합 <math>\mathcal D\subseteq\mathcal P(L)</math>에 대하여, <math>\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)</math>라고 하자. 임의의 <math>a\in L</math>에 대하여, 자명하게 <math>\bigvee\mathop\Downarrow a\le a</math>이다. 따라서 <math>\bigvee\mathop\Downarrow a\ge a</math>임을 보이면 족하다. <math>\mathcal D</math>를 다음 두 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>D\subseteq L</math>들의 집합으로 취하자.
* <math>D</math>는 [[상향 집합]]이다.
* <math>a\le\bigvee D</math>
그렇다면, <math>\mathcal D</math>의 정의에 따라, 임의의 <math>f\in\prod\mathcal D</math>에 대하여,
:<math>\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)\ll a</math>
이다. 따라서,
:<math>a\le\bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge f(D)\le\bigvee\mathop\Downarrow a</math>
이다.
{{증명 끝}}

연속 [[완비 격자]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[분배 격자]]이다.
* [[완비 헤이팅 대수]]이다.
{{증명}}
모든 [[완비 헤이팅 대수]]는 자명하게 [[분배 격자]]이다. 반대로, <math>L</math>이 연속 [[완비 격자]]이자, [[분배 격자]]라고 하자. 임의의 원소 <math>a\in L</math> 및 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>에 대하여,
:<math>a\wedge\bigvee S=\bigvee_{s\in S}a\wedge s</math>
임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서,
:<math>\mathcal D=\left\{\{a\},\left\{\bigvee S'\colon S'\subseteq S,\;|S'|<\aleph_0\right\}\right\}</math>
을 취하자. (두 번째 집합이 [[상향 집합]]임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, <math>L</math>이 연속 [[완비 격자]]이자 [[분배 격자]]이므로, 다음이 성립한다.
:<math>a\wedge\bigvee S=a\wedge\bigvee_{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph_0}\bigvee S'=\bigvee_{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph_0}a\wedge\bigvee S'=\bigvee_{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph_0}\bigvee_{s\in S'}a\wedge s=\bigvee_{s\in S}a\wedge s</math>
{{증명 끝}}

모든 연속 완비 분배 격자는 [[국소 콤팩트 공간]]의 [[열린집합]] 격자와 순서 동형이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 [[동치]]이다. 유한 또는 무한 개의 [[최소 원소]]를 갖는 연속 dcpo <math>(P_i,\le)_{i\in I}</math>들의 직접곱 <math>\textstyle\prod_{i\in I}P_i</math>
는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 <math>\textstyle a,b\in\prod_{i\in I}P_i</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>a\ll b</math>
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>a_i\ll b_i</math>이며, <math>\{i\in I\colon a_i\ne\bot\}</math>는 [[유한 집합]]이다.

연속 dcpo의 [[스콧 닫힌집합]]은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.

=== 범주론적 성질 ===
연속 완비 격자와 [[스콧 연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이룬다.<ref name="Grätzer">{{서적 인용
|이름1=George
|성1=Grätzer
|제목=Lattice Theory: Foundation
|언어=en
|출판사=Springer
|위치=Basel
|날짜=2011
|isbn=978-3-0348-0017-4
|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1
|mr=2768581
|zbl=1233.06001
|lccn=2011921250
}}</ref>{{rp|56, Theorem 45}}

== 예 ==
모든 유한 [[원순서 집합]]은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, [[오름 사슬 조건]]을 만족시키는 모든 [[원순서 집합]]은 연속 원순서 집합이다.

=== 폐구간 ===
실수 폐구간 <math>[0,1]\subseteq\mathbb R</math>은 표준적인 순서에 의하여 [[완비 격자]]를 이룬다. 또한, 임의의 <math>x,y\in[0,1]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x\ll y</math>
* <math>x=0</math>이거나, <math>x<y</math>
따라서, 항상
:<math>\bigvee\mathop\Downarrow x=\bigvee([0,x)\cup\{0\})=x</math>
이며, <math>[0,1]</math>은 연속 완비 격자를 이룬다.

보다 일반적으로, [[전순서]] [[완비 격자]] <math>L</math>의 임의의 두 원소 <math>a,b\in L</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>a\ll b</math>
* 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
** <math>a=b=\bot</math>
** <math>a<b</math>
** <math>a=b>\bot</math>이며, <math>a=b</math>는 <math>L</math>의 어떤 [[전순서 집합|도약]] <math>(c,a)</math>의 두 번째 성분이다.
따라서, 모든 [[전순서]] [[완비 격자]]는 연속 완비 격자이다.

=== 멱집합 ===
임의의 [[집합]] <math>X</math>에 대하여, [[멱집합]] <math>(\mathcal P(X),\subseteq)</math>는 [[완비 격자]]를 이룬다. 이 경우 <math>A\ll B</math>는 <math>A</math>가 <math>B</math>의 유한 부분 집합인 것과 [[동치]]이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, <math>(\mathcal P(X),\subseteq)</math>는 연속 완비 격자를 이룬다.

=== 열린집합 격자 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들은 포함 관계에 의하여 [[완비 헤이팅 대수]] <math>\operatorname{Open}(X)</math>를 이룬다. 임의의 두 [[열린집합]] <math>U,V\in\operatorname{Open}(X)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>U\ll V</math>
* 임의의 열린 <math>V</math>-[[덮개 (위상수학)|덮개]]는 유한 부분 <math>U</math>-덮개를 갖는다.
* <math>U\subseteq V</math>이며, <math>U</math>를 원소로 갖는 <math>X</math> 위의 임의의 [[극대 필터]]는 <math>V</math> 속의 점으로 수렴한다.
{{증명}}
<math>\operatorname{Open}(X)</math>가 [[완비 격자]]이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 [[동치]]이다. 이제, <math>U\ll V</math>이며, <math>\mathcal F</math>가 <math>X</math>위의 [[극대 필터]]이며, <math>U\in\mathcal F</math>라고 하자. [[귀류법]]을 사용하여, 임의의 <math>x\in V</math>가 <math>\mathcal F</math>의 [[극한]]이 아니라고 가정하자. 즉, <math>W_x\not\in\mathcal F</math>인 <math>x</math>의 [[근방]] <math>W_x</math>가 존재한다. <math>\mathcal F</math>가 [[극대 필터]]이므로, <math>W_x\cap F_x=\varnothing</math>인 <math>F_x\in\mathcal F</math>가 존재한다. 그렇다면, <math>\{W_x\colon x\in V\}</math>는 <math>V</math>-[[덮개 (위상수학)|덮개]]이므로, 유한 부분 <math>U</math>-덮개 <math>\{W_x\colon x\in S\}</math>을 갖는다. 따라서,
:<math>\varnothing=\bigcup_{x\in S}W_x\cap\bigcap_{x\in S}F_x\in\mathcal F</math>
이며, 이는 모순이다.

이제, <math>U\subseteq V</math>이며, <math>U</math>를 원소로 갖는 <math>X</math> 위의 임의의 [[극대 필터]]는 <math>V</math> 속의 점으로 수렴한다고 하자. <math>\mathcal D\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>가 [[열린집합]]들의 [[상향 집합]]이며, <math>V\subseteq\bigcup\mathcal D</math>라고 하자. [[귀류법]]을 사용하여, 임의의 <math>D\in\mathcal D</math>에 대하여, <math>U\not\subseteq D</math>라고 하자. 그렇다면, <math>\{U\setminus D\colon D\in\mathcal D\}</math>는 [[하향 집합]]을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 [[필터 (수학)|필터]]
:<math>\mathcal F_0=\mathop\uparrow\{U\setminus D\colon D\in\mathcal D\}</math>
를 생각하자. <math>\mathcal F_0\subseteq\mathcal F</math>인 <math>X</math> 위의 [[극대 필터]] <math>\mathcal F</math>를 취하자. <math>D_0\in\mathcal D</math>를 고정하자. 그렇다면, 임의의 <math>F\in\mathcal F</math>에 대하여,
:<math>F\cap U\supseteq F\cap U\setminus D_0\ne\varnothing</math>
이다. 따라서 <math>U\in\mathcal F</math>이며, <math>\mathcal F</math>는 어떤 <math>x\in V</math>로 수렴한다. <math>x\in D</math>인 <math>D\in\mathcal D</math>를 취하자. 그렇다면, <math>D\in\mathcal F</math>이므로,
:<math>\varnothing=D\cap U\setminus D\in\mathcal F</math>
이다. 이는 모순이다.
{{증명 끝}}
만약 <math>X</math>가 [[국소 콤팩트 공간]](즉, 모든 점이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[국소 기저]]를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]])이라면, 추가로 다음 조건이 [[동치]]이다.
* <math>U\subseteq C\subseteq V</math>인 [[콤팩트 집합]] <math>C</math>가 존재한다.
따라서, 임의의 [[국소 콤팩트 공간]] <math>X</math>의 열린집합 격자 <math>\operatorname{Open}(X)</math>는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''핵콤팩트 공간'''({{llang|en|core-compact space}})이라고 한다.
* <math>\operatorname{Open}(X)</math>는 연속 완비 격자이다.
* <math>X</math>의 [[차분화]]는 [[국소 콤팩트 공간]]이다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math>에서, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>에 대하여, [[지수 대상]] <math>Y^X</math>가 존재한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[국소 콤팩트 공간]] (모든 점이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[국소 기저]]를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ [[쇼케 공간]] ⇒ [[베르 공간]]

=== 반례 ===
다음과 같은 [[부분 순서 집합]] <math>\{\bot,\top,a_1,a_2,a_3,\dotsc,b\}</math>을 생각하자.
:<math>\bot<a_1<a_2<a_3<\dotsb<\top</math>
:<math>\bot<b<\top</math>
이는 [[완비 격자]]를 이룬다.
:<math>\{\bot,a_1,a_2,a_3,\dotsc\}</math>
가 [[상향 집합]]이므로, <math>b\not\ll b</math>임을 알 수 있다. 따라서
:<math>\bigvee\mathop\Downarrow b=\bigvee\{\bot\}=\bot\ne b</math>
이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.

모든 [[원자 (순서론)|원자]] 없는 [[완비 불 대수]]는 연속 완비 격자가 아니다. [[원자 (순서론)|원자]] 없는 [[완비 불 대수]] <math>B</math>의 두 원소 <math>a,b\in B</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>a\ll b</math>
* <math>a=\bot</math>

=== 합동 관계 격자 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]]들은 포함 관계에 의하여 [[완비 격자]] <math>\operatorname{Ideal}(R)</math>를 이룬다. 임의의 두 [[아이디얼]] <math>I,J\in\operatorname{Ideal}(R)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>I\ll J</math>
* <math>I\subseteq K\subseteq J</math>인 [[유한 생성 아이디얼]] <math>K\subseteq R</math>가 존재한다.
모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, <math>\operatorname{Ideal}(R)</math>는 연속 완비 격자를 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Continuous lattice}}
* {{eom|제목=Core-compact space}}
* {{nlab|id=continuous poset|제목=Continuous poset}}
* {{nlab|id=continuous category|제목=Continuous category}}
* {{nlab|id=exponential law for spaces|제목=Exponential law for spaces}}
* {{플래닛매스|urlname=ContinuousPoset|제목=Continuous poset}}

[[분류:순서론]]