연속체 가설 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''연속체 가설'''(連續體假說, {{llang|en|continuum hypothesis}}, 약자 CH)은 실수 집합의 모든 부분 집합은 [[가산 집합]]이거나 아니면 실수 집합과 크기가 같다는 명제이다. 집합론의 표준적 공리계로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.<ref>(괴델 불완전성 정리
By 요시나가 요시마사)https://books.google.co.kr/books?id=xTopDwAAQBAJ&pg=PA220&lpg=PA220&dq=%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4+%EA%B0%80%EC%84%A4&source=bl&ots=_NJWHCbOMX&sig=ACfU3U0IVMMSD55RWRnfiJIyrgkPKbf4NA&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwiFoLHchIbhAhWGH3AKHQ71AEU4ChDoATAGegQIAxAB#v=onepage&q=%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4%20%EA%B0%80%EC%84%A4&f=false{{깨진 링크|url=https://books.google.co.kr/books?id=xTopDwAAQBAJ&pg=PA220&lpg=PA220&dq=%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4+%EA%B0%80%EC%84%A4&source=bl&ots=_NJWHCbOMX&sig=ACfU3U0IVMMSD55RWRnfiJIyrgkPKbf4NA&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwiFoLHchIbhAhWGH3AKHQ71AEU4ChDoATAGegQIAxAB }}</ref>

== 정의 ==
선택 공리를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]을 가정하자.

다음 명제들이 서로 [[동치]]이며, 이를 '''연속체 가설'''이라고 한다.
* <math>\aleph_1=2^{\aleph_0}=\beth_1</math>. 즉, <math>\aleph_0</math>([[가산 무한 집합]]의 크기)과 <math>2^{\aleph_0}</math> (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 [[기수 (수학)|기수]]가 존재하지 않는다.
* 임의의 [[실수]]의 집합 <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, <math>S</math>가 [[가산 집합]]이 아니라면, <math>|S|=\mathbb R</math>이다.
* [[다항식환]] <math>\mathbb C[x,y,z]</math> 위의 [[유리 함수]] [[가군]] <math>\mathbb C(x,y,z)</math>의 [[사영 차원]]이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 [[사영 차원]]은 3이다.)<ref>{{서적 인용|장=Remarks on the projective dimension of ℵ-unions|이름=Barbara L.|성=Osofsky|제목=Ring Theory Waterloo 1978 Proceedings, University of Waterloo, Canada, 12–16 June, 1978|doi=10.1007/BFb0103161|쪽=223–235|날짜=1979|isbn=978-3-540-09529-3|mr=0548131|총서=Lecture Notes in Mathematics |권=734|언어=en}}</ref><ref name="Osofsky">{{서적 인용|제목=Homological dimensions of modules|이름=Barbara L.|성=Osofsky|isbn=978-0-8218-1662-2|총서=Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics|권=12|출판사=American Mathematical Society|url=http://bookstore.ams.org/cbms-12|날짜=1973|언어=en|확인날짜=2016-08-03|보존url=https://web.archive.org/web/20161011012828/http://bookstore.ams.org/cbms-12|보존날짜=2016-10-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|Theorem 2.51}}
* 가산 개의 [[체 (수학)|체]]들의 [[직접곱]]의 [[대역 차원]]은 항상 2이다.<ref name="Osofsky"/>{{rp|60}}
* (웨첼 문제 {{llang|en|Wetzel’s problem}}) 다음 두 조건을 만족시키는 [[전해석 함수]]들의 족 <math>\{f_i\colon\mathbb C\to\mathbb C\}_{i\in I}</math>이 존재한다.<ref>{{저널 인용|이름=Paul|성=Erdös <!-- 원논문 표기-->|저자링크=에르되시 팔|제목=An interpolation problem associated with the continuum hypothesis|doi=10.1307/mmj/1028999028|mr=0168482|저널=The Michigan Mathematical Journal|권=11|쪽=9–10|날짜=1964|issn=0026-2285|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Wetzel’s problem, Paul Erdős, and the continuum hypothesis: a mathematical mystery|이름=Stephan Ramon |성=Garcia|이름2=Amy L.|성2=Shoemaker|arxiv=1406.5085|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=62|호=3|날짜=2015-03|bibcode=2014arXiv1406.5085G|url=http://www.ams.org/journals/notices/201503/rnoti-p226.pdf#page=18|언어=en}}</ref>
** 임의의 <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여, <math>\{f_i(z)\}_{i\in I}</math>는 [[가산 집합]]이다.
** <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>는 [[비가산 집합]]이다.

다음 명제들이 서로 [[동치]]이며, 이를 '''일반화 연속체 가설'''(一般化連續體假說, {{llang|en|generalized continuum hypothesis}}, 약자 GCH)이라고 한다.
* 임의의 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}</math>. 여기서 <math>\aleph</math>는 [[알레프 수]]이다.
* 임의의 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>\aleph_\alpha=\beth_\alpha</math>. 여기서 <math>\beth</math>는 [[베트 수]]이다.
* 임의의 무한 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\kappa<\lambda<2^\kappa</math>인 기수 <math>\lambda</math>가 존재하지 않는다.
* 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>|\{A\subseteq\kappa\colon |A|\in S\}|=\kappa^+</math>가 되는 기수 집합 <math>S\subset\operatorname{Card}</math>가 존재한다.<ref>{{웹 인용|url=http://jdh.hamkins.org/an-equivalent-formulation-of-the-gch/|제목=An equivalent formulation of the GCH|이름=Joel David|성=Hamkins|날짜=2016-04-30|언어=en|확인날짜=2016-08-03|보존url=https://web.archive.org/web/20160817193926/http://jdh.hamkins.org/an-equivalent-formulation-of-the-gch/|보존날짜=2016-08-17|url-status=dead}}</ref> (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.) 여기서 <math>\kappa^+=\min\{\lambda\in\operatorname{Card}\colon\kappa<\lambda\}</math>이다.

=== 프라일링 대칭 공리 ===
집합 <math>X</math>와 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, 다음과 같은 명제 <math>\mathsf{AX}(X,\kappa)</math>를 생각하자.
:임의의 [[함수]] <math>f\colon X\to\mathcal P_{\le\kappa}(X)</math>에 대하여, <math>x\not\in f(y)</math>이자 <math>y\not\in f(x)</math>가 성립하는 <math>x,y\in X</math>가 존재한다.
여기서 <math>\mathcal P_{\le\kappa}(X)=\{S\subseteq X\colon |S|\le\kappa\}</math>는 크기가 <math>\kappa</math> 이하의 <math>X</math>의 부분 집합들로 구성된 집합족이다. 그렇다면, <math>\mathsf{ZFC}</math> 아래 다음이 성립한다.
:<math>\mathsf{AX}(2^\kappa,\kappa)\iff 2^\kappa\ne\kappa^+</math>
즉, <math>\lnot\mathsf{CH}\iff\mathsf{AX}(2^{\aleph_0},\aleph_0)</math>이며, <math>\lnot\mathsf{GCH}\iff\forall\kappa\in\operatorname{Card}\colon\mathsf{AX}(2^\kappa,\kappa)</math>이다. 특히, <math>\mathsf{AX}(2^{\aleph_0},\aleph_0)</math>를 '''프라일링 대칭 공리'''({{llang|en|Freiling’s axiom of symmetry}})라고 한다. 이는 크리스토퍼 프랜시스 프라일링({{llang|en|Christopher Francis Freiling}})이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Freiling|이름=Chris|제목=Axioms of symmetry: throwing darts at the real number line|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-symbolic-logic_1986-03_51_1/page/n191|저널=The Journal of Symbolic Logic|권= 51|호= 1 |날짜=1986-03|쪽=190–200|jstor=2273955|doi=10.2307/2273955|issn=0022-4812|zbl=0619.03035|언어=en}}</ref> 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

== 성질 ==
[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에 알려진 모든 [[큰 기수]] 공리를 추가하여도, (일반화) 연속체 가설은 여전히 독립적이다.

=== 연속체 가설을 함의하는 명제 ===
ZFC에 [[구성 가능성 공리]](<math>V=L</math>)를 추가하면, 일반화 연속체 가설이 참이다.

=== 연속체 가설의 부정을 함의하는 명제 ===
[[윌리엄 휴 우딘]]은 소위 '''오메가 논리'''({{llang|en|Ω-logic}})를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며, 사실
:<math>\aleph_2=2^{\aleph_0}</math>
이라는 논의를 폈다.<ref>{{저널 인용|성=Woodin|이름=W. Hugh|저자링크=윌리엄 휴 우딘|제목=The continuum hypothesis, part I|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=48|호=6|날짜=2001-06|쪽=567–576|url=http://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Woodin|이름=W. Hugh|저자링크=윌리엄 휴 우딘|제목=The continuum hypothesis, part II|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=48|호=7|날짜=2001-08|쪽=681–690|url=http://www.ams.org/notices/200107/fea-woodin.pdf|언어=en}}</ref> 물론, 이는 수학적인 증명이 아니다. 우딘의 논의는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다.

[[고유 강제법 공리]]({{llang|en|proper forcing axiom}})를 가정하면,
:<math>2^{\aleph_0}=\aleph_2</math>
이므로, 역시 연속체 가설이 부정된다.

=== (일반화) 연속체 가설이 함의하는 명제 ===
연속체 가설은 [[마틴 공리]]를 자명하게 함의한다.

[[체르멜로-프렝켈 집합론]]에 일반화 연속체 가설을 추가하면, [[선택 공리]]를 증명할 수 있다.

일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|이름=Seymour|성=Hayden|공저자=John F. Kennison|제목=Zermelo–Fraenkel Set Theory|날짜=1968|출판사=Charles E. Merrill Publishing Company|위치=Columbus, Ohio, U.S.|언어=en}}</ref>{{rp|147}}
:<math>\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}=\begin{cases}
\aleph_{\beta+1}&\alpha\le\beta+1\\
\aleph_\alpha&\beta+1<\alpha,\;\aleph_\beta<\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)\\
\aleph_{\alpha+1}&\beta+1<\alpha,\;\aleph_\beta\ge\operatorname{cf}(\aleph_\alpha)\\
\end{cases}</math>
여기서 <math>\operatorname{cf}</math>는 기수의 [[공종도]]이다.

[[체르멜로-프렝켈 집합론]]에 일반화 연속체 가설을 가정하면,  모든 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, [[기멜 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\gimel(\kappa)=\kappa^+</math>
또한, [[특이 기수 가설]]이 (자명하게) 성립하게 된다.

'''커플랜스키 추측'''({{llang|en|Kaplansky conjecture}})은 다음과 같은 명제이다.
* 임의의 콤팩트 [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의, [[복소수]] 값의 [[연속 함수]]들의 복소수 [[바나흐 대수]] <math>\mathcal C^0(X,\mathbb C)</math>를 생각하자. 임의의 복소수 바나흐 대수 <math>B</math> 및 임의의 [[환 위의 대수|복소수 대수]] 준동형 <math>f\colon \mathcal C^0(X,\mathbb C)\to B</math>은 복소수 바나흐 대수 사상이다 (즉, [[연속 함수]]이다).
이는 [[어빙 커플랜스키]]가 제시하였다. 만약 ZFC가 무모순적이라면 이 명제는 ZFC와 독립적이다.<ref>{{서적 인용|제목=An Introduction to Independence for Analysts|url=https://archive.org/details/introductiontoin0000dale|이름=H. G.|성=Dales|이름2=W. H.|성2=Woodin|author2-link=윌리엄 휴 우딘|총서= London Mathematical Society Lecture Note Series|날짜=1987|isbn=978-052133996-4|doi=10.1017/CBO9780511662256|언어=en}}</ref>{{rp|ix–x}} 연속체 가설은 커플랜스키 추측의 부정을 함의한다.<ref>{{저널 인용|제목=Discontinuous homomorphisms from ''C''(''X'')|이름=H. G.|성=Dales|이름2=J.|성2=Esterle|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=83|호=2|날짜=1977-03|issn=0273-0979|mr=0430786|doi=10.1090/S0002-9904-1977-14291-2|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[파일:Georg Cantor2.jpg|섬네일|[[게오르크 칸토어]]]]

연속체 가설은 [[게오르크 칸토어]]가 처음 제기하였다. 칸토어는 연속체 가설이 참이라고 믿고 여러 해 동안 그 증명을 위해 노력했다.  [[다비트 힐베르트]]는 1900년 [[세계 수학자 대회]]에서 연속체 가설을 [[힐베르트의 문제들]]의 1번 문제로 선정하였다.<ref>{{서적 인용|mr=3295936|제목=Handbook of the history of logic. Volume 6: sets and extensions in the twentieth century|이름=Juris|성=Steprāns|장=History of the continuum in the 20th century|쪽=73–144|날짜=2012|장url=http://www.math.yorku.ca/~steprans/Research/PDFSOfArticles/hoc2INDEXED.pdf|editor1-first=Dov M.|editor1-last=Gabbay|editor2-first=Akihiro|editor2-last=Kanamori|editor2-link=가나모리 아키히로|editor3-first=John|editor3-last=Woods|url=http://store.elsevier.com/Sets-and-Extensions-in-the-Twentieth-Century/isbn-9780444516213/|isbn=978-044451621-3|출판사=North-Holland|언어=en|확인날짜=2016-08-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160913193737/http://store.elsevier.com/Sets-and-Extensions-in-the-Twentieth-Century/isbn-9780444516213/|보존날짜=2016-09-13|url-status=dead}}</ref>{{rp|§2}} 1905년에 영국의 수학자 필립 조던({{llang|en|Philip Jourdain}})이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.<ref>{{저널 인용
 | first = Philip E. B. | last = Jourdain
 | title = On transfinite cardinal numbers of the exponential form
 | journal = Philosophical Magazine, Series 6
 | volume = 9
 | pages = 42–56
 | 날짜 = 1905
 | url = http://biodiversitylibrary.org/page/39515382
 | doi=10.1080/14786440509463254|언어=en}}</ref>

연속체 가설에 대하여 {{임시링크|퍼넬러피 매디|en|Penelope Maddy}}는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|[…] 연속체 가설의 "선사 시대" 동안 (즉, [[무모순적 이론|무모순성]]과 독립성 결과 이전에), 학계의 [연속체 가설에 대한] 의견은 통일되지 않은 것으로 보인다. [[다비트 힐베르트|힐베르트]]와 조던은 이에 긍정적이었다. [...] 그러나 힐베르트는 [연속체 가설이] ZFC로부터 증명될 수 있다고 기대하지는 않은 것으로 보인다. [...]. [[쾨니그 줄러|쾨니그]]는 이를 반증하려고 시도하였지만, 이는 그는 실수의 [[정렬 정리]]가 거짓이라고 믿었기 때문이었다. [...]. 마지막으로, [[쿠르트 괴델|괴델]]에 따르면, [[니콜라이 니콜라예비치 루진|루진]]과 [[바츠와프 시에르핀스키|시에르핀스키]]는 괴델과 비슷한 이유로 대체로 이에 대하여 부정적으로 생각했다고 한다.<br>
{{lang|en|[…] [D]uring the prehistory of CH (that is, before the consistency and independence results), opinion seems to have been divided. Hilbert and Jourdain were both in favor […], though Hilbert apparently did not expect it to be provable in ZFC alone […]. König attempted to prove it false, but only because he felt the reals could not be well-ordered at all […]. Finally, Gödel cites Lusin and Sierpiński as tending to disbelieve it for reasons closer to his own.}}|<ref name="Maddy">{{저널 인용|성=Maddy|이름=Penelope|제목=Believing the axioms I|저널=Journal of Symbolic Logic|권=53|호=2|날짜=1988-06|쪽=481–511|jstor=2274520|issn=0022-4812|zbl=0652.03033|mr=0947855|doi=10.2307/2274520|언어=en}}</ref>{{rp|492, §II.1}}}}

[[파일:1925 kurt gödel.png|섬네일|[[쿠르트 괴델]]]]

[[쿠르트 괴델]]은 1938년에 일반화 연속체 가설을 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]으로 반증할 수 없다는 것을 보였다.<ref>{{저널 인용
  | doi = 10.1073/pnas.24.12.556
  | 저자링크=쿠르트 괴델 | 이름=Kurt | 성=Gödel
  | 제목 = The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis
  | 저널 = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
  | 날짜 = 1938
  | pmid = 16577857
  | pmc = 1077160
  | jstor=87239 | zbl = 0020.29701 | jfm = 64.0035.01 |언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용
 | first = K. | last = Gödel | 저자링크=쿠르트 괴델
 | title = The consistency of the continuum-hypothesis
 | publisher = Princeton University Press
 | 날짜 = 1940
 | 언어=en
 }}</ref> 구체적으로, 괴델은 [[구성 가능 전체]]가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다.
[[폴 코언]]은 1963년에 [[강제법]]을 도입하여, 연속체 가설을 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]으로 증명할 수 없다는 것을 보였다.<ref>{{저널 인용
 | first = Paul J. | last = Cohen | 저자링크=폴 코언
 | title = The independence of the continuum hypothesis
 | journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
 | volume = 50 | issue = 6 | date =1963년 12월 15일 | pages = 1143–1148
 | doi = 10.1073/pnas.50.6.1143
 | pmid = 16578557
 | pmc = 221287 | jstor=71858 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용
 | first = Paul J. | last = Cohen | 저자링크=폴 코언
 | title = The independence of the continuum hypothesis, II
 | journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
 | volume = 51 | issue = 1 | date =1964년 1월 15일 | pages = 105–110
 | doi = 10.1073/pnas.51.1.105
 | pmid = 16591132
 | pmc = 300611 | jstor=72252 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Cohen|이름=Paul J.|저자링크=폴 코언|제목=Set theory and the continuum hypothesis|url=https://archive.org/details/settheorycontin00cohe|출판사=W. A. Benjamin|날짜=1966|언어=en}}</ref> 이 공로로 코언은 1966년 [[필즈상]]을 수상하였다.

1980년대의 집합론자들의 의견에 대하여 {{임시링크|퍼넬러피 매디|en|Penelope Maddy}}는 1988년에 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|"비밀 조직"[{{llang|en|Cabal}}, 1970~80년대에 [[로스앤젤레스]] 근처 여러 대학교의 집합론자들이 주최한 학회]의 원로 회원들의 여론에 따르면 연속체 가설은 거짓이지만, 젊은 회원들 사이에는 […] 최근에 대두된, 연속체 가설에 긍정적인 주장들이 인기를 얻고 있다. 혹자는 경계선이 대략 40세[즉, 1948년 이후 출생]라고도 한다.<br>
{{lang|en|While established opinion among more mature members of the Cabal is against CH, younger members are sympathetic to […] more recent argument[s for CH]. It has been suggested that the cut-off age is 40.}}|<ref name="Maddy"/>{{rp|500, §II.3.11}}}}

2006년에 [[얀 미치엘스키]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|[일반화 연속체 가설]은 [[무한 기수]]의 이론을 크게 단순화하며, [[무한 집합]]의 [[조합론]]의 다양한 흥미로운 정리들을 가능하게 한다. 이러한 잘 알려진 장점들은 매우 중요하여, 일반화 연속체 가설을 집합론의 공리계에 추가하는 것이 합리적이다.<br>
{{lang|en|[The generalized continuum hypothesis] greatly simplifies the theory of infinite cardinal numbers, and it adds many interesting theorems to the combinatorics of infinite sets. These well known advantages are so significant that it is rational to accept GCH as an axiom of set theory.}}|<ref>{{저널 인용|제목=A system of axioms of set theory for the rationalists|이름=Jan|성=Mycielski|저자링크=얀 미치엘스키|url=http://www.ams.org/notices/200602/fea-mycielski.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-02|권=53|호=2|쪽=206–213|zbl=1102.03050|언어=en}}</ref>{{rp|209}}}}

== 같이 보기 ==
* [[절대적 무한]]
* [[베트 수]]
* [[집합의 크기]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Continuum hypothesis}}
* {{매스월드|id=ContinuumHypothesis|title=Continuum hypothesis}}
* {{nlab|id=continuum hypothesis|title=Continuum hypothesis}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/|제목=The continuum hypothesis|성=Koellner|이름=Peter|날짜=2013-05-22|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|언어=en|확인날짜=2014-12-16|보존url=https://web.archive.org/web/20150314173027/http://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/|보존날짜=2015-03-14|url-status=dead}}
* {{웹 인용|성=McGough|이름=Nancy|url=http://www.ii.com/math/ch/|날짜=1998-02-24|제목=The continuum hypothesis|웹사이트=Infinite Ink|언어=en}}
* {{웹 인용|성=Foreman|이름=Matthew|url=http://www.math.helsinki.fi/logic/LC2003/presentations/foreman.pdf|제목=Has the continuum hypothesis been settled?|날짜=2003|웹사이트=Logic Colloquium 2003, Helsinki, Finland, August 14–20, 2003|출판사=[[헬싱키 대학교]]|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/23829/solutions-to-the-continuum-hypothesis|제목=Solutions to the continuum hypothesis|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-08-03|보존url=https://web.archive.org/web/20160808095247/http://mathoverflow.net/questions/23829/solutions-to-the-continuum-hypothesis|보존날짜=2016-08-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/135912/when-was-the-continuum-hypothesis-born|제목=When was the continuum hypothesis born?|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-08-03|보존url=https://web.archive.org/web/20160808095206/http://mathoverflow.net/questions/135912/when-was-the-continuum-hypothesis-born|보존날짜=2016-08-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/49721/axiom-of-symmetry-aka-freilings-argument-against-ch|제목=Axiom of symmetry, aka Freiling's argument against CH|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-08-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160813125639/http://mathoverflow.net/questions/49721/axiom-of-symmetry-aka-freilings-argument-against-ch|보존날짜=2016-08-13|url-status=dead}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:기수]]
[[분류:힐베르트 문제]]